《數(shù)學(xué)原理》最初不很受歡迎。大陸上的數(shù)理哲學(xué)分為兩派，形式主義者和直觀主義者。這兩派都完全否認(rèn)數(shù)學(xué)是從邏輯出來(lái)的，并且利用矛盾來(lái)證明他們的否認(rèn)是正當(dāng)?shù)摹?br style="LINE-HEIGHT: 24px; BACKGROUND-COLOR: rgb(245,247,238); FONT-FAMILY: Simsun; WHITE-SPACE: normal; FONT-SIZE: medium">
　　以希爾伯特為首的形式主義者主張，算術(shù)上的符號(hào)只是紙上的一些記號(hào)，全無(wú)意義，算術(shù)是由類乎下棋的規(guī)則的一些任意的規(guī)則而成，按照這些規(guī)則，可以把那些記號(hào)加以操作使用。這個(gè)學(xué)說(shuō)有著避免一切哲學(xué)爭(zhēng)論的有利條件，但它也有不能解釋數(shù)字在計(jì)算中應(yīng)用的不利條件。如果把○這個(gè)符號(hào)看做是指一百或一千或任何別的有限數(shù)，則形式主義者所提出的一切使用規(guī)則也就得到了證實(shí)。這個(gè)學(xué)說(shuō)無(wú)法解釋象“這間屋子里有三個(gè)人”或“有十二個(gè)使徒”這樣一些簡(jiǎn)單的命題是什么意思。對(duì)于從事計(jì)算，這個(gè)學(xué)說(shuō)是完全夠用的，但是在數(shù)的應(yīng)用上則是不夠的。既然重要的是數(shù)的應(yīng)用，形式主義者的這個(gè)學(xué)說(shuō)不能不看做是一種不滿人意的逃避。

　　以伯勞威為首的直觀主義者的學(xué)說(shuō)須更認(rèn)真地討論一下。這個(gè)學(xué)說(shuō)的核心是否定排中律。這個(gè)學(xué)說(shuō)認(rèn)為，如果有一個(gè)方法能確定一個(gè)命題是正確或錯(cuò)誤，那個(gè)命題才能算是正確或錯(cuò)誤。常見(jiàn)的例子之中有一個(gè)就是這樣一個(gè)命題：“在π的小數(shù)計(jì)算中有三個(gè)連續(xù)的七”。就已經(jīng)求出來(lái)的π的值來(lái)說(shuō)，并沒(méi)有三個(gè)連續(xù)的七，但是沒(méi)有理由假定在后來(lái)的一個(gè)地方這就不會(huì)出現(xiàn)。如果今后看來(lái)果真有一個(gè)地方有三個(gè)連續(xù)的七出現(xiàn)，問(wèn)題就解決了，但是，如果這樣一個(gè)地方?jīng)]有達(dá)到，那并不能證明后來(lái)不會(huì)有這樣一個(gè)地方。所以，雖然我們也許完全能證明是有三個(gè)連續(xù)的七，我們卻永遠(yuǎn)不能證明沒(méi)有。這個(gè)問(wèn)題對(duì)于分析是很重要的。不盡的小數(shù)有時(shí)候是按一條定律來(lái)進(jìn)行，這條定律使我們能夠隨意計(jì)算多少項(xiàng)。但有時(shí)（我們必須這樣假定）它們不按任何定律來(lái)進(jìn)行。根據(jù)一般承認(rèn)的原則，第二種情形比第一種情形不知要普遍多少倍。而且，如果不承認(rèn)“不法的”這樣的小數(shù)，則整個(gè)實(shí)數(shù)學(xué)說(shuō)就塌臺(tái)了，并且微積分以及幾乎整個(gè)高等數(shù)學(xué)也就隨之瓦解。伯勞威面對(duì)這一災(zāi)難，毫不畏縮，但是大多數(shù)數(shù)學(xué)家認(rèn)為是受不了的。

　　這個(gè)問(wèn)題的普遍性比上面那個(gè)數(shù)學(xué)例子所表現(xiàn)的要大得多。問(wèn)題是：“如果沒(méi)有方法來(lái)決定一個(gè)命題正確或錯(cuò)誤，說(shuō)這個(gè)命題正確或錯(cuò)誤有沒(méi)有任何意義？”或者用另一個(gè)方式來(lái)說(shuō)：“‘真’和‘能證實(shí)’應(yīng)該是一回事嗎？”我認(rèn)為我們不能說(shuō)這是一回事，否則我們只得作一些粗劣而無(wú)理的悖論。請(qǐng)以下邊這個(gè)命題為例：“公元一年的一月一日曼赫坦島上下了雪”。我們想不出有什么法子能夠看出這個(gè)命題是正確或錯(cuò)誤，但是主張這個(gè)命題不正確也不錯(cuò)誤，看來(lái)是荒謬的。關(guān)于這個(gè)問(wèn)題我現(xiàn)在不想再說(shuō)下去，因?yàn)槲以凇秾?duì)意義與真理的探討》的第二十和第二十一章中曾詳細(xì)討論過(guò)，關(guān)于《對(duì)意義與真理的探討》一書我在本書的后邊一章還要講到。同時(shí)，我想直觀主義者的學(xué)說(shuō)是不能不加以拒斥的。

　　直觀主義者和形式主義者都是從外面來(lái)攻擊《數(shù)學(xué)原理》的學(xué)說(shuō)，而擊退他們的攻擊好象并不十分困難。維根斯坦及其學(xué)派的批評(píng)就另是一回事了。這些批評(píng)是來(lái)自里面，十分值得尊重。

　　維根斯坦對(duì)我有過(guò)深遠(yuǎn)的影響。我漸漸覺(jué)得，在很多點(diǎn)上我和他的意見(jiàn)相合是過(guò)了分?？墒俏也荒懿幌冉忉屢幌?tīng)?zhēng)論之點(diǎn)是什么。

