哲學(xué)方面

自一九00直到一九一○這些年，懷特海和我把我們大部分的時間都用于后來所成的《數(shù)學(xué)原理》。雖然這部著作的第三卷到一九一三年才出版，我們在這部書里的任務(wù)（除去校對）是在一九一○年完成的，我們在那一年把全部稿子交給了劍橋大學(xué)出版社。我在一九○二年五月二十三日寫完的《數(shù)學(xué)的原理》結(jié)果變成了其后那部著作的一個粗糙、很不成熟的草稿?？墒牵稊?shù)學(xué)的原理》和《數(shù)學(xué)原理》不同之點(diǎn)是，《數(shù)學(xué)的原理》是包含著和別的一些數(shù)學(xué)哲理的爭論。

我們所想解決的問題有兩種：哲學(xué)的與數(shù)學(xué)的。大致說來，懷特海把哲學(xué)問題留給我。至于數(shù)學(xué)問題，記號法大部分是懷特海創(chuàng)制的，（引用皮亞諾者除外）。關(guān)于級數(shù)大部分的工作是我做的，其余是懷特海做的。但是這只是指初稿。每一部分都是弄過三次。我們兩個人不管是誰擬出一個初稿的時候，他就把這個初稿送交另一個人，這一個人通常是把它大加修改。然后，原來擬初稿的人再把它最后定稿。這三卷書幾乎沒有一行不是合作的成品。

《數(shù)學(xué)原理》的主要目的是說明整個純粹數(shù)學(xué)是從純乎是邏輯的前提推出來的，并且只使用以邏輯術(shù)語說明的概念。這當(dāng)然和康德的學(xué)說正是相反。一開始我以為這部書是用以駁斥"那個強(qiáng)詞奪理的庸人"的一個插話，這個對康德的稱呼是佐治·坎特說的?？蔡貫楸硎镜酶鞔_一點(diǎn)，又說："他不大懂得數(shù)學(xué)"。但是后來這部書向兩個不同的方向發(fā)展了。在數(shù)學(xué)方面，整個新的題目出現(xiàn)了，包含新的記號法在內(nèi)，有了這種新的記號法，就可以把從前用散漫粗疏的普通語言所對待的事物，用符號來處理。在哲學(xué)方面，有兩種相反的發(fā)展，一種是愉快的，一種是不愉快的。愉快的是，所需要的那套邏輯機(jī)構(gòu)結(jié)果是比我所想象的要小。特別是，結(jié)果知道類是不必要的了。在《數(shù)學(xué)的原理》里有許多是討論一的類和多的類二者之間的區(qū)別。關(guān)于這一點(diǎn)的全部討論，以及那本書里很多復(fù)雜的論證，證明是不必要的。結(jié)果是，那本書寫成后好象是缺乏高深的哲理，難解是高深的最明顯的特點(diǎn)。

那個不愉快的方面確實(shí)是很不愉快的。自亞里士多德以來，無論哪一學(xué)派的邏輯學(xué)家，從他們所公認(rèn)的前提似乎可以推出一些矛盾來。這表明有些東西是有毛病，但是指不出糾正的方法是什么。在一九○一年的春季，其中一種矛盾的發(fā)現(xiàn)把我正在享受的那種邏輯蜜月打斷了。我把這件倒運(yùn)的事告訴了懷特海，他引了一句話："愉快自信的清晨不再來"，我卻不能得到安慰。

坎特證明沒有最大的基數(shù)。我是把坎特的這個證明細(xì)想了一番之后，發(fā)現(xiàn)了上述的那個矛盾的。我腦筋簡單，以為世界上所有的事物的數(shù)目一定是可能有的最大數(shù)目了。我把他的證明用于這個數(shù)目，看一看怎么樣。這個辦法使我考慮一個特殊的類。我順著以前看起來好象是適當(dāng)?shù)穆肪€去思索，我覺得一個類有時候是，有時候又不是它自己的一個項(xiàng)。舉例來說，匙子這個類不是另一個匙子。但是，不是匙子的那些事物的這個類卻是不是匙子的那些事物之一。似乎有些例子不是負(fù)的：例如，所有類這個類是一個類。把坎特的論證加以應(yīng)用，使我考慮不是自己的項(xiàng)的那些類。好象這些類一定成一類。我問我自己，這一個類是不是它自己的一項(xiàng)。如果它是它自己的一項(xiàng)，它一定具有這個類的分明的特性，這個特性就不是這個類的一項(xiàng)。如果這個類不是它自己的一項(xiàng)，它就一定不具有這個類的分明的特性，所以就一定是它自己的一項(xiàng)。這樣說來，二者之中無論那一個，都走到它相反的方面，于是就有了矛盾。

最初我以為在我的推理的里面必是有怎么一種小小的錯誤。在一種邏輯的顯微鏡下我檢查了每一步，可是我發(fā)現(xiàn)不出有什么不對來。我給弗雷格寫了一封信，把這件事告訴了他。他回答說，算術(shù)發(fā)生了動搖，他并且說，他看出他的第五個定律是不能成立的。這個矛盾使弗雷格十分煩惱，他放棄了從邏輯演繹出算術(shù)的企圖，直到那個時候?yàn)橹?，他本是一生致力于此的。就象遇到無理數(shù)的畢達(dá)哥拉斯的門徒們一樣，弗雷格逃到幾何學(xué)里去了，顯然他以為直到那個時候，他一生的事業(yè)是走錯了路。至于我呢，我覺得毛病是在邏輯，而不在數(shù)學(xué)，邏輯非加以改造不可。由于發(fā)現(xiàn)了一個秘訣，我的這個意見得到了證實(shí)，用這個秘訣可以制造出簡直是無限數(shù)目的矛盾來。

對于這個情形，哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家們有各種不同的反應(yīng)。班格萊是不喜歡數(shù)理邏輯的，他曾非難數(shù)理邏輯，以為它是不能有結(jié)果的。他高興地說："它不是不能有結(jié)果的了，它產(chǎn)生了矛盾。"這話的確是很好，但是并不能解決問題。一些別的不贊成佐治·坎特的數(shù)學(xué)家采取三月兔的解決辦法："這個我膩煩了，我們還是換個題目罷"。我覺得這也不妥當(dāng)。但是后來有些人認(rèn)真想解決這個問題，那些人懂得數(shù)理邏輯，并且知道確有用邏輯解決的必要。其中第一個人是F．Ｐ．萊穆塞。

不幸他死得早，沒有完成他的工作。但是在《數(shù)學(xué)原理》出版以前的那些年，我不曉得后來對解決這個問題所做的努力。

我實(shí)際上是獨(dú)自在那里納悶。

有一些更老的悖論（其中有一些是為希臘人所知道的）我覺得引起了類似的問題，雖然我以后的一些作者認(rèn)為這些悖論是另外的一種。其中最著名的是那個關(guān)于克利特人艾皮米尼地斯的悖論。他說所有的克利特人都是說謊的人。這就使人問，他說這話，他是不是不說謊。如果一個人說："我是說謊呢"，這就是這個悖論所表現(xiàn)的最簡單的形式。如果他是說謊，那么他是說謊就是一個謊，因此他就是說實(shí)話；但是如果他是說實(shí)話，他就是說謊，因?yàn)槟鞘撬f他正在做的事。這樣，矛盾就是不能避免的。圣保羅曾經(jīng)提到過這個悖論①?？墒撬麑τ谶@個悖論的邏輯方面并沒有興趣。他所感興趣的是，這個悖論證明異教徒是壞的。但是數(shù)學(xué)家們可以把這些難以索解的問題打發(fā)開，以為是和他們的科目毫無關(guān)系，雖然他們不能把是否有一個最大的基數(shù)或最大的序數(shù)這些問題置之于不顧，這兩個問題都使他們陷入矛盾。關(guān)于最大序數(shù)的矛盾是在我發(fā)現(xiàn)我的矛盾之前被布拉力福爾提發(fā)現(xiàn)的。但是他的這件事是復(fù)雜得多，因此我也就以為在推理上是有些小小的錯誤。無論如何，因?yàn)樗拿苓h(yuǎn)不象我的矛盾那么簡單，乍一看來好象摧毀的力量不是那么大?？墒?，結(jié)果我不得不承認(rèn)其嚴(yán)重是一樣的。

