在這個(gè)變化無常的世界上，沒有什么比死后的聲譽(yù)更變化無常了。死后得不到應(yīng)有的評(píng)價(jià)的最典型例子莫過于埃利亞的芝諾了。——羅素

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)無理數(shù)這一事實(shí)突出了使所有希臘數(shù)學(xué)家迫切想要解決的一個(gè)難點(diǎn)——離散與連續(xù)的關(guān)系。整數(shù)代表離散的對(duì)象，而一般地說，長(zhǎng)度、面積、體積、時(shí)間和其它一些量是連續(xù)量，它們可以是有理數(shù)或者無理數(shù)。這個(gè)關(guān)系問題必將反映在對(duì)空間與時(shí)間的理解，進(jìn)而產(chǎn)生有關(guān)有限與無限、運(yùn)動(dòng)與靜止的不同思想。

當(dāng)時(shí)人們對(duì)空間和時(shí)間有兩種對(duì)立的觀點(diǎn)：一種認(rèn)為空間和時(shí)間無限可分，那樣的話運(yùn)動(dòng)是連續(xù)而又平順的——想想牛頓力學(xué)；另一種認(rèn)為時(shí)間和空間是由不可分的小段組成的，那樣的話運(yùn)動(dòng)將是一連串的小跳動(dòng)——想想量子力學(xué)。

在自由而充滿矛盾和斗爭(zhēng)的思想交鋒中，埃利亞學(xué)派的觀點(diǎn)和芝諾提出的一系列悖論將問題推至極端尖銳的地步。在某種意義上，芝諾悖論可稱為第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的源頭。

一、埃利亞學(xué)派簡(jiǎn)介

埃利亞（Elia）學(xué)派是古希臘最早的唯心主義哲學(xué)派別之一，因建立于南意大利半島的埃利亞地區(qū)而得名。與畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的存世時(shí)間大致相當(dāng)，主張世界一元論，即世界的本源是一種抽象存在，因此是永恒的，靜止的，而外在世界是不真實(shí)的。代表人物有色諾芬尼、巴門尼德、芝諾等。

色諾芬尼（Xenophenes，約公元前570年-前480年）古希臘哲學(xué)家、詩(shī)人、歷史學(xué)家、社會(huì)和宗教評(píng)論家，埃利亞學(xué)派的創(chuàng)始人，常被視為第一個(gè)一神論（這個(gè)神和宗教中的神有本質(zhì)區(qū)別，是非人格化的）哲學(xué)家。色諾芬尼首次提出并論證了“無限”與“有限”、“一”與“多”、“永恒”與“變易”、“靜止”與“運(yùn)動(dòng)”、“存在”與“非存在”等十分重要的哲學(xué)范疇。

巴門尼德（Parmenides，約公元前515-前445年）埃利亞學(xué)派最重要的思想者，色諾芬尼八十多歲收的關(guān)門弟子，也接受了畢達(dá)哥拉斯數(shù)理學(xué)派的神秘主義思想。他創(chuàng)造了基于邏輯的形而上學(xué)，概括出了“存在”這一哲學(xué)范疇，并第一次提出了“思想與存在是同一的”命題。巴門尼德主張：真空不存在，運(yùn)動(dòng)不存在。

芝諾（Zeno，約公元前490年-前425年）出生在埃利亞的數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家，巴門尼德的學(xué)生，也曾是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的弟子。被亞里士多德譽(yù)為辯證法（Dialectics）的發(fā)明人。相傳芝諾因蓄謀反對(duì)埃利亞（另一說為敘拉古）的僭主，而被拘捕、拷打，直至處死。

芝諾因其悖論而著名，并因此在數(shù)學(xué)和哲學(xué)兩方面享有不朽的聲譽(yù)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派曾假定存在無限小的基本線段，想以此來克服因發(fā)現(xiàn)不可公約量而引起的矛盾，而芝諾的悖論反對(duì)了這種不準(zhǔn)確的做法，從而迫使其他數(shù)學(xué)家去尋找真正的原因所在。他“以非數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，記錄下了最早同連續(xù)性和無限性格斗的人們所遭遇到的困難”，把動(dòng)和靜的關(guān)系、無限和有限的關(guān)系、連續(xù)和離散的關(guān)系惹人注意地?cái)[了出來，并進(jìn)行了辨證的考察。