　　維根斯坦對(duì)于我的影響是分兩起來(lái)的：第一起是在第一次大戰(zhàn)之前；第二起是大戰(zhàn)一完他就把他的《邏輯哲學(xué)論》的原稿寄給我。他后來(lái)的學(xué)說(shuō)，在他的《哲學(xué)研究》中所講的，絲毫沒(méi)有影響我。

　　在一九一四年之初，維根斯坦給了我一篇用打字機(jī)打好的短文章，里邊是一些論各種邏輯問(wèn)題的筆記。這篇文章，和多次的談話，影響了我在戰(zhàn)時(shí)那幾年的思想。戰(zhàn)時(shí)他在奧國(guó)的軍隊(duì)里，因此我完全和他中斷了聯(lián)系。我在這個(gè)時(shí)候?qū)λ膶W(xué)說(shuō)的了解完全是來(lái)自未經(jīng)發(fā)表的材料。我不確實(shí)知道，那個(gè)時(shí)候或者后來(lái)我自己相信是由他而來(lái)的意見(jiàn)，事實(shí)上真是他的意見(jiàn)。他始終否認(rèn)別人對(duì)他的學(xué)說(shuō)的解釋，即使這些人是他的熱誠(chéng)的門徒。我所知道的唯一例外是F.P.萊穆塞，這一個(gè)人我不久就要討論。

　　一九一八年之初我在倫敦連續(xù)做了一些講演。這些講演后來(lái)登在《一元論者》學(xué)報(bào)里（1918及1919）。我曾用下面表示感謝維根斯坦的話來(lái)作這些講演的序言：“以下的文章是一九一八年頭幾個(gè)月在倫敦所做的連續(xù)八個(gè)講演的前兩個(gè)，主要是從事解釋我從我的朋友、從前的學(xué)生路得維?！ぞS根斯坦所學(xué)來(lái)的一些想法。自一九一四年八月以后，我就沒(méi)有機(jī)會(huì)知道他的主張了。我甚至都不曉得他活著還是死了。因此，除了這些講演中的許多理論當(dāng)初是他供給的之外，他對(duì)于這些講演中所說(shuō)的話不負(fù)責(zé)任。另外那六個(gè)講演將在《一元論者》的以后三期里登載”。

　　正是在這些講演里，我首先采用了“邏輯原子主義”這個(gè)名字來(lái)形容我的哲學(xué)。但是多談這一方面是不值得的，因?yàn)榫S根斯坦的一九一四年的學(xué)說(shuō)尚處在一個(gè)不成熟的階段。重要的是《邏輯哲學(xué)論》，停戰(zhàn)不久之后他就把打字稿本寄給了我，那時(shí)他還是在蒙特卡西諾的一個(gè)俘虜。我將討論《邏輯哲學(xué)論》的學(xué)說(shuō)，先討論那時(shí)這些學(xué)說(shuō)對(duì)我的影響，其次討論后來(lái)我對(duì)于這些學(xué)說(shuō)的想法。

　　也許《邏輯哲學(xué)論》在哲學(xué)上的基本學(xué)說(shuō)是，一個(gè)命題是這個(gè)命題所說(shuō)的那些事實(shí)的一個(gè)圖形。一張地圖顯然是傳達(dá)一些正確或不正確的知識(shí)；如果這些知識(shí)是正確，那是因?yàn)檫@張地圖和其所關(guān)的地方二者之間在結(jié)構(gòu)上有相似之處。維根斯坦認(rèn)為，用語(yǔ)言來(lái)斷定一件事實(shí)也是如此。例如他說(shuō)，如果你用“aRb”這個(gè)符號(hào)來(lái)代表a對(duì)b有R關(guān)系這件事實(shí)，你的符號(hào)之所以能夠代表是因?yàn)檫@個(gè)符號(hào)在“a”和“b”之間建立起來(lái)一種關(guān)系，這種關(guān)系代表a和b之間的關(guān)系。這個(gè)學(xué)說(shuō)是強(qiáng)調(diào)結(jié)構(gòu)的重要性。例如他說(shuō)：“留聲機(jī)片、音樂(lè)思想、樂(lè)譜、聲波，彼此都有那種圖畫似的內(nèi)在關(guān)系。在語(yǔ)言和世界之間也有這種關(guān)系。邏輯結(jié)構(gòu)和所有這些都有共通之點(diǎn)。”

　　“（正象故事里的那兩個(gè)青年、他們的兩匹馬和他們的百合花。在某種意義上說(shuō)，他們都是一回事。）”（《邏輯哲學(xué)論》，4.014.）。

　　強(qiáng)調(diào)結(jié)構(gòu)的重要性，我仍然認(rèn)為他是對(duì)的?？墒牵劣谝粋€(gè)正確的命題必須重現(xiàn)所關(guān)的事實(shí)結(jié)構(gòu)這樣一個(gè)學(xué)說(shuō)我現(xiàn)在覺(jué)得很可懷疑，雖然當(dāng)時(shí)我是承認(rèn)這個(gè)學(xué)說(shuō)的。無(wú)論如何，即使這個(gè)學(xué)說(shuō)在某些意義上是正確的，我也不認(rèn)為它有什么很大的重要性?？墒蔷S根斯坦卻以為是根本的。他把它當(dāng)做一種奇怪的邏輯神秘主義的基礎(chǔ)。他主張一個(gè)正確的命題和與它相應(yīng)的事實(shí)所共有的形式只能表示出來(lái)，而說(shuō)不出來(lái)，因?yàn)樗皇钦Z(yǔ)言中的另一個(gè)字而是一些字或與這些字相當(dāng)?shù)囊恍〇|西的一種安排：“命題能夠表現(xiàn)整個(gè)的實(shí)在，但是它們不能為了能夠表現(xiàn)實(shí)在，來(lái)表現(xiàn)它們必與實(shí)在相共有的地方——邏輯的形式。

