學(xué)習(xí)教育統(tǒng)計(jì)中，對(duì)自由度的概念不甚了解，故求助于baidu。

 

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       自由度，很多統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式中都有自由度的概念，可為什么同樣是計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差，總體標(biāo)準(zhǔn)差的自由度是n，而樣本標(biāo)準(zhǔn)差的自由度就是n-1？為什么其它公式中的自由度還有n-2、n-3呢？ 它到底是什么含意？
翻看了以前的教材以及到網(wǎng)上查閱了大量相關(guān)資料，原來(lái)，不僅僅是統(tǒng)計(jì)學(xué)里有自由度的概念呀！下面把有關(guān)自由度的問(wèn)題點(diǎn)簡(jiǎn)要?dú)w納一下。
理論力學(xué)：確定物體的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)稱(chēng)作物體的自由度，當(dāng)物體受到某些限制時(shí)——自由度減少。一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在空間自由運(yùn)動(dòng)，它的位置由三個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)就可以確定，所以質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)有三個(gè)自由度。假如將質(zhì)點(diǎn)限制在一個(gè)平面或一個(gè)曲面上運(yùn)動(dòng)，它有兩個(gè)自由度。假如將質(zhì)點(diǎn)限制在一條直線(xiàn)或一條曲線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，它只有一個(gè)自由度。剛體在空間的運(yùn)動(dòng)既有平動(dòng)也有轉(zhuǎn)動(dòng)，其自由度有六個(gè)，即三個(gè)平動(dòng)自由度x、y、z和三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度a、b、q。如果剛體運(yùn)動(dòng)存在某些限制條件，自由度會(huì)相應(yīng)減少。
熱力學(xué)中：分子運(yùn)動(dòng)自由度就是決定一個(gè)分子在空間的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。
統(tǒng)計(jì)學(xué)中：在統(tǒng)計(jì)模型中，自由度指樣本中可以自由變動(dòng)的變量的個(gè)數(shù)，當(dāng)有約束條件時(shí)，自由度減少自由度計(jì)算公式：自由度=樣本個(gè)數(shù)-樣本數(shù)據(jù)受約束條件的個(gè)數(shù)，即df = n - k（df自由度，n樣本個(gè)數(shù)，k約束條件個(gè)數(shù)）
我們當(dāng)然最關(guān)心的還是統(tǒng)計(jì)學(xué)里面的自由度的概念。這里自由度的概念是怎么來(lái)的呢？據(jù)說(shuō)：
一般總體方差(sigma^2)，其實(shí)它是衡量所有數(shù)據(jù)對(duì)于中心位置（總體平均）平均差異的概念，所以也稱(chēng)為離散程度，通常表示為sum(Xi-Xbar)^1/2/N ，（有多少個(gè)數(shù)據(jù)就除多少）而樣本方差(S^2)，則是利用樣本數(shù)據(jù)所計(jì)算出來(lái)估計(jì)總體變異用的（樣本統(tǒng)計(jì)量的基本目的：少量資料估計(jì)總體）.一般習(xí)慣上，總體怎么算，樣本就怎么算，可是在統(tǒng)計(jì)上估計(jì)量（或叫樣本統(tǒng)計(jì)量）必須符合一個(gè)特性--無(wú)偏性，也就是估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望值要等于被估計(jì)的總體參數(shù)=> E(S^2)=sigma^2（無(wú)偏估計(jì)）。很不幸的，樣本變異數(shù)E(S^2)并不會(huì)等于sigma^2所以必須做修正，而修正后即為sum(Xi-Xbar)^2/(N-1).才會(huì)繼續(xù)帶出后來(lái)的自由度概念。（自由度是由修正樣本統(tǒng)計(jì)量得來(lái)的嗎？）
網(wǎng)上一些文獻(xiàn)的說(shuō)法也是林林總總。
金志成實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)書(shū)中的定義：能獨(dú)立變化的數(shù)據(jù)數(shù)目。只要有n-1個(gè)數(shù)確定，第n個(gè)值就確定了，它不能自由變化。所以自由度就是n-1。自由度表示的是一組數(shù)據(jù)可以自由表化的數(shù)量的多少。
通俗點(diǎn)說(shuō)，一個(gè)班上有50個(gè)人，我們知道他們語(yǔ)文成績(jī)平均分為80，現(xiàn)在只需要知道49個(gè)人的成績(jī)就能推斷出剩下那個(gè)人的成績(jī)。你可以隨便報(bào)出49個(gè)人的成績(jī)，但是最后一個(gè)人的你不能瞎說(shuō)，因?yàn)槠骄忠呀?jīng)固定下來(lái)了，自由度少一個(gè)了。
自由度的設(shè)定是出于這樣一個(gè)理由：在總體平均數(shù)未知時(shí)，用樣本平均數(shù)去計(jì)算離差（常用小s）會(huì)受到一個(gè)限制————要計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差（小s）就必須先知道樣本平均數(shù)，而樣本平均數(shù)和n都知道的情況下，數(shù)據(jù)的總和就是一個(gè)常數(shù)了。所以，“最后一個(gè)”樣本數(shù)據(jù)就不可以變了，因?yàn)樗亲?，總和就變了，而這是不允許的。至于有的自由度是n－2什么的，都是同樣道理。
n-1是通常的計(jì)算方法，更準(zhǔn)確的講應(yīng)該是n-k，n表示“處理”的數(shù)量，k表示實(shí)際需要計(jì)算的參數(shù)的數(shù)量。如需要計(jì)算2個(gè)參數(shù)，則數(shù)據(jù)里只有n-2個(gè)數(shù)據(jù)可以自由變化。例如，一組數(shù)據(jù)，平均數(shù)一定，則這組數(shù)據(jù)有n-1個(gè)數(shù)據(jù)可以自由變化；如一組數(shù)據(jù)平均數(shù)一定，標(biāo)準(zhǔn)差也一定，則有n-2個(gè)數(shù)據(jù)可以自由變化。df=n-k的得出是需要大量的數(shù)理統(tǒng)計(jì)的證明的。太復(fù)雜的情況，我們就不討論了。