二、芝諾悖論

【注】悖論paradox：希臘文原意為有悖于正統(tǒng)、出乎定見之外。邏輯學(xué)術(shù)語(yǔ)，意指表面上同一命題或推理中隱含著兩個(gè)對(duì)立的結(jié)論，而這兩個(gè)結(jié)論都能自圓其說。

芝諾從“多”和運(yùn)動(dòng)的假設(shè)出發(fā)，一共推出了40個(gè)各不相同的悖論?，F(xiàn)存的芝諾悖論至少有8個(gè)，其中關(guān)于運(yùn)動(dòng)的4個(gè)悖論最為著名。四個(gè)悖論的敘述均見于《亞里士多德全集》，卷Ⅱ，《物理篇》，卷Ⅵ，第239b頁(yè)。

針對(duì)時(shí)間和空間連續(xù)無限可分的觀點(diǎn)，芝諾分別考察了孤立物體的連續(xù)運(yùn)動(dòng)情況和兩個(gè)物體的相對(duì)連續(xù)運(yùn)動(dòng)情況，提出兩分法悖論和阿喀琉斯悖論。

1、兩分法悖論（Dichotomy paradox）

對(duì)于孤立物體的連續(xù)運(yùn)動(dòng)情況，芝諾說“運(yùn)動(dòng)不存在，理由是運(yùn)動(dòng)中的物體在到達(dá)目的地前必須到達(dá)半路上的點(diǎn)?！币簿褪钦f從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)（下圖），必須先到達(dá)C；要到達(dá)C，必須先到達(dá)C......換言之，由于時(shí)間和空間是連續(xù)的，這一兩分過程總可以無限地進(jìn)行下去，于是該物體實(shí)際上都無法離開A點(diǎn)，因此孤立物體的連續(xù)運(yùn)動(dòng)是不可能的。

【注】《莊子·天下篇》中也提到：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭?！钡叭杖∑浒搿钡乃俣仁亲兓?，與兩分法悖論并不能等同。

亞里士多德對(duì)此的駁斥：關(guān)于一個(gè)事物的無限性有無限可分或無限寬廣兩種意義。在有限時(shí)間內(nèi)可以接觸從可分意義上是無限的東西，因?yàn)閺倪@意義上講時(shí)間也是無限的；所以在有限時(shí)間內(nèi)可以通過有限的長(zhǎng)度。

2、阿喀琉斯悖論（Achilles paradox）

針對(duì)兩個(gè)物體的相對(duì)連續(xù)運(yùn)動(dòng)，芝諾提出讓阿喀琉斯和烏龜賽跑，只要烏龜開始是在前面出發(fā)的，那么阿喀琉斯跑得再快也永遠(yuǎn)追不上，因?yàn)椤白汾s者首先必須到達(dá)被追者出發(fā)之點(diǎn)，因而行動(dòng)較慢的被追者必定總是跑在前頭。”

亞里士多德認(rèn)為這論點(diǎn)同二分法悖論中的一樣，所不同者是不必再把所需通過的距離一再平分。如果動(dòng)得較慢的對(duì)象通過一段有限的距離，則根據(jù)他答復(fù)第一個(gè)悖論所述的那個(gè)理由，它是可以被追上的。

針對(duì)時(shí)間和空間是由不可分的小段組成這一觀點(diǎn)，芝諾同樣考察了即孤立物體的間斷運(yùn)動(dòng)情況和兩個(gè)物體的相對(duì)間斷運(yùn)動(dòng)情況，提出飛矢不動(dòng)悖論和游行隊(duì)伍悖論。

3、飛矢不動(dòng)悖論（Arrow paradox）

對(duì)于孤立物體的間斷運(yùn)動(dòng)情況，芝諾說，由于運(yùn)動(dòng)是位置的變動(dòng)，而飛矢在任一瞬刻必在一確定位置，因而是靜止的。所以飛矢不能處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