　　“為了表現(xiàn)邏輯的形式，我們應(yīng)該能夠把我們自己和命題置于邏輯之外，那就是說(shuō)世界之外”（《邏輯哲學(xué)論》，4.12.）。這是提出來(lái)的唯一之點(diǎn)在我極接近同意維根斯坦的主張的時(shí)候，我仍然不能信服。在《邏輯哲學(xué)論》我的導(dǎo)言中我建議，雖然在任何一種語(yǔ)言中有一些語(yǔ)言所不能表示的東西，可是總有可能構(gòu)成一種高一級(jí)的語(yǔ)言，能把那些東西說(shuō)出來(lái)。在這種新的語(yǔ)言中還要有一些東西說(shuō)不出來(lái)，但是能在下一種語(yǔ)言中說(shuō)出來(lái)，如此等等以至于無(wú)窮。這種建議在那個(gè)時(shí)候是新奇的，現(xiàn)在已經(jīng)變成一種公認(rèn)的邏輯上的平凡的東西了。這就消除了維根斯坦的神秘主義，并且，我想，也解決了哥德?tīng)査岢龅男碌闹i。

　　其次我講一講維根斯坦關(guān)于同一的說(shuō)法。他這種說(shuō)法的重要性也許不是一時(shí)就看得出來(lái)的。要解釋這個(gè)學(xué)說(shuō)，我不能不先把《數(shù)學(xué)原理》里關(guān)于同一的定義說(shuō)一說(shuō)。在一件事物的性質(zhì)中，懷特海和我判別出一些來(lái)，我們稱之為“敘述的”。這是和總的性質(zhì)無(wú)關(guān)的一些性質(zhì)。例如，你可以說(shuō)，“拿破侖是科西加島人”，或者“拿破侖胖”。這樣說(shuō)的時(shí)候，你并不是指集合起來(lái)的性質(zhì)?？墒侨绻阏f(shuō)“拿破侖具有大將的眾長(zhǎng)”，或者“伊麗沙白女王第一兼具她父親和祖父的諸種德性，而沒(méi)有他們的毛病”，你是指總的性質(zhì)。我們把這樣涉及到總體的性質(zhì)和敘述的作用加以區(qū)分，是為避免一些矛盾。我們把“x和y是等同的”的定義說(shuō)成是指“y具有x的所有的敘述的性質(zhì)”，并且，在我們的系統(tǒng)里，必然的結(jié)果是，y具有x所具有的任何性質(zhì)，不管是敘述的，還是不是敘述的。對(duì)于這一點(diǎn)維根斯坦所持的異議如下：“羅素對(duì)于“＝”所下的定義是不行的；因?yàn)榘凑者@一個(gè)定義來(lái)講，我們不能說(shuō)兩件事物所有的性質(zhì)都為它們所共有。（即使這個(gè)命題一點(diǎn)也不正確，卻是含有意思的。）

　　“大體上說(shuō)：說(shuō)兩件東西等同，是沒(méi)有意義的，說(shuō)一件東西和其本身等同，等于沒(méi)有說(shuō)”（《邏輯哲學(xué)論》，5.5302和5.5303）。有一個(gè)時(shí)候，我接受了這個(gè)批評(píng)，可是我不久就得到了這樣一個(gè)結(jié)論：他的批評(píng)使數(shù)理邏輯無(wú)法成立，并且事實(shí)上維根斯坦的批評(píng)是無(wú)效的。如果我們考慮到計(jì)算，這就格外明顯了：如果a和b的一切性質(zhì)都為它們所共有，你就永遠(yuǎn)不能提到a而不提到b，或數(shù)到a而不同時(shí)數(shù)到b，不是把b當(dāng)作單獨(dú)的一項(xiàng)來(lái)數(shù)，而是在同一數(shù)的動(dòng)作中來(lái)數(shù)。所以你就決沒(méi)有可能發(fā)現(xiàn)a和b是兩個(gè)。維根斯坦的主張是假定不同是一種難以明確的關(guān)系，雖然我并不認(rèn)為他知道他是做此假定?？墒侨绻蛔龃思俣ǎ揖涂床怀鲇惺裁蠢碛赡芟笏f(shuō)：說(shuō)兩件事物的一切性質(zhì)都為他們所共有，是有意義的?？墒侨绻姓J(rèn)不同是有的，那么，如果a和b是兩個(gè)，a就有一種為b所沒(méi)有的性質(zhì)，那就是，與b不同那么一種性質(zhì)。所以，我想維根斯坦關(guān)于同一的那種主張是錯(cuò)誤的。果真如此，那就使他的系統(tǒng)的大部分歸于無(wú)效。

　　請(qǐng)以2這個(gè)數(shù)的定義為例。我們說(shuō)一個(gè)類有兩項(xiàng)，如果這個(gè)類有x和y兩項(xiàng)，并且x和y并不等同，并且，如果z是這個(gè)類的一項(xiàng)，則z和x或y等同。很難使這個(gè)定義和維根斯坦的主張相調(diào)適，他的主張是要求：我們決不應(yīng)該用辭句來(lái)表示“x＝y(tǒng)”或“x.y”這個(gè)式子，而是應(yīng)該用不同的字母來(lái)代表不同的東西，并且決不應(yīng)該用兩個(gè)不同的字母來(lái)代表同一個(gè)東西。除了這種專門技術(shù)上的困難之外，顯然，由于上面所講的理由，如果兩件東西的一切性質(zhì)都為二者所共有，則這兩件東西就不能算做兩個(gè)，因?yàn)樗阕鰞蓚€(gè)就不能不把它們區(qū)別開(kāi)，因此也就給了它們以不同的性質(zhì)。

　　還有一個(gè)結(jié)果，就是，我們不能制造一個(gè)為某一組列舉的物件所共有和特有的內(nèi)包。舉例來(lái)說(shuō)，假定我們有a、b、c三個(gè)物件，那么，和a等同、和b等同、和c等同的那個(gè)性質(zhì)就是一個(gè)為這三個(gè)物件所共有和特有的性質(zhì)。但是，在維根斯坦的系統(tǒng)中，這個(gè)方法是不合用的。

