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最速降線問題 意大利科學(xué)家伽利略在1630年提出一個分析學(xué)的基本問題──“一個質(zhì)點在重力作用下，從一個給定點到不在它垂直下方的另一點，如果不計摩擦力，問沿著什么曲線滑下所需時間最短。”。他說這曲線是圓，可是這是一個錯誤的答案。 瑞士數(shù)學(xué)家約翰．伯努利在1696年再提出這個最速降線的問題（problem of brachistochrone），征求解答。次年已有多位數(shù)學(xué)家得到正確答案，其中包括牛頓、萊布尼茲、洛必達和伯努利家族的成員。這問題的正確答案是連接兩個點上凹的唯一一段旋輪線。 旋輪線與1673年荷蘭科學(xué)家惠更斯討論的擺線相同。因為鐘表擺錘作一次完全擺動所用的時間相等，所以擺線（旋輪線）又稱等時曲線。 數(shù)學(xué)家十分關(guān)注最速降線問題，大數(shù)學(xué)家歐拉也在1726年開始發(fā)表有關(guān)的論著，在1744年最先給了這類問題的普遍解法，并產(chǎn)生了變分法這一新數(shù)學(xué)分支。 證明： 設(shè) O, A是高度 不同，且不在同一鉛垂線上的兩定點，y 如果不計摩擦和空氣阻力，一質(zhì)點 m 在重力作用下從 O點沿一曲線降落至 。A(p,q)A點，問曲線呈何種形狀時，質(zhì)點降y 落的時間最短。 圖 7-1 設(shè)曲線為 y =y(x) ，坐標如圖 7 1，質(zhì)點由 O點開始運動，它的速度 v與它的縱坐標有關(guān)系 v=2gy 式中， g是重力加速度。 在曲線上點 (x, y) 處，質(zhì)點的運動速度為 ds 1+ y′dx v == dt dt 式中， s表示曲線的弧長， t表示時間，于是 ′ 2 1+ y 1+ y′ dt =dx = dx v 2gy 由于點 O, A的橫坐標分別是 0, p，則質(zhì)點 m從 O點運動到 A點所需時間為 t = J ( y)=∫ 2gydx （7.1.4） 這樣，質(zhì)點由 O點運動到 A點所需時間 t是 y(x)的函數(shù)，最速降線問題就是滿足邊界條件 y(0)= 0, y( p) = q 的所有連續(xù)函數(shù) y(x)中，求出一個函數(shù) y使泛函式（7.1.4）取最小值。 對泛函求極值的問題稱為變分問題，使泛函取極值的函數(shù)稱為變分問題的解，也稱為極值函數(shù)。 在微分學(xué)中，求函數(shù) y =y(x) 的極值是求自變量 x的值，當 x取這些值時， y取極 大（?。┲?、取極值的必要條件是 x=x = 0 。下面我們仿照函數(shù)微分的概念來定義泛 0 dx 函的變分概念，進而導(dǎo)出泛函極值存在的必要條件。設(shè) y, y0 是集合 C的元素，稱δy = y ? y0 為函數(shù) y在 y0處的變分。 這里的δy是 x的函數(shù)，它與 ?y的區(qū)別在于：變分 δy反映的是整個函數(shù)的改變， 而 ?y表示的是同一個函數(shù) y(x)因 x的不同值而產(chǎn)生的差異。在本書，我們總是假定 y(x)和 F(x, y, y′) 都是充分光滑的，且 y(x)在兩個端點處固定，即 y(a) =y1, y(b) = y2 （7.1.5） 式中， y1, y 是兩個常數(shù)。 2 下面我們考慮泛函 J[ y(x)]=∫F(x, y, y′)dx （7.1.6）當函數(shù) y(x)有微小改變且變?yōu)?y(x) +δy(x) 時，利用 ?F ?F F(x,y +δy, y′+δy′) = F(x, y, y′) +δy +δy′ y ?y′ 上式可推出 F ?F J ( y +?y) ? J ( y) = [ δy +δy′]dx y ?y′ 上式稱為 J ( y)的變分，記為δJ ( y)，即 δJ( y) =∫[? y δy + ? y′δy′]dx （7.1.7） 下面我們證明，泛函 J ( y)取極值的必要條件是 δJ( y) = 0 （7.1.8）或者 = 0 （7.1.9） y dx ?y′ 設(shè) y =y(x) 使泛函 J ( y)取極值，取函數(shù) y(x)變分的特殊形式為 δy(x) = ε?