一.一線三等角概念

“一線三等角”是一個常見的相似模型，指的是有三個等角的頂點在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形，這個角可以是直角，也可以是銳角或鈍角。不同地區(qū)對此有不同的稱呼， “K 形圖”，“三垂直”，“弦圖”等，以下稱為“一線三等角”。

二.一線三等角的分類

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三、“一線三等角”的性質(zhì)

1.一般情況下，如圖 3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC∽△BDE.

2.當(dāng)?shù)冉撬鶎Φ倪呄嗟葧r，則兩個三角形全等.如圖 3-1，若 CE=ED，則△AEC≌△BDE.

3.中點型“一線三等角”

如圖 3-2，當(dāng)∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中點時，△BDE∽△CFD∽△DFE.

4.“中點型一線三等角“的變式(了解)

如圖 3-3，當(dāng)∠1=∠2 且

時，點 O 是△ABC 的內(nèi)心.可以考慮構(gòu)造“一線三等角”.

如圖 3-4“中點型一線三等角”通常與三角形的內(nèi)心或旁心相關(guān)， D

這是內(nèi)心的性質(zhì)，反之未必是內(nèi)心.

在圖 3-4（右圖）中，如果延長 BE 與 CF，交于點 P，則點 D 是△PEF 的旁心.

5.“一線三等角”的各種變式（圖 3-5，以等腰三角形為例進行說明 ）

其實這個第 4 圖，延長 DC 反而好理解.相當(dāng)于兩側(cè)型的，不延長理解，以為是一種新型的，同側(cè)穿越型？不管怎么變，都是由三等角確定相似三角形來進行解題

四、“一線三等角”的應(yīng)用

1.“一線三等角”應(yīng)用的三種情況.

a.圖形中已經(jīng)存在“一線三等角”，直接應(yīng)用模型解題；

b.圖形中存在“一線二等角”，不上“一等角”構(gòu)造模型解題；

c.圖形中只有直線上一個角，不上“二等角”構(gòu)造模型解題.

體會：感覺最后一種情況出現(xiàn)比較多，尤其是壓軸題中，經(jīng)常會有一個特殊角或指導(dǎo)該角的三角函數(shù)值時，我經(jīng)常構(gòu)造“一線三等角”來解題.

2.在定邊對定角問題中，構(gòu)造一線三等角是基本手段，尤其是直角坐標(biāo)系中的張角問題，在 x 軸或 y 軸（也可以是平行于 x 軸或 y 軸的直線）上構(gòu)造一線三等角解決問題更是重要的手段.

3.構(gòu)造一線三等角的步驟：找角、定線、構(gòu)相似

坐標(biāo)系中，要講究“線”的特殊性

如圖 3-6，線上有一特殊角，就考慮構(gòu)造同側(cè)型一線三等角

當(dāng)然只加這兩條線通常是不夠的，為了利用這個特殊角導(dǎo)線段的關(guān)系，過 C、D 兩點作直線 l 的垂線是必不可少的。兩條垂線通常情況下是為了“量化”的需要。

上面就是作輔助線的一般程序，看起來線條比較多，很多老師都認(rèn)為一下子不容易掌握.

解題示范