　　還有一點(diǎn)，是非常重要的，就是，維根斯坦對(duì)關(guān)于世界上一切物的任何陳述都不認(rèn)可。在《數(shù)學(xué)原理》里，萬(wàn)物總體的定義是所有那些x們的類，它們是x＝x那樣的x們，并且我們可以給這個(gè)類指定一個(gè)數(shù)，（正如可以給任何別的類指定一個(gè)數(shù)），雖然我們當(dāng)然不知道用來(lái)指定的那個(gè)正確的數(shù)是什么。維根斯坦對(duì)此不予承認(rèn)。他說(shuō)象“世界上有三件以上的東西”這樣的一個(gè)命題是沒(méi)有意義的。一九一九年我在海牙和他正在討論《邏輯哲學(xué)論》的時(shí)候，我面前有一張白紙。我在上面用墨水弄了三個(gè)點(diǎn)。我請(qǐng)他承認(rèn)：既然有這三個(gè)點(diǎn)，世界上一定至少有三件東西；但是他堅(jiān)決拒絕。他倒承認(rèn)在那張紙上有三個(gè)點(diǎn)，因?yàn)槟鞘且粋€(gè)有限的斷定，但他不承認(rèn)關(guān)于世界總體能有任何陳說(shuō)。這和他的神秘主義有關(guān)系，但是由于他拒絕承認(rèn)等同，這是不足怪的。

　　另有一方面和這同一類問(wèn)題有關(guān)，我稱之為“無(wú)限公理”。在一個(gè)只包含有限數(shù)目的東西的世界中，那個(gè)數(shù)目就是一批東西最大可能有的數(shù)目。在這樣的一個(gè)世界中，所有高級(jí)數(shù)學(xué)就要垮臺(tái)。世界上究竟有多少東西，在我看來(lái)，這純粹是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)上的問(wèn)題。我不認(rèn)為一個(gè)單純的邏輯學(xué)家關(guān)于這個(gè)問(wèn)題應(yīng)該發(fā)表什么意見(jiàn)。因此，所有需要一個(gè)無(wú)限數(shù)目東西的那些數(shù)學(xué)部分我都當(dāng)成是假設(shè)的。所有這一切在維根斯坦看來(lái)都是極其荒謬的。在他看來(lái)，你可以問(wèn)“倫敦有多少人？”或“太陽(yáng)里有多少分子？”但是推論世界上至少有那個(gè)數(shù)目那么多的東西，在他看是沒(méi)有意義的。據(jù)我想，他的學(xué)說(shuō)的這一部分肯定是錯(cuò)誤的。

　　維根斯坦發(fā)表了兩個(gè)原理。這兩個(gè)原理如其為真，是非常重要的。即，外延性原理和原子性原理。

　　外延性原理是說(shuō)，關(guān)于一個(gè)p命題的任何陳述的真或偽，完全有賴于p的真或偽；包含一個(gè)命題函項(xiàng)的任何陳述的真或偽，完全有賴于這個(gè)函項(xiàng)的外延，那就是說(shuō)，有賴于使這個(gè)命題函項(xiàng)之為真的價(jià)值范圍。從表面來(lái)看，對(duì)這個(gè)論點(diǎn)顯然可以有爭(zhēng)議。請(qǐng)以“A相信p”為例。顯而易見(jiàn)，一個(gè)人可以相信一些真命題，而不相信別的命題，所以“A相信p”之真?zhèn)尾⒉煌耆匈囉趐的真或偽。關(guān)于這一個(gè)題目，維根斯坦有一段話，很神秘。他說(shuō)，“在一般的命題形式中，一些命題只以真?zhèn)芜\(yùn)算的基礎(chǔ)出現(xiàn)在一個(gè)命題中?！?br style="LINE-HEIGHT: 24px; BACKGROUND-COLOR: rgb(245,247,238); FONT-FAMILY: Simsun; WHITE-SPACE: normal; FONT-SIZE: medium">
　　“乍一看來(lái)，一個(gè)命題出現(xiàn)在另一命題中似乎還有一個(gè)不同的方法”。

　　“特別是在心理學(xué)的一些命題形式中如‘A認(rèn)為，p正是如此’，或‘A認(rèn)p為真’，等等?！?br style="LINE-HEIGHT: 24px; BACKGROUND-COLOR: rgb(245,247,238); FONT-FAMILY: Simsun; WHITE-SPACE: normal; FONT-SIZE: medium">
　　“在這里，從表面上看，好象p這個(gè)命題對(duì)A這個(gè)對(duì)象具有一種關(guān)系。”

　　“〔現(xiàn)代認(rèn)識(shí)論里（羅素、穆?tīng)柕龋┑哪切┟}就被認(rèn)為是如此的〕?！?br style="LINE-HEIGHT: 24px; BACKGROUND-COLOR: rgb(245,247,238); FONT-FAMILY: Simsun; WHITE-SPACE: normal; FONT-SIZE: medium">
　　“但是很清楚，‘A相信p’、‘A認(rèn)p為真’、‘A說(shuō)p’是屬于‘p說(shuō)p’的形式；這里我們并沒(méi)有事實(shí)和對(duì)象的對(duì)等關(guān)系，但是有事實(shí)之間由于他們的對(duì)象的對(duì)等關(guān)系而有的一種對(duì)等關(guān)系?！?br style="LINE-HEIGHT: 24px; BACKGROUND-COLOR: rgb(245,247,238); FONT-FAMILY: Simsun; WHITE-SPACE: normal; FONT-SIZE: medium">
　　“這表明，并沒(méi)有象當(dāng)代淺薄的心理學(xué)里那種想法的那種東西，如靈魂——主體等”（《邏輯哲學(xué)論》，5.54以下）。

