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草根梳理|“一線三等角”模型及其變式總結(jié)

 我心飛揚(yáng)695 2015-10-13
最近網(wǎng)上有很多朋友和我探討“一線三等角”基本模型，對(duì)此我覺(jué)得很多事物并無(wú)定法，自己的模型自己總結(jié)，在此我拋磚引玉，談?wù)勛约簩?duì)于“一線三等角”的粗淺認(rèn)識(shí)
草根定義
兩個(gè)等角的一邊在同一直線上，另一邊在該直線的同側(cè)。若有第三個(gè)與之相等的角、其頂點(diǎn)在該直線上，角的兩邊（或兩邊所在直線）分別與兩等角的非共線邊（或該邊所在直線）相交，此時(shí)通過(guò)證明，一般都可以得到一組相似三角形，該組相似三角形習(xí)慣上被稱為“一線三等角型”相似三角形．
注1
如下圖，這三個(gè)等角，可以是銳角、可以是直角或者鈍角，結(jié)論均成立
已知：∠A=∠CPD=∠B，
求證：△ACP∽△DBP
證明：∵ ∠CPD+∠APC=∠B+∠PDB，∠CPD=∠B，
∴ ∠APC=∠PDB，又∵ ∠A=∠B，
∴ △ACP∽△DBP
注2
如下圖組，點(diǎn)P可以在線段AB上，可以在線段AB延長(zhǎng)線上，可以在線段BA延長(zhǎng)線上，結(jié)論依舊成立（即△ACP∽△DBP）
一線三等角型推廣（1）
點(diǎn)P在線段AB上，聯(lián)結(jié)CD，若△ACP∽△DBP∽△CPD，則點(diǎn)P是線段AB中點(diǎn)或CD∥AB，反之亦成立（在此僅證明充分條件）
已知：∠A=∠CPD=∠B，△ACP∽△CPD，求證：點(diǎn)P是線段AB中點(diǎn)或CD∥AB

證明：∵ ∠A=∠B=∠CPD，

且△ACP∽△CPD，

∴ ∠DCP=∠CPA或∠DCP=∠ACP

a）若∠DCP=∠CPA（如右圖）

則CD∥AB

b）若∠DCP=∠ACP（如左圖）

則CP/PD=AC/AP

∵ ∠A=∠CPD=∠B，

則△ACP∽△DBP（之前已證），

∴ CP/PD=AC/PB

∴ AP=PB即點(diǎn)P是線段AB中點(diǎn)
一線三等角型推廣（2）
點(diǎn)P在線段AB上，聯(lián)結(jié)CD，設(shè)△ACP∽△DBP的相似比為k，

【注：若討論△ACP為特殊三角形，有時(shí)可利用相似的關(guān)系，轉(zhuǎn)換討論對(duì)象，討論△PDB為該特殊三角形】

一線三等角型推廣（3）
若∠A=90°，則圖中三“等角”均為直角，習(xí)慣被稱為一線三直角型，一線三直角型是特殊的一線三等角型，但和普通一線三等角型嫁接在等腰三角形或等腰梯形所不同的是，它常嫁接于直角三角形或矩形
例：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)P、Q分別在直線CB、DC上（點(diǎn)P不與點(diǎn)C、點(diǎn)B重合），且保持∠APQ=90°.當(dāng)CQ=1時(shí)，寫出線段BP的長(zhǎng)
有時(shí)面對(duì)“一線兩等角”的情況，構(gòu)造一線三等角型也是解題策略之一

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