在《數(shù)學(xué)的原理》里我并沒有公然說我已經(jīng)找到了一個解決的方法。我在那本書的序言里說："發(fā)表一本包含那么許多未曾解決的爭論的書，我的解釋是，經(jīng)過研究，在第十章中所討論的矛盾，我看不出最近有得到適當(dāng)解決的希望，對于類的性質(zhì)最近也沒有希望看得更深更透。有些解決的辦法曾使我得到一時的滿足。后來常常發(fā)現(xiàn)這些解決的辦法是有錯誤的。這種發(fā)現(xiàn)使人覺得，好象是較長時間的思索也許可以得出一些表面看來是滿意的學(xué)說，有了這些學(xué)說，問題就顯露不出來了。因?yàn)檫@個道理，只把困難說出來，比等下去一直到我相信一個幾乎一定是錯誤的學(xué)說中有真理，好象是要更好一點(diǎn)。"在討論矛盾的那一章之末我說："上面所說的矛盾不包含特殊的哲學(xué)。這種矛盾是直接起源于常識。這種矛盾唯一解決的辦法是放棄某種常識的假定。只有以矛盾為滋養(yǎng)的黑格爾哲學(xué)才能不關(guān)心，因?yàn)樗幪幱龅脚c此類似的問題。在任何別的學(xué)說里，這樣一個正面的挑戰(zhàn)要求你做出一個答覆，否則就是自己承認(rèn)沒有辦法。幸而，就我所知，在《數(shù)學(xué)的原理》的任何別的部分，沒有別的與此類似的困難出現(xiàn)。"在書后的附錄里我提出類型說可以給予一個言之成理的解釋。最后我深信這個學(xué)說會解決這個問題，但是在我從事寫作《數(shù)學(xué)的原理》的時候，我只把這個學(xué)說弄得粗具規(guī)模。

這個學(xué)說在此情形之下是不能勝任的。我在那個時候所得到的結(jié)論表現(xiàn)在這本書的最后一段里："總括起來說，看來第十章的那個特別的矛盾是被類型說解決了。只是，至少有一種很類似的矛盾大概是不能用這種學(xué)說解決的?？磥硭羞壿嫷膶ο蠡蛩忻}，全體包含一種基本的邏輯上的困難。這種困難的完滿解決是什么，我還沒有發(fā)現(xiàn)到；但是因?yàn)樗绊懲评淼幕A(chǔ)，我懇切盼望所有治邏輯學(xué)的人對它加意研究。"

《數(shù)學(xué)的原理》寫完之后，我準(zhǔn)備決意對于這些悖論找到一個解決。我覺得這幾乎是對我個人的一個挑戰(zhàn)，而且，如果勢不得已，我就要花掉我整個的余年來應(yīng)戰(zhàn)。但是有兩個理由我以為這是極其不愉快的。第一，我覺得這整個問題是無足重輕的。我極不愿意把注意力集中在一件并不見得實(shí)在是有趣的事情上。第二，恁其我怎么努力，我沒有進(jìn)展。一九○三年和一九○四年這一整個時期，我差不多完全是致力于這一件事，但是毫不成功。我第一個成就是一九○五年春季的敘述學(xué)說。這個學(xué)說我將在下文談到。在表面上看，這是和這些矛盾沒有關(guān)系的，但是后來一種沒有想到的關(guān)系出現(xiàn)了。最后，我看得十分清楚，類型說的某種形式是極關(guān)緊要的。我現(xiàn)在不著重來講在《數(shù)學(xué)原理》里講到的那個學(xué)說的特殊形式。但是我仍全然深信，沒有這個學(xué)說的某種形式，這些悖論就無法解決。

正當(dāng)我在尋求一個解決辦法的時候，我覺得如果這個解決完全令人滿意，那就必須有三個條件。其中的第一個是絕對必要的，那就是，這些矛盾必須消失。第二個條件最好具備，雖然在邏輯上不是非此不可，那就是，這個解決應(yīng)該盡可能使數(shù)學(xué)原樣不動。第三個條件不容易說得正確，那就是，這個解決仔細(xì)想來應(yīng)該投合一種東西，我們姑名之為"邏輯的常識"，那就是說，它最終應(yīng)該象是我們一直所期待的。在這三個條件之中，第一個當(dāng)然是大家所公認(rèn)的?？墒堑诙€是為一個很大的學(xué)派所否認(rèn)的，他們認(rèn)為分析的很大一部分是不正確的。那些以善用邏輯而自滿的人以為第三個條件是不重要的。舉例來說，奎尹教授曾制作出一些體系來。我很佩服這些體系的巧妙，但是我無法認(rèn)為這些體系能夠令人滿意，因?yàn)檫@些體系好象專是為此創(chuàng)造出來的，就是一個最巧妙的邏輯學(xué)家，如果他不曾知道這些矛盾，也是想不到這些體系的。但是，關(guān)于這一個問題已經(jīng)出現(xiàn)了大量而且很深奧的文獻(xiàn)，其細(xì)微的地方我就不再多說了。

撇開困難的專門細(xì)節(jié)不談，我們可以把類型說的梗概說一說。也許研究這個學(xué)說的最好的辦法是考查一個"類"的意義是什么。我們先用一個平凡的例子來說明。假定飯后請你吃飯的主人在三種甜食里面請你挑選，要你吃一種或兩種，或三種都吃，隨你的意。你可以有多少辦法呢？你可以都謝絕。這是一種辦法。你可以在甜食之中取一種。這有三種不同的可能的辦法，所以你又有三種選擇。你可以選得甜食之中的兩種。這又可能有三種辦法?；蛘呷N甜食你都要。這給你一個最后的可能性。這樣說來，可能性的總數(shù)是八，也就是２３。不難把這個程序歸納成通則。假定在你面前有ｎ那么多的東西，你想知道在ｎ之中一個不選，或選幾個，或者都要，一共有多少選擇。你就要知道，辦法的數(shù)目是２n。用邏輯的語言來說：一個有ｎ項(xiàng)的類有２n那么多的次一級的類。如果ｎ是無限的，這一個命題仍然是正確的?？蔡厮C明的是，即使在這一個例子中，２n是大于ｎ。如果像我那樣把這個應(yīng)用于宇宙中的一切事物，我們就得到這樣一個結(jié)論：事物的類是多于事物。因此類就不是"事物"。但是，因?yàn)闆]人十分懂得這句話里"事物"這個字是什么意思，把我們所已經(jīng)證明出來的東西很確切地說出來是不很容易的。我所不能不得出來的結(jié)論是：類不過是說話時的一種方便而已。在我寫作《數(shù)學(xué)的原理》的時候，關(guān)于類這個問題我已經(jīng)有些覺得沒有辦法。可是，我那時候表達(dá)意思所用的語言，我現(xiàn)在想來，是不應(yīng)該那么有實(shí)在論的色彩的（實(shí)在論是取經(jīng)院哲學(xué)上的意義）。我在那本書的序文中曾這樣說：