　　維根斯坦的論點(diǎn)是“A相信p”并不是p的一個(gè)函項(xiàng)，而是A用以表示p命題或身體狀況的那些字的函項(xiàng)，這種身體狀況（不管是什么）構(gòu)成其相信。他這個(gè)人和往常一樣，是獨(dú)斷的，他吐露他的意見(jiàn)象沙皇下諭旨一樣。但是草野小民對(duì)這種辦法是難以滿意的。我在《對(duì)意義與真理的探討》中（第267頁(yè)以下）對(duì)這個(gè)問(wèn)題曾詳加檢查，但是對(duì)得到的結(jié)論是有些拿不定的。

　　原子性原理維根斯坦是用下面的措辭來(lái)陳述的：“關(guān)于復(fù)合的每個(gè)陳述可以分析成關(guān)于它們的組成部分的一個(gè)陳述，并且可以分析成完全描述那些復(fù)合的一些命題”（《邏輯哲學(xué)論》，2.0201）。這個(gè)原理可以說(shuō)是相信分析的具體表現(xiàn)。維根斯坦寫《邏輯哲學(xué)論》的時(shí)候，他相信（據(jù)我的了解，他后來(lái)終歸不相信）世界是由許多具有各種性質(zhì)和關(guān)系的簡(jiǎn)單東西構(gòu)成的。簡(jiǎn)單東西的簡(jiǎn)單性質(zhì)和簡(jiǎn)單關(guān)系是“原子事實(shí)”，關(guān)于它們的斷定是“原子命題”。這個(gè)原理的要點(diǎn)是，如果你知道所有的原子事實(shí)，并且也知道它們是所有的原子事實(shí)，再也沒(méi)有別的，你就能只用邏輯來(lái)推論所有別的真命題，這個(gè)原理引起的重要難點(diǎn)也是和“A相信p”這樣一些命題有關(guān)，因?yàn)?，這里p是復(fù)雜的，算是一個(gè)復(fù)合。這種命題的特點(diǎn)是，它們包含兩個(gè)動(dòng)詞，一個(gè)是主要的，另一個(gè)是附屬的。讓我們舉一個(gè)很簡(jiǎn)單的例子，比如說(shuō)：“A相信B是熱的?！边@里“相信”是主要?jiǎng)釉~，“是”是附屬動(dòng)詞。原子原理需要我們?cè)O(shè)法把這事實(shí)表示出來(lái)，而不提出“B是熱的”這個(gè)附屬的復(fù)合來(lái)。這個(gè)原理我也在《對(duì)意義與真理的探討》中（第262頁(yè)以下）詳細(xì)討論過(guò)。

　　關(guān)于這兩個(gè)原理，我所得到的結(jié)論是：“（1）如果嚴(yán)格地加以解釋，分析象‘A相信p’這樣的一些句子，外延原理不能證明是偽的；（2）同是這個(gè)分析不能證明原子原理是偽的，但是證明其為真，是不夠的”《對(duì)意義與真理的探討》（第273頁(yè)）。

　　對(duì)于維根斯坦這兩個(gè)原理更通常的批評(píng)是，沒(méi)有理由相信簡(jiǎn)單東西和原子事實(shí)。據(jù)我的了解，他后來(lái)也終歸這樣想。但是討論這個(gè)問(wèn)題就使我們離開(kāi)《邏輯哲學(xué)論》太遠(yuǎn)了。在后邊的一章里，我還要講這個(gè)問(wèn)題。

　　維根斯坦主張，邏輯完全是由重言式所構(gòu)成。關(guān)于這一點(diǎn)，我想他是對(duì)的，雖然在我讀到他關(guān)于這一問(wèn)題所說(shuō)的話之前我并不認(rèn)為如此。還有和這個(gè)有關(guān)系的一點(diǎn)是非常重要的，就是，所有原子命題是各自獨(dú)立的。從前以為，一個(gè)事實(shí)在邏輯上講可以有賴于另一個(gè)事實(shí)。只有如果其中的一個(gè)事實(shí)其實(shí)是兩個(gè)事實(shí)放到一起的時(shí)候，才是如此。在邏輯上講，從“A和B是人”推出的結(jié)果是，A是一個(gè)人。但是那是因?yàn)椤癆和B是人”其實(shí)是兩個(gè)命題放到一起的。我們所討論的這個(gè)原理的結(jié)果是，在實(shí)際世界中為真的那些選擇出來(lái)的原子事實(shí)可以是邏輯所能證明的原子事實(shí)的全體，但是，顯而易見(jiàn)，關(guān)于這一點(diǎn)，原子性原理是必不可少的，而且，如其不為真，我們就不能確信最簡(jiǎn)單、可能得到的事實(shí)有時(shí)在邏輯上也許是不相關(guān)的。

　　在《數(shù)學(xué)原理》的第二版中（1925），我考慮了維根斯坦的一些學(xué)說(shuō)。我在一篇新的《導(dǎo)言》里采用了外延性原理，并且在《附錄》里考慮了對(duì)這個(gè)原理顯然可非議之處，就全體來(lái)說(shuō)，我斷定這些非議是無(wú)效的。在這個(gè)新版中，我的主要目的是減少《可化歸性公理》的使用。如果我們一方面要避免矛盾，另一方面保存平常認(rèn)為無(wú)可爭(zhēng)議的所有數(shù)學(xué)，這個(gè)公理（等一會(huì)兒我就要加以說(shuō)明）好象是必需的。但是它是一個(gè)可議的公理，因?yàn)槠錇檎媸强梢詰岩傻?，并且更重要的是因?yàn)?，如其為真，其為真是屬于?jīng)驗(yàn)的，不是屬于邏輯的。懷特海和我認(rèn)識(shí)到，這個(gè)公理是我們的系統(tǒng)的一個(gè)弱點(diǎn)，但是我至少認(rèn)為它有類乎平行公理，這個(gè)平行公理一向被認(rèn)為是歐幾理德幾何學(xué)的一個(gè)弱點(diǎn)。我認(rèn)為遲早會(huì)找出一種方法把這個(gè)公理廢除掉，同時(shí)把難點(diǎn)集中在一點(diǎn)上是一件好事。在第二版的《數(shù)學(xué)原理》里，在許多情形中（這個(gè)公理原先看來(lái)好象是少不了的），特別是在所有數(shù)學(xué)歸納法的使用中，我成功地把這個(gè)公理廢除了。