(x) 式中， ε是任意小的實數(shù)；?(x)是充分光滑的任意函數(shù)，并且滿足條件 (a) = 0, ?(b) = 0 這樣，函數(shù) y(x) +ε?(x) 滿足邊界條件式（7.1.5）。因此，泛函 J[ y(x) +ε?(x)] 當 ε= 0時取最小值 J[ y(x)] ，從而有 d J[y(x) + ε?(x)] = 0 ε=0 dε 由于 F ?F J[ y(x) + ε?(x)] = J[ y(x)] +∫[ ε?(x) + ε?′(x)]dx y ?y′ 則有 ∫[? y ε?(x) + ?y′ ε?′(x)]dx = 0 （7.1.10） 以 ε乘式（7.1.10），且 δy(x) =ε?(x) 則有 F ?F δJ ( y) =∫[ ε?(x) + ε?′(x)]dx y ?y′ ?F ?F = [ δy +δy′]dy = 0 y ?y′ 應(yīng)用分部積分，我們作進一步的分析，有 F ?F 0 = [ ?(x) + ?′(x)]dx y ?y′ ?F ?F =∫ ?′(x)dx y ?y′ ?F ?F d ??F ? = ?(x) dx ∫ y′ y ?y dx ? Fd ??F ? = [ ?]?(x)dx y dx ?y′ 由?(x)的任意性，可得 Fd ??F ? y ? dx ? ?y′? = 0 （7.1.11） 式（7.1.11）稱為歐拉－拉格朗日方程，簡記為 E-L方程，這就是泛函 J[ y(x)] 有極限 的必要條件，也就是說， y =y(x) 使泛函式（7.1.6）取極小值，則 y =y(x) 一定使歐 拉－拉格朗日方程式（7.1.11）滿足邊界條件式（7.1.5）的解。 我們把滿足 E-L方程邊值問題的解稱為駐留函數(shù)，對應(yīng)的積分曲線稱為駐留曲線。嚴格地講，E-L方程邊值問題的解滿足變分問題的必要條件，因此它是否是極值函數(shù)，還需作進一步的判別。在實際問題中，極值的存在性通常給出問題時己經(jīng)肯定了，這樣，當一個實際現(xiàn)象已知其有唯一的極值存在，而這時也只得到一個駐留函數(shù)，則可以判定這個駐留函數(shù)就是極值函數(shù)。 下面我們來解決本章開始部分的兩個例題。 例 1 最短距離問題 解 J[ y(x)]=∫1+ y′dx 因為 F =1? y′，所以 F ?Fy′ = 0, = y ?y′ 1+ y′E-L方程為 Fd ??F ? = 0 y dx ??y′? 則有 F = C1 y′ 這里 C1是積分常數(shù)，即 y′ = C11+ y′ 解得 C1 y′= = a 1? C1所以 y =ax + b 由 y(x0) =y0, y(x1) = y1 ，可得 y ? y y =(x ? x1) + y1x2 ? x1 例2捷線問題 解 J[ y(x)]=∫ 2gydx 且 y(0)= 0, y( p) = q 這樣 ′F(x, y, y') =F( y, y') = 2gy（7.1.12） 其 E-L方程為 Fd ??F ? = 0 y dx ??y′? 由于 dF ′ [F( y, y′) ? y ] dx ?y′ ?F ?F Fd ??F ? = y′+ y′′ ? y ? y′ ? = 0 y ?y′?y′ dx ?y′ 所以有 F(y, y′) ? ?y′= C （7.1.13） 將（7.1.2）代入式（7.1.13） 1+ y′y' y'= C2gy 1+ y' 1 = C 2gy 1+ y' 由此得 1 y(1+y′) = 2gC 2 = 2r （7.1.14） 引入變量代換 x =x(θ) ，并設(shè) θ y′=cot 2 則由式（7.1.14）可得 θ y= 2r sin= r(1? cosθ) 2 上式對θ求導(dǎo)，得 dx y′= r sinθ dθ 即 θ dx cot = r sinθ 2 dθ dx2 θ = 2r sin= r(1? cosθ ) dθ 2 所以 x = r(θ? sinθ ) + x0 根據(jù)曲線過原點 (0,0)及 ( p, q) 可求出 x0 = 0 及 r，這樣，所求曲線為 x= r(θ? sinθ ) y = r(1? cosθ ) 是旋輪線的一段。 |
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