矩陣的特征值之和等于矩陣的行列式 矩陣的特征值之積等于矩陣的跡 
簡單的理解證明如下： 1、二次方程的韋達(dá)定理： 請思考：x^2+bx+c=0 這個方程的所有根的和等于多少、所有根的積等于多少
2、把二次方程推廣到 N 次： 對一個一元n次方程，它的根記作 那么接下來可以類似地來思考：(x-x1)(x-x2)(x-x3)...(x-n_N)=0 這個方程的所有根的和對應(yīng)于等式左邊展開后幾次項的系數(shù)，所有根的積對應(yīng)等式展開后幾次項的系數(shù)。 說明： 已知一個一元五次方程： 根據(jù)高斯的代數(shù)原理：上式在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)必可分解成的形式；且x1, x2, x3, x4, x5是該多項式在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根。
3、考慮矩陣的特征值問題 - 設(shè)A為n階方陣，考慮特征多項式|A-λI|的n-1次項，有矩陣 A 的特征值方程：det(A-λI)=0（行列式展開式在這里不作說明，可以參考相關(guān)資料），我們可以發(fā)現(xiàn)，除了主對角元的乘積 (λ-a11)(λ-a22)...(λ-ann) 之外，其他展開項的次數(shù)都小于 n-1。因此 n-1 次項的系數(shù)就是 (λ-a11)(λ-a22)...(λ-ann) 中 λ^(n-1) 的系數(shù)，也就是-(a11+a22+...+ann)。
特征值是特征多項式的根，由韋達(dá)定理（根與系數(shù)關(guān)系）知特征值的和 = a11+a22+...+ann。
4、參考文獻(xiàn)： http://www.zhihu.com/question/20533117 http://baike.baidu.com/view/1166.htm?fr=aladdin
|