　　我現(xiàn)在必須說(shuō)明這個(gè)公理是說(shuō)什么，以及為什么它好象是不可缺的。我在前面已經(jīng)說(shuō)明過(guò)屬于一些性質(zhì)總體的性質(zhì)和不屬于性質(zhì)總體的性質(zhì)之間的差異。屬于性質(zhì)總體的性質(zhì)往往引起麻煩。舉例來(lái)說(shuō)，假定你提出來(lái)這樣的一個(gè)定義：“一個(gè)典型的英國(guó)人就是一個(gè)具有多數(shù)英國(guó)人所具有的性質(zhì)的人”。你就會(huì)很容易認(rèn)識(shí)到，多數(shù)英國(guó)人并不具有多數(shù)英國(guó)人所具有的一切性質(zhì)。所以，按照你的定義來(lái)說(shuō)，一個(gè)典型的英國(guó)人就是不典型。麻煩之發(fā)生是因?yàn)椋暗湫汀边@個(gè)字的界說(shuō)是指一切性質(zhì)。然后其本身被當(dāng)做是一種性質(zhì)。因此似乎是，如果正當(dāng)來(lái)說(shuō)“一切性質(zhì)”，你的意思不能是真指“一切性質(zhì)”，而只是指“不屬于性質(zhì)總體的一切性質(zhì)”。正象我在前面說(shuō)明的那樣，我們把這樣的性質(zhì)說(shuō)成是“斷言的”?？苫瘹w性公理是說(shuō)，一個(gè)不是斷言的性質(zhì)永遠(yuǎn)在形式上等于某個(gè)斷言的性質(zhì)。（如果兩個(gè)性質(zhì)屬于同一組東西，或者說(shuō)得更確切一些，如果它們的真?zhèn)蝺r(jià)值對(duì)每個(gè)主目來(lái)說(shuō)都是一樣，這兩個(gè)性質(zhì)在形式上就是相等的。）

　　在第一版的《數(shù)學(xué)原理》中我們把接受這個(gè)公理的理由說(shuō)明如下：“可化歸性原理是自明的，這是一個(gè)難以讓人支持的命題。但是，事實(shí)上，自明不過(guò)是接受一個(gè)公理的理由的一部分，絕不是必不可少的。接受一個(gè)公理的理由，正和接受任何別的命題一樣，永遠(yuǎn)大部分是歸納性的，也就是說(shuō)，許多幾乎無(wú)可懷疑的命題可以從這個(gè)公理推演出來(lái)，沒(méi)有同樣講得通的辦法使這些命題可以為真，如果這個(gè)公理為偽，而且無(wú)任何可能是偽的東西能從它推演出來(lái)。如果這個(gè)公理表面看來(lái)是自明的，實(shí)際上那就是說(shuō)，它幾乎是無(wú)可懷疑的；因?yàn)橛行〇|西原被認(rèn)為是自明的，可是后來(lái)知道是偽的。如果這個(gè)公理本身幾乎是無(wú)可懷疑的，那只增加了歸納證據(jù)，這種證據(jù)是從其結(jié)果幾乎是無(wú)可懷疑這個(gè)事實(shí)來(lái)的，它并不能提供迥然不同的新證據(jù)。絕對(duì)正確是永遠(yuǎn)達(dá)不到的，所以每個(gè)公理和其所有結(jié)果總要有若干可疑成分。在形式邏輯里比多數(shù)科學(xué)里可疑成分為少，但是并不是沒(méi)有。這從這件事就可以看出來(lái)：悖論是來(lái)自一些原來(lái)不知道需要加以限定的前提。就可化歸性公理來(lái)說(shuō)，對(duì)它有利的歸納證據(jù)是很強(qiáng)的，因?yàn)樗菰S的推理和從它引出來(lái)的結(jié)果都顯然是有效的。但是，雖然這個(gè)公理竟然為偽象是很不可能，但是絕不是不可能居然發(fā)現(xiàn)它是從另外某一個(gè)更基本、更明顯的公理推演出來(lái)的。很可能，使用循環(huán)論法原理（這種原理體現(xiàn)在前面講過(guò)的層型中）是使用得過(guò)猛了，若是使用得不那么猛，這個(gè)公理的必要性也許就可以避免了?？墒?，這類變動(dòng)并不使根據(jù)前面說(shuō)明過(guò)的原理所斷定的任何東西為偽，這類變動(dòng)只不過(guò)為這些同一定理提供更容易得到的證據(jù)。因此，好象沒(méi)有什么根據(jù)害怕使用可化歸性公理會(huì)使我們有錯(cuò)誤”（《導(dǎo)言》，第Ⅱ章，第Ⅶ節(jié)）。