"討論難以界說的東西（占哲學(xué)邏輯的主要部分）是想法子把這些實(shí)體看得清楚，也是使別人看明白這些實(shí)體，這樣，我們的心理也許對于這些實(shí)體有一種認(rèn)識，和認(rèn)識紅的顏色或菠蘿的味道一樣。凡我們獲得難以界說的東西主要是在分析過程中必然留有殘余的時候（現(xiàn)在所說的例子就是如此），知道一定有這樣的實(shí)體往往比實(shí)際上覺察到這些實(shí)體要容易一些；有一種過程，這種過程和發(fā)現(xiàn)海王星的過程相類似，只是有一個不同之點(diǎn)，就是，用精神的望遠(yuǎn)鏡來尋求那個已經(jīng)推論出來的實(shí)體，這個最后的階段往往是從事這件事情最困難的部分。關(guān)于類這個例子，我不得不坦白地說，我沒有看出有任何概念可以滿足類這個概念的必要條件。在第十章中所討論的矛盾，證明有些東西不大對，但是，這究竟是什么我一直看不出來。"

我現(xiàn)在對于這件事的說法應(yīng)該有些不同了。我應(yīng)該說，假定有任何命題函數(shù)，比如說fx，那么x的值就有一個相當(dāng)?shù)姆秶瓦@個值的范圍來說，這個函數(shù)是"有意義的"，也就是說，不是真就是偽。如果ａ是在這個范圍之中，fa就是一個命題，這個命題不是真就是偽。除了用一個常數(shù)代替x這個變數(shù)以外，關(guān)于一個命題函數(shù)，還有兩件事可做：一件是說它永遠(yuǎn)是真；另一件是說它有時是真。"如果x是人，x就不免于死"這一個命題函數(shù)永遠(yuǎn)是真；"x是人"這一個命題函數(shù)有時是真。所以關(guān)于一個命題函數(shù)有三件事情可做：第一是用一個常數(shù)來代替變數(shù)；第二是對于這個函數(shù)的一切值加以斷定；第三是對于一些值，或者至少一個值，加以斷定。

命題函數(shù)本身只是一個式子而已。它并不對于什么加以斷定或否定。同樣，一個類不過是一個式子而已。它只是談使這個函數(shù)為真的變數(shù)的那些值的一種方便方法而已。

關(guān)于上面所說解決這個問題所需要的三個必要條件之中的第三個條件，我曾提出來一個學(xué)說，這個學(xué)說好象是不合別的那些邏輯學(xué)家的意的?？墒窃谖铱磥?，這個學(xué)說仍然是正確的。這個學(xué)說可以述之如下：當(dāng)我對于一個fx函數(shù)的一切值加以斷定的時候，我斷定的若要明確，x所能采取的值就必須是明確的。那就是說，x所可能有的值必須有一個總體。

如果我現(xiàn)在進(jìn)而創(chuàng)立以那個總體來說明的新的值，這個總體好象就因此擴(kuò)大了，而且與它有關(guān)的新的值也就因此和那個擴(kuò)大了的總體有了關(guān)系。但是，因?yàn)樾碌闹挡荒懿话ㄔ谶@個總體之中，這個總體就永遠(yuǎn)追不上這些新的值，這個過程就好象你想要跳到你的頭的影子上。我們用那個關(guān)于說謊的人的悖論最能簡單地對于這一點(diǎn)加以說明。那個說謊的人說：

"不論我說什么都是假的"。事實(shí)上，這就是他所說的一句話，但是這句話是指他所說的話的總體。只是把這句話包括在那個總體之中的時候才產(chǎn)生一個悖論。我們不能不把涉及命題總體的命題和不涉及命題總體的命題加以區(qū)分。那些涉及命題總體的命題決不能是那個總體之中的份子。第一級命題我們可以說就是不涉及命題總體的那些命題；第二級命題就是涉及第一級命題的總體的那些命題；其余仿此，以至無窮。所以我們那位說謊的人現(xiàn)在就不能不說："現(xiàn)在就是肯定一個第一級的偽命題，這是偽的。"但這本身是一個第二級的命題。

所以他不是說出任何第一級的命題。因此他所說的簡直就是偽的，說它也是真的這種議論不攻自破。這種論證完全可以用于任何高一級的命題。

我們可以發(fā)見，在一切邏輯的悖論里都有一種反身的自指，這種反身自指應(yīng)該根據(jù)同樣的理由加以指斥。那就是說，它包含講那個總體的某種東西（這種東西又是總體中的一份子）。如果這個總體已經(jīng)固定了，這種東西才有明確的意義。

我不能不坦白地說，這個學(xué)說還沒有獲得廣泛的承認(rèn)。但是我還沒有見到能使我信服的反對這個學(xué)說的論證。

前面曾經(jīng)提過的敘述學(xué)說是在發(fā)表于一九○五年《心》學(xué)報的我的一篇文章《論指示》中第一次提出的。那時的那位編輯人覺得這個學(xué)說很不合理，他請我重加考慮，不要要求照原樣發(fā)表。但是，我相信這個學(xué)說是正確的，我拒絕讓步。

這個學(xué)說后來得到普遍的承認(rèn)，大家以為這是我對于邏輯最重要的貢獻(xiàn)。的確，現(xiàn)在那些不相信名稱和別的字之間是有區(qū)別的人對于這個學(xué)說是有一種反應(yīng)。但是我認(rèn)為只有在那些沒有弄過數(shù)理邏輯的人之中才有這種反應(yīng)?？偠灾?，我在他們的批評里看不出任何正確性來?？墒俏页姓J(rèn)，也許名稱學(xué)說要比我有一個時期所想的稍微難一點(diǎn)?？墒俏視簳r把這些困難擱下不管，來講一講普通所用的日常語言。

我曾取"斯考特"這個名稱和"《威弗雷》的作者"這個敘述之間的對比來作我的論證之用。"斯考特是《威弗雷》的作者"這個命題是表示一個同一性，不表示一個同義反復(fù)。

佐治第四想知道斯考特是不是《威弗雷》的作者，可是他并不想知道斯考特是不是斯考特。雖然這使每一個未曾研究過邏輯的人都能了解，對于邏輯學(xué)家卻是一個謎。邏輯學(xué)家們認(rèn)為（也可以說從前認(rèn)為），如果兩種措辭是指一種東西，包含其一措辭的一個命題就永遠(yuǎn)可以被包含另一種措辭的一個命題所代替，而不失其為真，如果原來那個命題是真，或不失其為偽，如果原來那個命題是偽。但是，我們已經(jīng)說過，用"斯考特"代替了"《威弗雷》的作者"之后，你可以把一個真命題變成一個偽命題。這表明不能不把一個名稱和一個敘述加以區(qū)別："斯考特"是一個名稱，可是"《威弗雷》的作者"就是一個敘述。

名稱與敘述之間另外一種重要的分別是，如果一個名稱沒有所指，它在一個命題里就沒有意義，而一個敘述卻不受這種限制。我對麥農(nóng)的工作原是表很大的敬意的，他卻看不出這種區(qū)別來。他曾經(jīng)指出，我們可以提出一些命題來，其邏輯的主辭是"金山"，雖則金山并不存在。他的持論是，如果你說金山并不存在，顯然你所說的有一種東西是不存在的，也就是說，金山：所以金山一定是存在于柏拉圖哲學(xué)里某種渺茫的有的世界之中，因?yàn)?，若不是如此，你的那個金山不存在的命題就是沒有意義的。我老實(shí)說，在我想出敘述學(xué)說以前，我覺得麥農(nóng)這種論證是令人信服的。這個學(xué)說的要點(diǎn)是，雖然"金山"在文法上可以是一個有意義的命題的主辭，這樣一個命題，如果正確地分析了以后，就沒有這樣一個主辭了。"金山不存在"這個命題就變成了"就x的一切值來說，’x是金的而且是一座山’這個命題函項(xiàng)是偽的"。"斯考特是《威弗雷》的作者"這個命題變成了"就x的一切值來說，’x寫了《威弗雷》’等于’x是斯考特’。"在這里，"《威弗雷》的作者"的字樣就不再出現(xiàn)了。

