歐拉-拉格朗日方程(Euler -Lagrange equation) 為變分法中的一條重要方程。它提供了求泛函的平穩(wěn)值的一個方法，其最初的想法是初等微積分理論中的“可導的極值點一定是穩(wěn)定點（臨界點）”。當能量泛函包含微分時，用變分方法推導其證明過程，簡單地說，假設當前的函數(shù)（即真實解）已知，那么這個解必然使能量泛函取全局最小值。

泛函

我們很清楚函數(shù)的概念，它大致是，將一個自變量扔到一個黑盒里，經(jīng)過黑盒的暗箱操作，最終得到了一個因變量：

泛函數(shù)是將一個函數(shù)作為自變量，經(jīng)過黑盒，最終得到一個實數(shù)的因變量：

可以說，泛函就是函數(shù)的函數(shù)，是更廣泛意義上的函數(shù)。

歐拉-拉格朗日方程

最速降線

有一種泛函稱為簡單泛函，它的長相是這樣：

其中L是一個確定的函數(shù)，之所以叫簡單泛函，是因為只傳遞了三個參數(shù)，復雜一點的話還可以繼續(xù)傳遞f的高階導數(shù)?，F(xiàn)在的問題是，如果A處于極值點，它對應的f(x)是什么？

這實際上是求一個具體函數(shù)，使得泛函能夠取得極值。一個典型的例子是最速降線問題：從所有連接不在同一鉛垂線上的定點A、B的曲線中找出一條曲線，使得初始速度為0的質點，受重力作用，由A沿著曲線滑下時以最短的時間到達B：

這里我們將曲線看作路徑f關于時間t的函數(shù)：

ΔSi是在極短時間Δti內沿著曲線移動的微小弧長，此時的瞬時速度是ΔVi，距離=速度×時間：

重力加速的推論，在t時間處的速度v2 = 2gh：

質點從A點到B點的總時間：

根據(jù)弧長公式，可以將dS化簡，進一步寫成

把結論和簡單泛函做個對比，可以看到二者形式相吻合：

最右側的式子并沒有嚴格映射到L(x,f(x),f’(x))，因為在函數(shù)中并沒有直接使用到參數(shù)t，這無所謂了，可以理解成雖然傳遞了參數(shù)t，但實際上t并沒有起任何作用，就像y (x) = 1一樣，無論傳遞任何x，最終結果都是1，但它仍然是一個y關于x的函數(shù)?，F(xiàn)在回到最初的問題，AB間有無數(shù)條曲線，每條曲線都可以求得時間T[f]，在眾多的曲線中，有一條唯一的曲線能夠使得T[f]取得最小值，這個f(x)應該長成什么樣？

EL方程的推導

這里暫且耍一下流氓，拋開具體的速降問題，只看A[f]，并且假設f0(x)就是符合條件的最優(yōu)函數(shù)?，F(xiàn)在，將f0(x) + k(x)定義為是有別于最優(yōu)曲線f0(x)的其它函數(shù)，其中k(x)可以是任意函數(shù)。如果如下定義f(x, k)：

因為f0(x)是最優(yōu)函數(shù)，此時A[f0]有最小值，則一定有：

由于任意函數(shù)k(x)不好定義，為了能夠使k(x)任意小，令：

η是任意函數(shù)，當ε取極小值時，可以看作是對f0(x)的輕微擾動；還需要額外定義的是，在端點處是不能擾動的，即εη(A) = εη(B) = 0，這對于任意ε都適用，所以η(A) = η(B) = 0。注意ε是對f0(x)的擾動程度，εη(x)是擾動后的增量，εη(x) = 0說明擾動為0，也就是無擾動，f(x) + εη(x)才是擾動后的函數(shù)。

由于假設f0(x)是最優(yōu)函數(shù)，所以可以將f0(x)看作已經(jīng)確定的函數(shù)，如果再將任意函數(shù)η(x)看作一個確定的函數(shù)，那么A可以看成ε的函數(shù)，若A’ = 0，函數(shù)存在極值，這已經(jīng)變成了極值點的求解：

根據(jù)鏈式法則

根據(jù)分部積分

η(x) = 0說明對f0(x)無擾動時，A能取得極值，但它對f0的具體形式無任何幫助；因此最優(yōu)函數(shù)f0(x)的具體形式由第一個解確定：

這就是歐拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrage equation），可以幫助我們求解泛函下的極值，這里L是已知的。它的最初的思想來源于微積分中“可導的極值點一定是穩(wěn)定點（臨界點）”。它的思想在于：假定當前泛函的解已知，那么這個解必然使得泛函取得最小值（假定是最小值）。換言之，只要在泛函中加入任何擾動，都會使泛函的值變大，所以擾動為0的時候，就是泛函關于擾動的一個極小值。擾動用一個很小的數(shù)ε乘上一個連續(xù)函數(shù)η(x)。當ε趨近于0，意味著擾動也趨近于0。所以當擾動為0時，泛函對擾動程度的導數(shù)也為0。這就非常巧妙的把對函數(shù)求導的問題轉化成了一個單變量求導問題。

需要注意的是，歐拉-拉格朗日方程的前提條件是端點不會擾動，也就是說需要固定兩個端點。

最速降線的解

有了歐拉-拉格朗日方程，終于可以計算最速降線的最優(yōu)解：

其中f = f(t)。由于：

將①代入：

現(xiàn)在，使用參數(shù)方程：

之所以令f’ = cot(θ/2)，是因為在θ的定義域[0, 2π]上，f’可以取任意值：

y = cot(x/2)， 0 ≤ x ≤ 2π

上式最終將f(t)轉換為關于θ的函數(shù)，對上式直接求導：

通過參數(shù)方程f = f(t)，t = t(θ)，f’ = cot(θ/2) 求導：

最終的曲線用參數(shù)方程表示：

這正是擺線的參數(shù)方程。

大概古人就理解了最速降線，所以中國古建筑的屋頂?shù)男逼虏⒉皇侵本€，這樣可以加快雨水的流動（不知道對不對，也有可能僅僅為了美觀）：

兩點間的最短路徑

初中幾何中給出這樣一個公理：兩點間直線距離最短。記得當時老師的解釋是，公理是大家公認的，不需要證明。這對初中來說沒錯，但公理實際上也是可以證明的。

這可以使用反證法證明，但是在這里，我們想使用解析的方式證明。

AB兩點間的曲線有無數(shù)條，需要取其中最短的一條。令曲線的函數(shù)是y = y(x)，那么根據(jù)弧長公式，曲線的長度可表示為：

這有點像歐拉-拉格朗日方程的泛函了：

現(xiàn)在將弧長和歐拉-拉格朗日方程對應：

由于L中僅用到了y’，并沒有用到y(tǒng)，所以L關于y的偏導等于0：

y = ax + b正是直線方程，所以AB間最短的距離是直線。可以看出，初等數(shù)學為高等數(shù)學的推導提供了依據(jù)，高等數(shù)學反過來又能證明初等數(shù)學。