　　在第二版里我們說(shuō)：“顯然應(yīng)該改進(jìn)的一點(diǎn)是可化歸性公理。這個(gè)公理只有一個(gè)純乎是實(shí)用的理由作為根據(jù)：它導(dǎo)致所想望的結(jié)果，而無(wú)其他結(jié)果。但是它不是我們能滿意的那類公理。但是，關(guān)于這一個(gè)問(wèn)題，還不能說(shuō)可以得到一個(gè)滿意的解決。雷昂·崔斯泰克毅然把這個(gè)公理廢除，而不采取任何代替的東西。從他的研究來(lái)看，很清楚，他的這種辦法使我們不得不犧牲大量的普通數(shù)學(xué)。還有一個(gè)辦法（由于哲學(xué)上的理由為維根斯坦所推薦），就是假定命題的函項(xiàng)永遠(yuǎn)是真?zhèn)魏?xiàng)，并且一個(gè)函項(xiàng)只能通過(guò)它的值出現(xiàn)在一個(gè)命題中。象這種看法是有難點(diǎn)的，但是這些難點(diǎn)也許不是不能克服的。這種看法會(huì)有這樣的結(jié)果，就是，函項(xiàng)的所有函項(xiàng)都是外延性的。它需要我們主張“A相信p”不是p的一個(gè)函項(xiàng)。在《邏輯哲學(xué)論》里（同上所引處，及第19至21頁(yè)）證明這如何是可能的。我們不準(zhǔn)備斷定這個(gè)學(xué)說(shuō)確是正確的，但是在以下的篇幅中把它的結(jié)果弄出來(lái)，看來(lái)是值得的。看來(lái)第一卷中的一切仍然是正確的（雖然常常需要新的證明）；歸納基數(shù)和序數(shù)的學(xué)說(shuō)繼續(xù)存在；但是無(wú)限戴地欽德和良序級(jí)數(shù)的學(xué)說(shuō)大部分是垮臺(tái)了，所以無(wú)理數(shù)和一般的實(shí)數(shù)再也不能得到適當(dāng)?shù)慕鉀Q。而且坎特的2n＞n這個(gè)證明也瓦解了，除非n是有限的。也許還有一個(gè)什么別的不象可化歸性公理那么不滿人意的公理會(huì)產(chǎn)生這些結(jié)果，但是我們還找不出這樣的一個(gè)公理來(lái)（《導(dǎo)言》，第XIV頁(yè)）。

　　《數(shù)學(xué)原理》第二版出版不久之后，F(xiàn).P.萊穆塞在兩篇很重要的文章里撿起化歸性公理這個(gè)問(wèn)題來(lái)，一是《數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)》，發(fā)表于一九二五年，還有《數(shù)理邏輯》，發(fā)表于一九二六年。不幸，萊穆塞的早亡使他的意見(jiàn)不能充分發(fā)展。但是他已有的成績(jī)是很重要的，值得認(rèn)真考慮。他的主要論點(diǎn)是，必須使數(shù)學(xué)成為純?nèi)皇峭庋有缘?，《?shù)學(xué)原理》的麻煩是起自非法侵入了內(nèi)包的觀點(diǎn)。懷特海和我主張，一個(gè)類只能用一個(gè)命題函項(xiàng)來(lái)規(guī)定，這甚至可以用于好象為枚舉所規(guī)定的那些類。舉例來(lái)說(shuō)，由a、b和c三個(gè)個(gè)體而成的這個(gè)類是被“x＝a或x＝b或x＝c”這個(gè)命題函項(xiàng)所規(guī)定。維根斯坦拒絕等同（萊穆塞對(duì)此加以承認(rèn)）使這個(gè)方法成為不可能，但是，從另一方面來(lái)說(shuō)，萊穆塞認(rèn)為，對(duì)于用枚舉來(lái)給一個(gè)無(wú)限的類下定義，并沒(méi)有邏輯上的異議。我們不能這樣來(lái)給一個(gè)無(wú)限的類下定義，因?yàn)槲覀兛偸且赖?，但是我們不免于死是一件?jīng)驗(yàn)上的事，這件經(jīng)驗(yàn)上的事邏輯學(xué)家們是應(yīng)該置之不顧的。他認(rèn)為，根據(jù)這一點(diǎn)，乘法公理是一個(gè)重言式。例如，再回頭講那個(gè)有無(wú)限雙襪子的百萬(wàn)富翁。萊穆塞主張，沒(méi)有必要定一個(gè)規(guī)則從每雙襪子里挑一只。他認(rèn)為，就邏輯來(lái)說(shuō)，一個(gè)無(wú)限數(shù)目的任意選擇是和一個(gè)有限數(shù)目的選擇一樣可以容許的。

　　他把一個(gè)類似的觀點(diǎn)應(yīng)用于改變命題函項(xiàng)這個(gè)概念。懷特海和我認(rèn)為一個(gè)命題函項(xiàng)是含有一個(gè)未定變項(xiàng)的一個(gè)表達(dá)法，一旦給這個(gè)變項(xiàng)指定一個(gè)值，就變成一個(gè)普通的句子。例如“x是有人性的”，一旦我們用一個(gè)專名來(lái)代替“x”，就變成一個(gè)普通的句子。這樣來(lái)看命題函項(xiàng)們，它們是由內(nèi)包而成（關(guān)于變項(xiàng)或變項(xiàng)們除外）?！笆怯腥诵缘摹边@些字形成許多普通句子的一部分，命題函項(xiàng)是造若干這類句子的一個(gè)方法。函項(xiàng)的值因變項(xiàng)的不同的值而確定，變項(xiàng)由于語(yǔ)句內(nèi)在的特性而有不同的值，萊穆塞關(guān)于命題函項(xiàng)的想法頗為不同。他把命題函項(xiàng)只看做是使命題和變項(xiàng)的值有相互關(guān)系的一種方法。除了以前下過(guò)定義的那個(gè)斷言函項(xiàng)的概念（為了某些目的，我們?nèi)詫⑿枰@種斷言函項(xiàng)），我們用外延來(lái)給命題函項(xiàng)的新概念下定義（倒不如說(shuō)是說(shuō)明，因?yàn)樵谖覀兊南到y(tǒng)中，必須認(rèn)為它是不能下定義的）。一個(gè)個(gè)體的這樣一個(gè)函項(xiàng)是由命題和個(gè)體之間外延上任何一——多關(guān)系引起的；也可以說(shuō)是一種相互關(guān)系（不管能實(shí)用不能實(shí)用），這種相互關(guān)系把一個(gè)獨(dú)特的命題聯(lián)合到每一個(gè)個(gè)體上，個(gè)體是函項(xiàng)的主目，命題是它的值。