這個學(xué)說還弄明白了"存在"是什么意思。"《威弗雷》的作者存在"意思是說"有一個ｃ的值，就這一個值來說，ｘ寫了《威弗雷》’永遠(yuǎn)等于’x是ｃ’這一個命題函項(xiàng)是真的。"

從這個意義來說，存在只能用來說一個敘述，而且，經(jīng)過了分析之后，就可以見出是一個命題函項(xiàng)的例子，至少就變項(xiàng)的一個值來說是真的。我們可以說"《威弗雷》的作者存在"，我們也可以說"斯考特是《威弗雷》的作者"，但是"斯考特存在"是不正確的說法。這種說法最多能解釋為有這種意思："名叫斯考特的那個人存在"，但是"名叫斯考特的那個人"是一個敘述，不是一個名稱。凡是把一個名稱適當(dāng)?shù)禺?dāng)做一個名稱用的時候，說"它存在"是不正確的。

敘述學(xué)說的主要之點(diǎn)是，一個短語對于一句話的意思可以有所貢獻(xiàn)，若是單獨(dú)用的時候就完全不具有任何意義。就敘述來說，關(guān)于這一點(diǎn)有精確的證明：如果"《威弗雷》的作者"是指"斯考特"以外的什么東西，"斯考特是《威弗雷》的作者"就是偽的，實(shí)際上這個命題并不偽。如果"《威弗雷》的作者"是指斯考特，"斯考特是《威弗雷》的作者"就是同義反復(fù)，而實(shí)際上并非如此。所以，"《威弗雷》的作者"既不指"斯考特"，也不指什么別的東西。那就是說，"《威弗雷》的作者"什么也不指。證訖。

大家只從哲學(xué)的觀點(diǎn)來看《數(shù)學(xué)原理》，懷特海和我對此都表失望。對于關(guān)于矛盾的討論和是否普通數(shù)學(xué)是從純乎邏輯的前提正確地演繹出來的問題，大家很有興趣，但是對于這部書里所發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)技巧，大家是不感興趣的。我從前知道只有六個人讀了這部書的后面幾部分。其中三個是波蘭人，后來（我相信）被希特勒給清算掉了。另外三個是得克薩斯州人，后來被同化得很滿意。甚至有些人，他們所研究的問題和我們的問題完全一樣，認(rèn)為不值得查一查《數(shù)學(xué)原理》關(guān)于這些問題是怎么說的。我舉兩個例子：大約在《數(shù)學(xué)原理》出版十年之后，《數(shù)學(xué)紀(jì)事》發(fā)表了一篇長文，其中一些結(jié)果我們在我們的書里的第四部分不約而同早已經(jīng)弄出來了。這篇文章里有些錯誤，我們卻避免了，可是沒有一個正確的地方不是我們已經(jīng)發(fā)表過的。這篇文章的作者顯然完全不知道他的這種工作早已經(jīng)有人先他而為之了。第二個例子是在我在加利福尼亞大學(xué)和萊申巴赫同事的時候出現(xiàn)的。他告訴我，他有一項(xiàng)發(fā)明，他把數(shù)學(xué)歸納法引伸了。他名之為"超限歸納法"。我對他說，這個問題是在《數(shù)學(xué)原理》的第三卷里充分討論過的。過了一個星期，他對我說，他已經(jīng)證實(shí)了這一點(diǎn)。我想在本章里盡可能不過于專門，從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，不從哲學(xué)的觀點(diǎn)，把《數(shù)學(xué)原理》我認(rèn)為重要的幾方面解釋一下。

我先從一個問題著手，這是一個哲學(xué)上的問題，也同樣是一個數(shù)學(xué)上的問題，就是，關(guān)系的重要性。在我的論萊布尼茨的書里，我曾著重討論過有關(guān)系的事實(shí)和命題的重要性，和這些相對立的是由本體--和--屬性而成的事實(shí)和由主辭--和--賓辭而成的命題。我發(fā)現(xiàn)對關(guān)系所持的偏見在哲學(xué)和數(shù)學(xué)里是發(fā)生了不良影響的。正象萊布尼茨未獲成功的努力一樣，布爾的數(shù)理邏輯是討論類的包含的，而且只是三段論法的一種發(fā)展。皮爾斯曾弄出一種關(guān)系邏輯，但他是把關(guān)系當(dāng)作一種由雙而成的類。這在技術(shù)上是可能的，但是并不自然而然地把注意力引向重要的東西。在關(guān)系邏輯里重要的東西是與類邏輯不同的東西。關(guān)于關(guān)系，我在哲學(xué)方面的意見有助于使我著重一種東西，這種東西結(jié)果變得極為有用。

在那個時候，我?guī)缀跏侵话殃P(guān)系認(rèn)做是內(nèi)包。我想到了這樣一些句子："ｘ在ｙ之前"、"ｘ大于ｙ"、"ｘ在ｙ之北"。那時我覺得（我現(xiàn)在確是仍然覺得），雖然從一種形式算法的觀點(diǎn)來看我們可以把關(guān)系當(dāng)做一套有序的偶，可是使這一套成為一個統(tǒng)一體的只是內(nèi)包。當(dāng)然，類也是如此。使一個類成為一個統(tǒng)一體的只有那個為類中的各項(xiàng)所共具、又為各項(xiàng)所特有的內(nèi)包。凡是我們對付一個類，其中的項(xiàng)我們無法列舉的時候，上面所講的道理是顯而易見的。就無限的類來說，無法列舉是很明顯的，可是大多數(shù)有限的類也正是如此。舉例來說，誰能列舉蠼螋這個類其中的各項(xiàng)呢？雖然如此，我們還是可以說出一些關(guān)于一切蠼螋的命題來（或真或偽），我們之所以能夠如此，乃是由于使這個類所以能夠成立的內(nèi)包。以上所說各點(diǎn)也一樣可以用于關(guān)系。關(guān)于時間上的次序，我們有很多事情可說，因?yàn)槲覀兌?在先"這個字的意思，雖然ｘ在ｙ之先這樣的ｘ，ｙ一切的偶我們是無法列舉的。但是對于關(guān)系是偶的類這種見解還有一個反對的議論：這些偶必須是有序的偶，那就是說，我們必須能夠分別ｘ，ｙ這個偶和ｙ，ｘ這個偶。若是不藉內(nèi)包上的某種關(guān)系，這是做不到的。只要我們只限于類和賓辭，就不可能解釋次序，或把一個有序的偶和無序的一個兩項(xiàng)的類加以區(qū)分。

所有這些都是我們在《數(shù)學(xué)原理》里所發(fā)展出來的關(guān)系算法的哲學(xué)背景。我們不得不把各種概念用符號來表示，這些概念在以前是數(shù)理邏輯學(xué)家們沒有弄得顯著的。這些概念中最重要的是：（１）由一些項(xiàng)而成的類，這些項(xiàng)對于一個既定的ｙ項(xiàng)有Ｒ關(guān)系；（２）由一些項(xiàng)而成的類，對于這些項(xiàng)一個既定的ｘ項(xiàng)有Ｒ關(guān)系；（３）關(guān)系的"范圍"，這個范圍是由一個類而成，這個類中所有的項(xiàng)對于某種什么東西有Ｒ關(guān)系；（４）Ｒ的"相反范圍"，這個范圍是由一個類而成，某種什么東西對于這個類中所有的項(xiàng)有Ｒ關(guān)系；（５）Ｒ的"領(lǐng)域"，這個領(lǐng)域是由上面所說的那種"范圍"和"相反范圍"而成；（６）一種Ｒ關(guān)系的"反面"，這是ｘ和ｙ之間有Ｒ關(guān)系的時候，ｙ和ｘ之間所具的一種關(guān)系；（７）Ｒ和Ｓ兩種關(guān)系的"關(guān)系產(chǎn)物"，這是有一個ｙ中項(xiàng)的時候，ｘ和ｚ之間的一種關(guān)系，ｘ對于ｙ有Ｒ關(guān)系，ｙ對于ｚ有Ｓ關(guān)系；（８）復(fù)數(shù)，界說如下：有既定的某ａ類，我們形成一個由若干項(xiàng)而成的類，所有這些項(xiàng)對于ａ的某項(xiàng)有Ｒ關(guān)系。我們可以看一看人與人的關(guān)系來作以上各種概念的例子。舉例來說，假定Ｒ是父母與子女的關(guān)系。那么，（１）就是ｙ的父母；（２）是ｘ的子女；