亞里士多德說如果我們不承認(rèn)時(shí)間具有不可分的單元，這悖論就站不住腳了。——顯然這是一個(gè)物理解釋。

4、游行隊(duì)伍悖論（Parades paradox）

對(duì)于兩個(gè)物體的相對(duì)間斷運(yùn)動(dòng)，芝諾提出“一組物體沿跑道挨著另一組相同的物體彼此相向移動(dòng)，一組是從末端出發(fā)而另一組是從中間開始移動(dòng)，兩者移動(dòng)速度一樣；由此可知一半的時(shí)間等于雙倍的時(shí)間?！?/p>

可用下圖來說明：B、C相對(duì)于A的運(yùn)動(dòng)方向相反，并且每一時(shí)間單元B、C相對(duì)于A都運(yùn)動(dòng)一個(gè)空間單元。于是，在一個(gè)時(shí)間單元過后B、C之間相對(duì)移動(dòng)了兩個(gè)空間單元，從而B相對(duì)于C移動(dòng)一個(gè)空間單元需要半個(gè)時(shí)間單元，而B相對(duì)于A移動(dòng)一個(gè)空間單元卻需要一個(gè)時(shí)間單元，于是一個(gè)時(shí)間單元將等于半個(gè)時(shí)間單元。這一結(jié)論明顯是不成立的，因此兩個(gè)物體的相對(duì)間斷運(yùn)動(dòng)也是不可能的。

亞里士多德說，芝諾假定了以相同速度移動(dòng)的兩物體，其一通過一個(gè)移動(dòng)物體，而另一通過一個(gè)等長(zhǎng)的靜止物體，所需時(shí)間相等。而這個(gè)假定是錯(cuò)的。

因?yàn)槊黠@違反直觀認(rèn)識(shí)，從亞里士多德開始的2000多年里，人們普遍認(rèn)為芝諾悖論不過是一些詭辯。但“每個(gè)世紀(jì)都認(rèn)為他值得反駁”，這就非常了得，因?yàn)椤拔淖帜鼙幻總€(gè)世紀(jì)所反駁乃是成就之巔峰”。（懷特海語(yǔ)）

直到19世紀(jì)下半葉以來，學(xué)者們開始重新研究，并認(rèn)識(shí)到，芝諾關(guān)于運(yùn)動(dòng)的悖論不是簡(jiǎn)單的否認(rèn)運(yùn)動(dòng)，這些悖論后面有著更深的內(nèi)涵。對(duì)希臘以至近代數(shù)學(xué)思想的發(fā)展有開創(chuàng)性的啟迪意義。

希臘數(shù)學(xué)思想的發(fā)展，除了從泰勒斯、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的幾何學(xué)思想一直到歐幾里德的《幾何原本》這條線索外，另一條線索是關(guān)于無限小、極限的探討。芝諾悖論的難題最早在這方面向希臘數(shù)學(xué)家提出了挑戰(zhàn)，啟發(fā)他們?nèi)パ芯坑嘘P(guān)無限小、極限以及求和過程等各種數(shù)學(xué)概念，并努力創(chuàng)新這方面的數(shù)學(xué)方法。如安提豐和歐多克索斯創(chuàng)立了窮竭法；到近代西歐數(shù)學(xué)家發(fā)明了微積分，在數(shù)學(xué)中完善地引入變量，解決了運(yùn)動(dòng)與時(shí)空中的有限與無限可分、連續(xù)性與間斷性的對(duì)立統(tǒng)一。

現(xiàn)在也有很多學(xué)者從量子物理的角度去解釋芝諾悖論，甚至挑出了數(shù)學(xué)和物理在本質(zhì)概念上的種種對(duì)立。也許芝諾悖論并未真正解決。

【并非笑話或評(píng)論對(duì)錯(cuò)】古希臘犬儒派哲學(xué)家第歐根尼的學(xué)生曾向他請(qǐng)教如何反駁芝諾，他老人家一言不發(fā)，在房間里走來走去，學(xué)生還是不理解。第歐根尼說，芝諾說運(yùn)動(dòng)不存在，我這不是正在證明他是錯(cuò)的嗎？

下一講智者學(xué)派與三大作圖問題。