　　如，（蘇格拉底）或許安女王已經(jīng)死了，

　　（柏拉圖）或許愛(ài)因斯坦是一個(gè)偉人；

　　x只是x命題們和x個(gè)體們的一個(gè)任意的聯(lián)合（《數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)》，第52頁(yè)）。

　　把這個(gè)新解釋用于“命題函項(xiàng)”這個(gè)概念，他就能廢除了可化歸性公理，也能用在符號(hào)上同《數(shù)學(xué)原理》里的定義沒(méi)有區(qū)別的東西來(lái)為“x＝y(tǒng)”下定義，雖然那個(gè)定義現(xiàn)在有了一個(gè)新解釋。這樣他就成功地保留了《數(shù)學(xué)原理》的符號(hào)部分，幾乎沒(méi)有變動(dòng)。關(guān)于這個(gè)符號(hào)部分，他說(shuō)，“形式上，它幾乎沒(méi)有變更；但是它的意義已經(jīng)大大改變了。這樣保留形式，而改變解釋，我是追隨那一大派數(shù)理邏輯學(xué)家的，他們借著一系列驚人的定義，從懷疑論者的手中拯救了數(shù)學(xué)，并且為命題提供了一個(gè)嚴(yán)格的論證。只有這樣我們才能使數(shù)學(xué)免遭柏勞爾和魏勒的布爾什維克式的威脅”《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》，第56頁(yè)）。

　　關(guān)于萊穆塞對(duì)“命題函項(xiàng)”這個(gè)概念的新解釋的有效性，我是很不容易拿定主意的。我覺(jué)得，實(shí)體對(duì)命題的一個(gè)完全任意的相關(guān)是不能讓人滿意的。請(qǐng)以自“對(duì)x所有的值來(lái)說(shuō)，fx為真”到“fa”這個(gè)推理為例。按萊穆塞對(duì)“fx”這個(gè)概念的解釋，我們不知道“fa”可以是什么。相反，在我們能夠知道“fx”的意思是什么之前，我們必須知道“fa”和“fb”和“fc”等等，貫穿全宇宙。一般命題就失掉了它們存在的理由，因?yàn)樗鼈冎鶖喽ㄖ荒芙杳杜e所有單獨(dú)的實(shí)例來(lái)說(shuō)明。不管你對(duì)于這個(gè)非難的意見(jiàn)如何，萊穆塞的建議的確是很巧的，而且，即使不能完全解決所有的難點(diǎn)，很可能路子是對(duì)的。萊穆塞自己是有懷疑的。他說(shuō)，“雖然我對(duì)于懷特海和羅素的主張?jiān)嚰痈脑煳艺J(rèn)為克服了很多難點(diǎn)，卻不能認(rèn)為這種改造是完全滿意的”（《數(shù)理邏輯》，第81頁(yè)）。

　　在另一件事上，我認(rèn)為萊穆塞的研究大家必須承認(rèn)確是對(duì)的。我已經(jīng)列舉了各種矛盾，其中一類的例子就是那個(gè)人，他說(shuō)“我說(shuō)謊呢”，而另一類的例子是，是否有一個(gè)最大基數(shù)的問(wèn)題。萊穆塞證明，前一類是和一個(gè)字或語(yǔ)句之于其意義的關(guān)系有關(guān)，是把二者弄混的結(jié)果。如果避免了這種混亂，這類的矛盾就沒(méi)有了。萊穆塞主張，另一類矛盾只能用類型學(xué)說(shuō)來(lái)解決。在《數(shù)學(xué)原理》里，有兩種不同的層型。有外延階層：個(gè)體，個(gè)體的類，個(gè)體的類的類，等等。萊穆塞保留這個(gè)階層。但是還有另外一個(gè)階層，正是這另外的那個(gè)階層使可化歸性公理成為必需的。這就是某一對(duì)象的某一主目或性質(zhì)的函項(xiàng)階層。先是斷言階層，這個(gè)階層不指任何函項(xiàng)總體；其次是指斷言函項(xiàng)總體的函項(xiàng)，如，“拿破侖具有大將的一切特長(zhǎng)”。我們可以稱這些為“第一級(jí)函項(xiàng)”。然后是指第一級(jí)函項(xiàng)總體的函項(xiàng)，這樣下去，以至于無(wú)窮。萊穆塞用他對(duì)于“命題函項(xiàng)”這個(gè)概念的新解釋，取消了這個(gè)階層，這樣就只留有外包階層。我希望他的學(xué)說(shuō)是有效的。

　　雖然他是以維根斯坦的一個(gè)門人來(lái)寫書，并且除了維根斯坦的神秘主義之外，一切都跟著他走，他探索這個(gè)問(wèn)題的途徑卻是非常不同的。維根斯坦發(fā)表一些格言，讓讀者測(cè)量其高深。他的一些格言從字面上看是和符號(hào)邏輯的存在很難相合的。正相反，即使萊穆塞追隨維根斯坦追隨得很緊，他卻極其小心地說(shuō)明，（不管所講的是什么學(xué)說(shuō)，）如何能把這個(gè)學(xué)說(shuō)配合到數(shù)理邏輯的主體里去。

　　有大量的、深?yuàn)W的文獻(xiàn)論述數(shù)理邏輯的基礎(chǔ)。除了在《對(duì)意義與真理的探討》中討論外延性和原子性原理和排中律以外，自一九二五年出版第二版《數(shù)學(xué)原理》以后，我沒(méi)有做純是邏輯的研究。所以，后來(lái)關(guān)于這個(gè)科目的研究沒(méi)有影響我在哲學(xué)上的發(fā)展，因而也就不屬于本書的范圍。轉(zhuǎn)自羅素《我的哲學(xué)的發(fā)展》溫錫增譯