（３）是所有那些有子女的人的類；（４）是所有那些有父母的人的類，那就是說，除了亞當(dāng)和夏娃以外，每人都包括在內(nèi)；

（５）"父母"關(guān)系的領(lǐng)域包括每個人，他或是某人的父母，或是某人的子女；（６）"的父母"這種關(guān)系的反面是"的子女"那么一種關(guān)系；（７）"祖父母"是父母與父母的關(guān)系產(chǎn)物，"弟兄或ae?妹"是"子女"與"父母"的關(guān)系產(chǎn)物，"堂兄弟或弟兄或ae?妹"是孫和祖父母的關(guān)系產(chǎn)物，余可以類推；

（８）"伊通學(xué)院學(xué)生的父母"是按這一個意義來說的復(fù)數(shù)。

不同種類的關(guān)系有不同種類的用處。我們可以先講一種關(guān)系，這種關(guān)系產(chǎn)生一種東西，我名之曰"敘述函項(xiàng)"。這是最多只有一項(xiàng)對于既定的一項(xiàng)所能有的一種關(guān)系。這種關(guān)系產(chǎn)生用單數(shù)的"ｔｈｅ"這個字的短語，如"ｔｈｅfａｔｈｅｒofｘ"（ｘ的父親），"ｔｈｅｄｏｕ－ｂｌｅofｘ"（ｘ的兩倍），"ｔｈｅｓｉｎｅofｘ"（ｘ的正弦），以及數(shù)學(xué)中所有的普通函數(shù)。這種函項(xiàng)只能由我名之曰"一對多"的那種關(guān)系產(chǎn)生出來，也就是最多一項(xiàng)對于任何別的一項(xiàng)所能有的那種關(guān)系。舉例來說，如果你正在談一個信基督教的國家，你可以說"ｘ的妻"，但是如果用于一個一夫多妻制的國家，這一個短語的意思就不明確了。在數(shù)學(xué)里你可以說"ｘ的平方"，但是不能說"ｘ的平方根"，因?yàn)椋袃蓚€平方根。前面所列的表里的"范圍"、"相反范圍"和"領(lǐng)域"都產(chǎn)生敘述函項(xiàng)。

第二種極其重要的關(guān)系是在兩個類之間建立一種相互關(guān)系的那種關(guān)系。這種關(guān)系我名之曰"一對一"的關(guān)系。這是這樣一種關(guān)系，在這種關(guān)系中，不僅最多只有一個對于一個既定的ｙ有Ｒ關(guān)系的ｘ，而且最多也只有一個ｙ，對于這個ｙ一個既定的ｘ有Ｒ關(guān)系。舉一個例子：禁止一夫多妻的婚姻。

凡是在兩個類之間有這樣一種相互關(guān)系存在，這兩個類的項(xiàng)的數(shù)目就是一樣的。舉例來說：不用計(jì)算我們就知道妻的數(shù)目和夫的數(shù)目是一樣的，人的鼻子的數(shù)目和人的數(shù)目是一樣的。有一種特殊形式的相互關(guān)系，這種關(guān)系也是極其重要的。

這種相互關(guān)系的起因是：有兩個類是Ｐ和Ｑ兩個關(guān)系的領(lǐng)域，并且在它們之間有一種相互關(guān)系，凡是兩個項(xiàng)有Ｐ這種關(guān)系的時候，它們的相關(guān)者就有Ｑ這種關(guān)系，反之亦然。結(jié)過婚的官吏的位次和他們的妻的位次就是一個例子。如果這些妻不和貴族有關(guān)系，或者如果這些官吏不是主教，這些妻的位次就和丈夫的位次是一樣的。這種產(chǎn)生相互關(guān)系的東西名曰"次序的相互關(guān)系產(chǎn)生者"，因?yàn)椴还茉冢蓄I(lǐng)域中的各項(xiàng)有怎么一種次序，這種次序總保存在Ｑ領(lǐng)域中的它們的相關(guān)者中。

第三種重要的關(guān)系類型是產(chǎn)生系列的一種關(guān)系。"系列"是一個舊的，人人都熟悉的名辭，但我認(rèn)為我是給這個辭以一個確切意義的第一個人。一個系列就是一個組，包含若干項(xiàng)，這些項(xiàng)有一個次序，這個次序來源于一種關(guān)系，這種關(guān)系具有三種性質(zhì)：（ａ）這種關(guān)系一定是不對稱的，那就是說，如果ｘ對ｙ有這種關(guān)系，ｙ對ｘ就沒有這種關(guān)系；（ｂ）它一定是及物的，那就是說，如果ｘ對ｙ有這種關(guān)系，并且ｙ對ｚ有這種關(guān)系，ｘ對ｚ就有這種關(guān)系；（ｃ）它一定是連接的，那就是說，如果ｘ和ｙ是這種關(guān)系領(lǐng)域中的任何不同的兩項(xiàng)，那么，不是ｘ對于ｙ有這種關(guān)系，就是ｙ對于ｘ有這種關(guān)系。如果一種關(guān)系具備了這三種性質(zhì)，它就把它領(lǐng)域中的各項(xiàng)排列在一個系列中。

所有這些性質(zhì)都很容易用人與人關(guān)系的例子來說明。·丈·夫這種關(guān)系是不對稱的，因?yàn)槿绻潦牵碌恼煞颍戮筒皇牵恋恼煞?。相反，配偶就是對稱的。祖先是及物的，因?yàn)椋恋囊粋€祖先的一個祖先是Ａ的一個祖先；但是·父·親是不及物的。在一個系列關(guān)系所必具的三個性質(zhì)之中，祖先具備兩個，不具備第三個，"連接"，那個性質(zhì)，因?yàn)椋⒉皇侨魏蝺蓚€人之中，一個一定是另一個的祖先。另外一方面，舉例來說，如果我們看一看一個皇室的王位繼承，兒子總是繼承父親，僅限于這個王系的祖先關(guān)系是連接的，所以這些國王形成一個系列。

上面這三種關(guān)系是邏輯和普通數(shù)學(xué)之間過渡的極為重要的關(guān)系。

現(xiàn)在我想進(jìn)而把幾種發(fā)展的大意說一說，以上所講的邏輯上的那一套對于這些發(fā)展是很有用的。但是在講之前，我先說幾句概括的話。

在我年輕的時候，人家告訴我說，數(shù)學(xué)是關(guān)于數(shù)目和量的科學(xué)，另一種說法是，數(shù)學(xué)是關(guān)于數(shù)目和度量的科學(xué)。這一個定義失之過于狹隘。第一：在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)里所講的那些很多不同種類的數(shù)目只占數(shù)學(xué)方法所應(yīng)用到的那個范圍的一小部分，并且，為建立算術(shù)的基礎(chǔ)我們所不能不有的推理是和數(shù)目沒有很密切的關(guān)系的。第二：在講算術(shù)和算術(shù)的緒論的時候，我們不可忘記，有些定理對于有限的和無限的類或數(shù)來說都一樣是真的。只要可能，我們不應(yīng)該只為前者對于這些定理加以證明。說得更普通一些，如果在比較普遍的范圍內(nèi)我們可以證明一些定理，我們認(rèn)為，在特殊某類的實(shí)例中對于這些定理加以證明是一件耗費(fèi)時間的事。第三：算術(shù)中的一些傳統(tǒng)的形式定律，即，結(jié)合定律，

（ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ）

交互定律，

ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ

和分配定律

ａ×（ｂ＋ｃ）＝（ａ×ｂ）＋（ａ×ｃ）

我們認(rèn)為證實(shí)這些定律是我們的目的的一部分。初學(xué)數(shù)學(xué)的人只學(xué)了這些定律而無證明，要不然，如果有證明，他們是用數(shù)學(xué)歸納法，因此只對于有限數(shù)是有效的。加法和乘法上的普遍定義假定因數(shù)的數(shù)目是有限的。我們竭力想去掉包括以上所說那一種在內(nèi)的一些限制。

用所謂"選擇"的方法，我們可以把乘法擴(kuò)展到無限多的因數(shù)。用選舉議會的議員這個例子最容易使我們明白選擇這個概念是什么。假定在該國家里每一個選舉出來的議員必須是選民中的一員，整個議會就是自選民而來的一個所謂"選擇"。大意是這樣：如果有一個由若干類而成的類，那若干類中沒有一個是零，選擇就是一種關(guān)系，從每類中挑出一個項(xiàng)來做那類的"代表"。這樣做法的數(shù)目（假定沒有一項(xiàng)為兩類所共有）就是這些類的數(shù)目的積數(shù)。舉例來說，假定我們有三個類，第一個是由ｘ１，ｘ２，ｘ３而成，第二個由ｙ１，ｙ２，ｙ３而成，第三個由ｚ１，ｚ２，ｚ３而成，凡是包含一個ｘ，一個ｙ和一個ｚ的類就是自三類的類而來的一個選擇。無論哪一個讀者都不難弄明白有二十七種辦法來做這種選擇。

在我們采用了這種乘法的定義之后，我們遇到了一種沒有想到的困難。如果類的數(shù)目是無限的，好象我們就無法確知選擇是可能的。如果這些類的數(shù)目是有限的，我們可以從每一類里任意挑出一個代表來，在大選里就是這樣；但是，如果這些類的數(shù)目是無限的，我們就無法有無限數(shù)目的任意的挑選，并且我們不能確知可以做出一個選擇來，除非有一個內(nèi)包來得到所希望的結(jié)果。我舉一個例子：從前有一個百萬富翁，他買了無數(shù)雙鞋，并且，只要他買一雙鞋，他也買一雙襪子。我們可以作一個選擇，從每雙鞋里挑一只，因?yàn)槲覀兛偸强梢蕴粲倚蛘咛糇笮?。所以，就鞋來說，選擇是存在的。但是，論到襪子，因?yàn)闆]有左右之分，我們就不能用這個選擇的規(guī)則。如果我們想從襪子之中能夠加以選擇，我們就不能不采取一種精密得多的方法。例如，我們可以找出一個特點(diǎn)來，在每雙襪子中有一只比另一只更近于這個特點(diǎn)。

這樣，我們從每一雙里挑選那一只比較近于這個特點(diǎn)的襪子，我們就選擇出來了一套。我曾有一次把這一個謎說給在三一學(xué)院教職員餐桌偶爾坐在我一邊的一位德國數(shù)學(xué)家聽，可是他唯一的評語是："為什么說百萬富翁？"

有些人以為，不言而喻，如果這些類之中沒有一個是零，從每類中選擇出一個來就一定是可能的。另有一些人則認(rèn)為不然。關(guān)于這一點(diǎn)，皮亞諾說得最好："這一個原則正確不正確呢？我們的意見是沒有價值的。"我們對于我們所謂"乘法公理"所下的界說是：這是假定永遠(yuǎn)可能從一組若干類中的每一個（這些類沒有一個是零）選出一個代表來。我們找不到贊成或反對這個公理的論證，因此我們把這一個公理明白地包括在應(yīng)用這個公理的任何定理的假定中。在我們遇到這一個問題的同時，載爾美樂提出了他所說的"選擇原理"，這是一個略為不同但在邏輯上相等的假定。他和一些別的人把它看做是一個自明的真理。因?yàn)槲覀儾⒉徊扇∵@一個意見，我們盡力尋求一些方法來對付乘法而不假定這個公理是真的。

選擇的邏輯學(xué)說無論在哪一點(diǎn)上都不依賴"數(shù)目"這個概念，在《數(shù)學(xué)原理》里我們是在給"數(shù)目"下界說之前提出來選擇學(xué)說的。這種意思也可以用于另一個極其重要的概念，也就是，在普通語言里用"等等"這些字所表示C的那個概念。

假定你想用"父母"這個概念來說明"祖先"這個概念。

你可以說，Ａ是Ｚ的祖先，如果Ａ是Ｂ的父（或母）親，Ｂ是Ｃ的父（或母）親，等等，并且這樣在有限的多少步之后，你達(dá)到Ｙ這個人，他是Ｚ的父（或母）親。這都沒有問題，只是有一件，這里邊包含"有限的"這幾個字，這幾個字不能不加以界說。只有用一個完全一般的概念的特殊應(yīng)用，給"有限的"下定義才是可能的，就是，從任何既定的關(guān)系而來的祖先關(guān)系那個概念。這個祖先關(guān)系概念最初是弗雷格遠(yuǎn)在一八七九年發(fā)展出來的，但是直到懷特海和我發(fā)展出這個概念來的時候，弗雷格的工作一直沒有為世人所注意。我們想加以界說的這個概念可以初步解釋如下：如果ｘ對于ｙ具有Ｒ關(guān)系，我們姑且把ｘ到ｙ這一步稱為"Ｒ步"。你可以從ｙ到ｚ再走一Ｒ步。凡是通過從ｘ開始的那些Ｒ步你所能達(dá)到的東西，我們都說成為關(guān)于Ｒ的ｘ的"后代"。我們不能說凡是通過一個"有限數(shù)目的Ｒ步"你所能達(dá)到的東西，因?yàn)槲覀冞€沒有對于"有限"這個辭加以界說。我們只有借"后代"這個概念才能給它下一個界說。關(guān)于Ｒ的ｘ的后代可以界說如下：我們先給關(guān)于Ｒ的一個"世傳的"類下一個界說。

這是有這樣性質(zhì)的一個類：凡是從這個類的一項(xiàng)通過一Ｒ步所達(dá)到的東西就又是這個類的一項(xiàng)。舉例來說，"斯密"這個名稱的性質(zhì)是在父子關(guān)系中世傳的，人性這種性質(zhì)是在父母對子女的關(guān)系中世傳的。"如果ｙ屬于ｘ所屬于的每個關(guān)于Ｒ的世傳的類，ｙ就屬于關(guān)于Ｒ的ｘ的后代"，我現(xiàn)在說明這是什么意思?，F(xiàn)在讓我們把這個應(yīng)用于普通的整數(shù)，用一個數(shù)目對于它下面緊接著的那個數(shù)目的關(guān)系來代替Ｒ。如果我們現(xiàn)在看一看關(guān)于這一個數(shù)目的０的后代，顯然１是屬于這個后代，因?yàn)椋保剑埃保欢?，因?yàn)椋睂儆冢暗暮蟠?，２也是如此；而且，因?yàn)椋彩侨绱耍骋簿褪侨绱?。這樣下去，我們就得到一整套都屬于０的后代的數(shù)目。我們可以把用所謂"數(shù)學(xué)歸納法"的證明應(yīng)用于所有這些數(shù)目。數(shù)學(xué)歸納法是這樣一個原理：如果一個性質(zhì)屬于０，并且屬于有這個性質(zhì)的任何數(shù)目下面緊接著的那個數(shù)目，那么，這個性質(zhì)就屬于所有的有限數(shù)。把"有限"數(shù)說明為０的后代，這是這個定義的直接結(jié)果。從前大家以為數(shù)學(xué)歸納法是一個原理，因?yàn)閺那耙詾橐磺袛?shù)目一定是有限的。這是一個錯誤。數(shù)學(xué)歸納法不是一個原理，而是一個定義。對于有些數(shù)目來說它是正確的，對于另一些數(shù)目來說它是不正確的。凡它能適用的數(shù)目就是有限數(shù)。舉例來說，把１加到一個有限數(shù)上，這個有限數(shù)就增加了；一個無限數(shù)就不是這樣。

