從行列式開始

范德蒙行列式是長這個樣子滴：

然后呢，它的轉(zhuǎn)置也叫做范德蒙行列式：

為什么呢？

因為矩陣轉(zhuǎn)置，行列式的值不會變

這里我就不推導(dǎo)了，直接給出范德蒙行列式的值：

這是什么意思呢？

假設(shè)有如下的范德蒙方陣：

那么它的行列式等于：(3-2)*(5-2)*(5-3)=6

假設(shè)4階范德蒙行列式中有四個數(shù)2，3，5，7那么就等于(3-2)(5-2)(7-2)(5-3)(7-3)(7-5)=240

考試中經(jīng)常出現(xiàn)與范德蒙行列式類似的結(jié)構(gòu)，它們就差了那么一點點，我們需要做的就是將之轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的范德蒙行列式便于計算。這里我舉一個例子。

上面這個行列式長得太像范德蒙矩陣了，只是沒有三次項，我們給它補上。

這里除了補上三次項，還有未知數(shù)x，為什么呢？當(dāng)然首先是只有方陣才有行列式。

這樣整個行列式的值為：

我們僅看 x^3 項的系數(shù)（負(fù)的原行列式的值）就是答案：

怎么理解呢？原因就是代數(shù)余子式按列展開等于行列式的值。

（1,x,x^2,x^3,x^4）^T按列展開一次得到對應(yīng)級次的系數(shù)，我們這里只取x^3的系數(shù)就是對應(yīng)上上個矩陣行列式的值了。

性質(zhì)

范德蒙矩陣的性質(zhì)不多，有兩條值得說一下：

范德蒙矩陣與多項式的最小二乘擬合

最后我想談一談范德蒙矩陣在多項式的最小二乘擬合中的應(yīng)用

用一個多項式去擬合若干個點：

假設(shè)有n個采樣點，擬合次數(shù)為k次，那么方差可以表示為：

為求得方差的極小值，對a0,...ak依次求偏導(dǎo)為0。

移項

看起來很亂，寫成矩陣形式試試：

em...這就是個什么矩陣，看起來好復(fù)雜滴

哈哈，我們觀察變形一下：

上面的矩陣可以寫成范德蒙矩陣相乘的形式哦！

我們簡記上面的矩陣為：

X是豎著的范德蒙矩陣。這樣向量a等于：

這里有個很關(guān)鍵的點，范德蒙矩陣不一定是個方陣，即采樣點多于擬合多項式的最高次數(shù)，不是方陣就沒有逆，但是只要不存在相同的兩個采樣點，那么

一定是存在逆矩陣的，多項式的系數(shù)向量a也可表示出來了。

這就是基于最小二乘法的多項式擬合原理！

頭條不好寫公式，謝謝閱讀

求關(guān)注，收藏，評論(～￣▽￣)～