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初中奧數(shù)講座專題篇之11

一道顯然問(wèn)題引起的思考

上海文來(lái)初中    相偉 萬(wàn)時(shí)凱

在數(shù)學(xué)解題過(guò)程, 會(huì)遇到許多顯然的問(wèn)題, 但要說(shuō)清楚卻并不容易.下面的例子是筆者近期在備課過(guò)程中遇到的一個(gè)精彩例子:

問(wèn)題: 已知梯形ABCD為軸對(duì)稱圖形, 則梯形ABCD為等腰梯形.

問(wèn)題盡管顯然, 但要說(shuō)清楚不易, 此問(wèn)題對(duì)同學(xué)們的分類要求較高, 筆者課前預(yù)估課堂上同學(xué)們要說(shuō)清楚這個(gè)問(wèn)題會(huì)有一些難度. 在課堂上雖有多位同學(xué)說(shuō)了自己的想法, 但說(shuō)理都不合理, 于是我把這個(gè)問(wèn)題留給感興趣的同學(xué)們課后繼續(xù)思考.

親愛(ài)的讀者朋友們, 你會(huì)如何說(shuō)理? 建議大家先自己嘗試寫(xiě)一寫(xiě), 然后再看下文.

總會(huì)有個(gè)別學(xué)生會(huì)給老師帶來(lái)驚喜! 第二天我班上陳石同學(xué)在我的辦公桌上放了以下自己的解答: 

點(diǎn)評(píng): 陳石同學(xué)抓住軸對(duì)稱圖形的頂點(diǎn)只能與此圖形的頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)進(jìn)行分類, 切入點(diǎn)很好! 但其證明還有一些小瑕疵, 如在分類時(shí)沒(méi)有考慮A與A是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的情形. 相信陳石同學(xué)在以后的學(xué)習(xí)中, 經(jīng)過(guò)和大家的討論交流思維會(huì)更加縝密!

我們實(shí)際上可以考慮更一般性的問(wèn)題:

凸四邊形滿足什么條件時(shí), 為軸對(duì)稱圖形? (后面的四邊形均指凸四邊形) .

解析: 合理選擇分類標(biāo)準(zhǔn)是關(guān)鍵! 按照對(duì)稱軸上點(diǎn)的數(shù)量分類為好.

顯然對(duì)稱軸l上的點(diǎn)為偶數(shù)個(gè), 且不可能都在對(duì)稱軸上.

(1) 當(dāng)對(duì)稱軸l上有兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí), 要構(gòu)成凸四邊形, 則四個(gè)點(diǎn)的位置一定如圖1, 順時(shí)針連接各點(diǎn)得到四邊形, 如圖2, 此時(shí)四邊形為箏形. 

(2) 當(dāng)對(duì)稱軸l上沒(méi)有頂點(diǎn)時(shí), 則四點(diǎn)位置如圖3, 順時(shí)針連接各點(diǎn)如圖4.

顯然AD//BC, 若AD 等于 BC, 則四邊形為矩形; 若AD不等于BC則四邊形為等腰梯形.

綜上, 如果四邊形是軸對(duì)稱圖形, 那么該四邊形為箏形、矩形或等腰梯形.

文中一開(kāi)始的問(wèn)題為上面問(wèn)題的特殊情況, 因此, 梯形ABCD為軸對(duì)稱圖形, 則梯形ABCD為等腰梯形.

關(guān)于上述問(wèn)題, 讀者朋友若有其它想法, 歡迎聯(lián)系我們和大家一起分享!