整個這個祖先關(guān)系學(xué)說不但對于數(shù)目說來是十分重要的。因?yàn)檫@個理由，我們在提出數(shù)的定義來以前就創(chuàng)立了這個學(xué)說。

現(xiàn)在我來講一個東西，我名之為"關(guān)系算術(shù)"，這占了《數(shù)學(xué)原理》第二卷的后半本的篇幅。從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看，這是我對于這部書最重要的貢獻(xiàn)。我所說的"關(guān)系數(shù)"是一種完全新的數(shù)，普通數(shù)是這種數(shù)的一種極其特殊化的例子。我發(fā)現(xiàn)，一切能用于普通序數(shù)的那些形式定律都能用于這一種一般得多的數(shù)。我也發(fā)現(xiàn)，關(guān)系數(shù)對于了解結(jié)構(gòu)是很要緊的。

有些辭（"結(jié)構(gòu)"就是其中的一個），正如"等等"或者"系列"，雖然為人用得慣熟，卻無確切的意義。借關(guān)系算術(shù)，"結(jié)構(gòu)"這個概念就可以精確地加以界說。

這一個問題里的基本定義是前面已經(jīng)提到過的"次序的類似"或"相似"的定義。凡和關(guān)系有關(guān)的地方，這種東西所起的作用正和類似在類與類之間所起的作用是一樣的。類與類之間的類似就是一個一對一的關(guān)系的存在，把一類的每一項(xiàng)和另一類中的相關(guān)者連結(jié)到一起。Ｐ和Ｑ兩種關(guān)系之間的次序的類似就是指，有Ｐ領(lǐng)域?qū)Γ杨I(lǐng)域的那么一個相互關(guān)系產(chǎn)生者，凡是兩項(xiàng)有Ｐ關(guān)系，它們的相關(guān)者就有Ｑ關(guān)系，反之亦然。讓我們舉一個例證：假定Ｐ是已婚的政府官員的位次關(guān)系，Ｑ是他們的妻子的位次關(guān)系，妻和丈夫的關(guān)系就使Ｐ領(lǐng)域和Ｑ領(lǐng)域有這樣的相互關(guān)系：只要是這些妻們有Ｑ關(guān)系，他們的丈夫就有Ｐ關(guān)系，反之亦然。當(dāng)Ｐ和Ｑ兩種關(guān)系在次序上是類似的時候，如果Ｓ是產(chǎn)生相互關(guān)系作用的那個關(guān)系，Ｑ就是Ｓ和Ｐ的關(guān)系產(chǎn)物，而且是Ｓ的倒轉(zhuǎn)。例如，在上面所舉的那個例證中，如果ｘ和ｙ是兩個妻，并且ｘ對ｙ有Ｑ關(guān)系，而且，如果Ｓ是妻對丈夫的關(guān)系，那么，ｘ就是對ｙ的丈夫有Ｐ關(guān)系那樣一個男人的妻，那就是說，Ｑ和Ｓ與Ｐ的關(guān)系產(chǎn)物是同一關(guān)系，并且是Ｓ的倒轉(zhuǎn)；Ｓ的倒轉(zhuǎn)就是丈夫?qū)ζ薜年P(guān)系。凡Ｐ和Ｑ是系列關(guān)系的時候，它們的相似在于它們的各項(xiàng)可以發(fā)生相互關(guān)系而不變換次序。但是相似這個概念可以用于一切有領(lǐng)域的關(guān)系，也就是，可以用于一切關(guān)系，在這種關(guān)系中，范圍和倒轉(zhuǎn)范圍是一種類型。

我們現(xiàn)在說，一個Ｐ關(guān)系的關(guān)系數(shù)就是那些在次序上和Ｐ相類似的關(guān)系的類。這正有類于用次序的類似代替類的類似，用關(guān)系代替類的基數(shù)算術(shù)。加法、乘法和指數(shù)的定義有點(diǎn)兒類乎基數(shù)算術(shù)里的定義。加法和乘法都遵循結(jié)合定律。分配定律在一種形式中是適用的，但是，普通說來，在另一種形式中是不適用的。除了有關(guān)的關(guān)系的領(lǐng)域是有限的，交互定律是不適用的。舉例來說，今有象自然數(shù)的系列的一個系列，在這個系列上加上兩項(xiàng)。如果你把這兩項(xiàng)加在開頭的地方，這個新的系列就象是那個舊的系列；可是，如果你把這兩項(xiàng)加在末尾，這個新的系列就不同了。無論什么時候，如果ｘ對ｙ有Ｐ關(guān)系，或ｘ對ｙ有Ｑ關(guān)系，或ｘ屬于Ｐ的領(lǐng)域，ｙ屬于Ｑ的領(lǐng)域，那么，Ｐ和Ｑ兩種關(guān)系之和就可以說是能適用于ｘ與ｙ之間的一種關(guān)系。根據(jù)這一個定義，一般說來，Ｐ與Ｑ之和跟Ｑ與Ｐ之和不同。不僅一般的關(guān)系數(shù)是如此，而且序數(shù)也是如此，如果其中之一或二者是無限的。

序數(shù)是關(guān)系數(shù)的次一級的類，也就是能適用于"次序整然的"系列，"次序整然的"系列其性質(zhì)是：其中任何有若干項(xiàng)的次一級的類有一個第一項(xiàng)?？蔡卦芯窟^超限序數(shù)，但是，據(jù)我所知，一般的關(guān)系數(shù)是在《數(shù)學(xué)原理》中第一次加以界說和研究的。

一兩個例證也許對于我們有幫助。假定你有若干對成一其個系列，你想按照上面解釋選擇公理的意思從這些對里形成一系列的選擇。這個程序和基數(shù)算術(shù)里的程序十分近似，只是有一點(diǎn)不同，就是，我們現(xiàn)在是想把這些選擇排成一個次序，而以前我們只是把它們算做一個類。此外又假定，正如我們討論類的選擇的時候那樣，我們有三個組，（ｘ１，ｘ２，ｘ３）、（ｙ１，ｙ２，ｙ３）和（ｚ１，ｚ２，ｚ３），我們想從這些里邊弄出一個選擇的系列來。這有種種辦法。也許最簡單的辦法是這樣：任何包含ｘ１的選擇出現(xiàn)在任何不包含的選擇之先。在二者都包含ｘ１或都不包含ｘ１的那些選擇之中，那些包含ｙ１的選擇出現(xiàn)在不包含ｙ１的選擇之先。在二者都包含或都不包含ｘ１和ｙ１的那些選擇之中，那些包含ｚ１的選擇出現(xiàn)在那些不包含ｚ１的選擇之先。我們?yōu)槲矓?shù)２和尾數(shù)３立下類似的規(guī)則。這樣我們就得到所有可能有的選擇，排成一個系列，這個系列的開頭是（ｘ１，ｙ１，ｚ１），最后是（ｘ３，ｙ３，ｚ３）。顯然這個系列是有二十七項(xiàng)，但是這里二十七這些數(shù)目已經(jīng)不是象我們從前那個例子里的那樣一個基數(shù)，而是一個序數(shù)了，也就是說，是特別一種關(guān)系數(shù)。由于在那些選擇之中建立了一個次序，它和一個基數(shù)是有區(qū)別的，一個基數(shù)并不建立一個次序。只要我們只限于有限數(shù)，在序數(shù)與基數(shù)之間是沒有重要的形式上的分別的；但是，有了無限數(shù)的時候，由于交互定律不起作用，其間的分別就變得重要了。

