一、一般方程：

ax²+by²+cz²+du²+2exy+2fxz+2gxu+2hyz+2iyu+2jzu+2kx+2ly+2mz+2nu+p=0

二、判別式：

（一）中心判別式：

    Δ=四階行列式｜a，e，f，g；e，b，h，i；f，h，c，j；g，i，j，d｜

（二）可展判別式：

Λ=五階行列式｜a，e，f，g，k；e，b，h，i，l；f，h，c，j，m；g，i，j，d，n；k，l，m，n，p｜

三、Δ≠0為有心二次曲體：（橢珍體、雙曲體、二次椎體）

變換后的方程：Ax²+By²+Cz²+Du²+Λ /Δ=0

A、B、C、D是下列特征方程的四個特征根：

(t-a)(t-b)(t-c)(t-d)+Ft+Δ=Et²+abcd

其中，E=e²+f²+g²+h²+i²+j²

           F=e²(c+d)+f²(b+d)+g²(b+c)+h²(a+d)+i²(a+c)+j²(a+b)

四、Δ=0為無心二次曲體：（拋物體、二次砫體、退化情況）

（一）Λ /H＞0為拋物體：

變換后的方程：Ax²+By²+Cz²=u√(Λ /H)

其中，H=F-(abc+abd+acd+bcd)

（二）其它情況為二次砫體或退化情況。