 

另 http://www./bbs/simple/index.php?t1907.html

對(duì)卡方分布，t分布而言，從其統(tǒng)計(jì)量的來(lái)源看，卡方分布自由度n理解為來(lái)自n個(gè)服從正態(tài)分布的樣本，而且他們之間并沒(méi)有什么約束關(guān)系，也就是說(shuō)n個(gè)樣本都是可以自由變化的。
而對(duì)于我們?cè)诮y(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)中構(gòu)造的那些統(tǒng)計(jì)量而言，也可以這樣理解，一般自由度并不為n，是因?yàn)檫@n個(gè)樣本之間有約束關(guān)系，約束方程的個(gè)數(shù)為a，則自由度為n－a，因?yàn)橐话慵s束方程的個(gè)數(shù)等于未知參數(shù)的個(gè)數(shù)，也就是說(shuō)自由度是n－未知參數(shù)的個(gè)數(shù)，但是這種解釋在有些場(chǎng)合不容易理解，也沒(méi)有說(shuō)到本質(zhì)上，嚴(yán)格的解釋?xiě)?yīng)該還是從統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)的二次型的秩的角度來(lái)理解。
參見(jiàn)南開(kāi)大學(xué)王兆軍 數(shù)理統(tǒng)計(jì)講義 2006
或幾篇論文：
1、劉麗君，數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的“自由度”及教材中一處證明的訂正，溫州師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），vol24，5，2003。
2、張宏廣，自由度的求法，承德民族師專(zhuān)學(xué)報(bào)，第26 卷第2 期，2006。
3、曲衛(wèi)彬，淺談“自由度”，高校教育。
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