差的意思是離正常有多遠(yuǎn)

標(biāo)準(zhǔn)差

標(biāo)準(zhǔn)差是數(shù)值分散的測(cè)量。

你可能想先去閱讀 這個(gè)比較簡(jiǎn)單的標(biāo)準(zhǔn)差網(wǎng)頁。

在這里我們會(huì)解釋標(biāo)準(zhǔn)差的公式。

標(biāo)準(zhǔn)差的符號(hào)是 σ（希臘語字母 西格馬，英語 sigma）。

開玩笑！用人語來講可以嗎？

好的。逐步來。

假設(shè)我們有一些數(shù)值，像：9、2、5、4、12、7、8、11。

計(jì)算這些數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)差：

一、求數(shù)值的 平均
二、從每一個(gè)數(shù)值減去平均，然后求差的平方
三、求結(jié)果的平均。
四、取平均的平方根。就是這么簡(jiǎn)單！

公式已經(jīng)包括了這四步，下面我再具體解釋。

公式說明

我們會(huì)用一些數(shù)值作為例子：

一、求數(shù)值的平均

在上面的公式 μ（希臘語字母 "繆"，英語 "mu"）是全部數(shù)值的平均……

二、從每一個(gè)數(shù)值減去平均，然后求差的平方

這是公式的這個(gè)部分：

x_i 是什么意思？它們是個(gè)別的 x值：9、2、5、4、12, 7、……

例如， x₁ = 9, x₂ = 2, x₃ = 5 等等

就是說： "從每一個(gè)數(shù)值減去平均，然后求差的平方"，像這樣

三、求結(jié)果的平均。

求平均：把所有的值加起來，然后除以值的個(gè)數(shù)。

先把上一步算出來的值加起來。

我們?cè)鯓佑脭?shù)學(xué)的語文來說："加起來"？我們用 "西格馬": Σ

我們想從 1 到 N 把數(shù)值加起來，N=20，因?yàn)橛?20個(gè)數(shù)值：

這還不是平均值，我們要除以個(gè)數(shù)，就是乘以 "1/N":

四、取平方根：

大功告成！

樣本標(biāo)準(zhǔn)差

慢著，還有一點(diǎn)……

……有時(shí)我們的數(shù)據(jù)只是總體的一個(gè)樣本。

我們可以估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差的值。

但當(dāng)我們用樣本作為總體的估計(jì)，標(biāo)準(zhǔn)差的公式變成這樣：

重要的改變是 除以 "N-1"，而不除以 "N"（這叫 "貝塞爾無偏估計(jì)校正系數(shù)"）。

我們來計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差：

一、求數(shù)值的 平均

二、從每一個(gè)數(shù)值減去平均，然后求差的平方

三、求結(jié)果的平均。

求平均，把所有的數(shù)值加起來，然后除以數(shù)值的個(gè)數(shù)。

慢著……我們是在計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差，所以我們不除以個(gè)數(shù) （N），而除以 N-1

四、取平方根：

好了！

比較

用總體來計(jì)算，結(jié)果是：平均 = 7，標(biāo)準(zhǔn)差 = 2.983……

用樣本，結(jié)果是：樣本平均 = 6.5，樣本標(biāo)準(zhǔn)差 = 3.619……

樣本平均的誤差是 7%，樣本標(biāo)準(zhǔn)差的誤差是 21%.

為什么要用樣本？

主要是因?yàn)楸容^容易和便宜。

有句名言（相傳是英國(guó)文人塞繆爾·約翰遜講的）：

"你不需要吃掉整條牛來知道它的肉是韌的。" 

這就是取樣本的精髓。我們不需要看總體來知道它的資料（例如平均和標(biāo)準(zhǔn)差），我們只需要看樣本。

可是，當(dāng)我們?nèi)颖緯r(shí)，精確度便會(huì)降低。

總結(jié)

總體標(biāo)準(zhǔn)差：
樣本標(biāo)準(zhǔn)差：