在證明關(guān)系算術(shù)的形式定律的時候，我們常常有機(jī)會討論系列的系列的系列。用下面這個實(shí)例，你在心中就可以得到一個具體形像：假定你要把一些磚堆積起來，而且，為的是把這件事說得更有趣，假定這是些金磚，你是在諾克司堡工作。我現(xiàn)在假定你先弄成一行磚，把每一塊磚放在前一塊的正東；你然后再弄一行，和第一行接觸，但是是在第一行的正北；這樣下去，你弄了許多行，到適當(dāng)?shù)某潭榷?。然后你在第一層的上面弄第二層，在第二層的上面弄第三層，這樣下去，直到所有的磚都堆完為止。那么每一行就是一個系列，每一層是一個系列的系列，這一整堆是一個系列的系列的系列。我們可以用符號把這個過程代表如下：假定Ｐ是上層對下層的關(guān)系；Ｐ的領(lǐng)域是由各層而成；每一層是一系列的行。假定Ｑ１是最高一層各行南對北的關(guān)系，Ｑ２是第二層各行的這種關(guān)系，其余類推。Ｑ的領(lǐng)域是一系列的行。在最高一層最南邊的一行中，東對西的關(guān)系，我們稱之為Ｒ１１；在最高一層的第二行中，東對西的關(guān)系，我們稱之為Ｒ１２；其余類推，最后是Ｒｍｍ，假定ｍ是層的數(shù)目，ｎ是每一層中行的數(shù)目。在這一個實(shí)例中，我是假定層數(shù)和行數(shù)是有限的，但是這是一個完全不必要的限制，有這一個限制只是為把這個實(shí)例弄得簡單一點(diǎn)。在普通的語言里，所有這些都頗為復(fù)雜而冗長，但是用其符號來就變得簡易了。假定E是ｘ對Ｐ的關(guān)系（這個關(guān)系就是ｘ是Ｐ的領(lǐng)域的一項(xiàng)）。那么，F(xiàn)３就是F和F和F的關(guān)系產(chǎn)物。舉例來說，單個的磚是對Ｐ有F３關(guān)系的一些項(xiàng)，那就是說，每個磚是Ｐ的領(lǐng)域的一項(xiàng)的領(lǐng)域的一項(xiàng)的領(lǐng)域的一項(xiàng)。在證明加法和乘法的結(jié)合定律的時候，我們需要這樣的系列的系列的系列。

如果兩個關(guān)系數(shù)在次序上類似，我們可以說，它們產(chǎn)生相同的"結(jié)構(gòu)"，但結(jié)構(gòu)是略比這個更為廣泛的概念，因?yàn)樗幌抻诙年P(guān)系，那就是說，二項(xiàng)之間的關(guān)系。在幾何學(xué)里，三項(xiàng)或四項(xiàng)之間的關(guān)系是很重要的，懷特海原要在《數(shù)學(xué)原理》的第四卷里討論這些關(guān)系。但是他做了不少預(yù)備工作之后，他的興趣松懈下來，他放棄了這計(jì)劃，而走向哲學(xué)去了。

可是不難看出結(jié)構(gòu)這個概念如何可以一般化。假定Ｐ和Ｑ已經(jīng)不是二的關(guān)系，而是三的關(guān)系，這樣的關(guān)系有許多通俗的例子，如，"在……之間"和"嫉妒"。關(guān)于Ｐ和Ｑ，我們可以說它們有相同的結(jié)構(gòu)，如果能使它們有相互關(guān)系，凡在那個次序里ｘｙｚ有Ｐ關(guān)系的時候，它們的相關(guān)者在相同的次序里就有Ｑ關(guān)系，反之亦然。結(jié)構(gòu)之為重要是有經(jīng)驗(yàn)上的原因的，但是它的重要性也有純粹是邏輯上的原因。如果兩個關(guān)系有相同的結(jié)構(gòu)，它們的邏輯上的性質(zhì)是同一的，只是有一件：有賴于它們的領(lǐng)域的項(xiàng)的那些性質(zhì)要除外。我所謂"邏輯的性質(zhì)"是指能用邏輯術(shù)語表示的那些性質(zhì)，不只是指能用邏輯證明的那些性質(zhì)。對于系列關(guān)系加以界說的那三個特征就是一個例子，就是說，它們是不對稱的、及物的、連接的。這些特征可以用邏輯術(shù)語表示出來；如果一個關(guān)系有其中之一的任何特征，每個在次序上和它類似的關(guān)系就也有這一個特征。每個關(guān)系數(shù)，不管是有限的或是無限的，是有這個數(shù)的任何關(guān)系的一個邏輯的性質(zhì)。大體說來，凡關(guān)于一個關(guān)系你所能講的話，不提有這個關(guān)系的各項(xiàng)，也不談任何不能用邏輯術(shù)語表示的性質(zhì)，都完全能適用于任何與你著手的關(guān)系相類似的關(guān)系。邏輯的和別的性質(zhì)之間的區(qū)別是很重要的。舉例來說，如果Ｐ是顏色之間的一種關(guān)系（例如虹里顏色的次序），是顏色之間的一種關(guān)系這么一個性質(zhì)不屬于在次序上與Ｐ類似的一切關(guān)系；但是是系列的那樣的一個性質(zhì)卻是如此。再舉一個較為復(fù)雜的例子：留聲機(jī)器和灌片時原來的音樂在它們的邏輯的性質(zhì)方面是分辯不出來的，雖然這兩種東西所由成的實(shí)際材料是很不同的。

另一個實(shí)例也許能幫助我們把結(jié)構(gòu)這個概念解釋明白。

假定你知道某種語言的文句構(gòu)造上的規(guī)則，但是，除了用于邏輯的一些字以外，你一個字也不認(rèn)識，并且假定有人給了你用這種文字寫出來的一個句子：這句話可以有的不同的意義是什么呢？這些意義的相同之點(diǎn)是什么呢？只要能使這整個句子具有意義（也就是說，在邏輯上講得通），你對于每個單個的字可以賦予任何意義。那么，這句話就有很多可能的意義，也說不定是無限多，但是它們都有相同的邏輯結(jié)構(gòu)。如果你的語言具備某些邏輯上的必要條件，使你的一些句子為真的那些事實(shí)也就有相同的結(jié)構(gòu)。

我認(rèn)為關(guān)系算術(shù)是重要的，這不只是因?yàn)樗且粋€有趣的通則，也是因?yàn)樗o人以對付結(jié)構(gòu)所必需的一種符號技術(shù)。

我一直認(rèn)為，不熟悉數(shù)理邏輯的人很不容易了解"結(jié)構(gòu)"的意義，而且，因?yàn)橛羞@一種困難，在試圖了解經(jīng)驗(yàn)的世界的時候，他們很容易走錯了路。僅是因?yàn)檫@個道理，關(guān)系算術(shù)這一個學(xué)說至今不大為世人所注意，我對此覺得十分惋惜。

我之知道這個學(xué)說沒有完全被人所忽略，是因?yàn)槲以谝痪盼辶瓿龊跻饬现饨拥搅税亓譂h布特大學(xué)俞爾根·斯密教授的一封信。他告訴我，這個學(xué)說的一些部分在所謂"辭典編輯問題"中曾經(jīng)用過，這個問題是在于規(guī)定一種語言中字的字母排列，這種語言的字母是無限的。