考綱原文

（1）理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運算中的作用.

（2）理解對數(shù)函數(shù)的概念，理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握對數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點.

（3）知道對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.

知識點講解

一、對數(shù)與對數(shù)運算

1．對數(shù)的概念

（2）牢記兩個重要對數(shù)：常用對數(shù)，以10為底的對數(shù)lgN；自然對數(shù)，以無理數(shù)e=2.71828…為底數(shù)的對數(shù)lnN.

2．對數(shù)的性質(zhì)

3．對數(shù)的運算性質(zhì)

4．對數(shù)的換底公式

換底公式將底數(shù)不同的對數(shù)轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同的對數(shù)，進而進行化簡、計算或證明.換底公式應(yīng)用時究竟換成什么為底，由已知條件來確定，一般換成以10為底的常用對數(shù)或以e為底的自然對數(shù).

二、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1．對數(shù)函數(shù)的概念

2．對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

一般地，對數(shù)函數(shù) 的圖象與性質(zhì)如下表所示：

在直線x=1 的右側(cè)，當a>1 時，底數(shù)越大，圖象越靠近x軸；當0<a<1 時，底數(shù)越小，圖象越靠近x軸，即“底大圖低”．

3．對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系

考向分析

考向一 對數(shù)式的化簡與求值

對數(shù)運算的一般思路：

（1）對于指數(shù)式、對數(shù)式混合型條件的化簡與求值問題，一般可利用指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系，將所給條件統(tǒng)一為對數(shù)式或指數(shù)式，再根據(jù)有關(guān)運算性質(zhì)求解；

（2）在對數(shù)運算中，可先利用冪的運算性質(zhì)把底數(shù)或真數(shù)變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后運用對數(shù)的運算性質(zhì)、換底公式，將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算.

注意：

（2）注意利用等式lg2+lg5=1 .

考向二 對數(shù)函數(shù)的圖象

3．對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點時，常利用數(shù)形結(jié)合思想求解．特別地，要注意底數(shù)a>1 和0<a<1 的兩種不同情況．有些復(fù)雜的問題，借助于函數(shù)圖象來解決，就變得簡單了，這是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)．

4．一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.

考向三 對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用是每年高考的必考內(nèi)容之一，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，難度易、中、難都有，且主要有以下幾種命題角度：

（1）比較對數(shù)式的大?。?/p>

①若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進行判斷；若底數(shù)為同一字母，則需對底數(shù)進行分類討論；

②若底數(shù)不同，真數(shù)相同，則可以先用換底公式化為同底后，再進行比較；

③若底數(shù)與真數(shù)都不同，則常借助1,0等中間量進行比較．

（2）解對數(shù)不等式：

考向四 對數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)問題

與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，即定義域、值域的求解，單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，與二次函數(shù)的復(fù)合問題等，解題方法同指數(shù)函數(shù)類似.研究其他相關(guān)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性一般根據(jù)定義求解,此外，需特別注意對數(shù)函數(shù)的定義域及底數(shù)的取值.

【名師點睛】

1、利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)比較實數(shù)或式子的大小，一方面要比較兩個實數(shù)或式子形式的異同，底數(shù)相同，考慮指數(shù)函數(shù)增減性，指數(shù)相同考慮冪函數(shù)的增減性，當都不相同時，考慮分析數(shù)或式子的大致范圍，來進行比較大小，另一方面注意特殊值 的應(yīng)用，有時候要借助其“橋梁”作用，來比較大?。?/p>

判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性要注意把握兩點：一是要同時考慮兩個函數(shù)的的定義域；二是同時考慮兩個函數(shù)的單調(diào)性，正確理解“同增異減”的含義（增增 增，減減 增，增減 減，減增 減）.

2、對于連等問題，常規(guī)的方法是令該連等為同一個常數(shù)，再用這個常數(shù)表示出對應(yīng)的 ，通過作差或作商進行比較大小.對數(shù)運算要記住對數(shù)運算中常見的運算法則，尤其是換底公式以及0與1的對數(shù)表示.

3、比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較；若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進行比較.