【高考導(dǎo)航】

二項式定理在高考中每年一道題，題型為以下幾種：求展開式某一項或某一項的系數(shù)；求所有項系數(shù)的和或者奇數(shù)項、偶數(shù)項系數(shù)和；二項式某一項為字母，求這個字母的值；求近似值的問題.試題難度不大，與教材習(xí)題相當(dāng).因此，二項式定理一節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)或復(fù)習(xí)要重視基礎(chǔ)，對二項式定理的展開式、通項公式、二項式系數(shù)的性質(zhì)等弄清原理，熟練掌握，不必追求難解題.

【學(xué)法點撥】

本節(jié)內(nèi)容是初中所學(xué)多項式乘法的繼續(xù)，它所研究的是一種特殊的多項式——二項式乘方的展開式，是培養(yǎng)觀察，歸納能力的好題材，二項式定理是以公式形式表現(xiàn)二項式的正整數(shù)冪的展開式在指數(shù)、項數(shù)、系數(shù)等方面內(nèi)在聯(lián)系的重要定理，應(yīng)在(a＋b)²、(a＋b)²、（a＋b）²的展開式的了解基礎(chǔ)上，歸納掌握好二項式定理.通項公式T＝C(r＝0，1，2，…，n)集中體現(xiàn)了二項式展開式中的指數(shù)、項數(shù)、系數(shù)的變化，是二項式定理的核心它是求展開式的某些項（如含指定冪的項、常數(shù)項、中間項、有理項、系數(shù)最大的項等）以及系數(shù)的重要公式.

二項式系數(shù)C(r＝0，1，2，…，n)是一組僅與二項式的次數(shù)n有關(guān)的n＋1個組合數(shù)，而與a、b無關(guān)，它不包括a、b本身（或a、b的某次冪）的系數(shù).只有當(dāng)求某指定項的系數(shù)時，才包括a、b的系數(shù)，稱展開式中的某一項的系數(shù)，當(dāng)二項式兩項本身的系數(shù)都是1時，展開式的二項式系數(shù)就是展開式各項的系數(shù)，但當(dāng)二項式的兩項本身的系數(shù)不為1時，這兩者就不同了，要在把握概念的基礎(chǔ)上掌握好二項式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【基礎(chǔ)知識必備】

一、必記知識精選

1.二項式定理：(a＋b)ⁿ＝Caⁿ＋Ca^n－1b＋…＋Ca^n－rb^r＋…＋Cbⁿ(n∈N^*)

2.通項公式：T_r＋1＝Ca^n－rb^r

3.二項式系數(shù)性質(zhì)：

(1)距兩端等距離的二項式系數(shù)相等，即C＝C.

(2)二項式系數(shù)的中間項或中間兩項的二項式系數(shù)最大.

當(dāng)n為偶數(shù)時，中間一項（即第＋1項）的二項式系數(shù)最大;

當(dāng)n為奇數(shù)時，中間兩項（即第和第＋1項）的二項式系數(shù)最大.

(3)在二項展開式中各項的二項式系數(shù)和為2ⁿ，即：

C＋C＋C＋…＋C＝2ⁿ.

(4)在二項展開式中，奇數(shù)項二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項二項式系數(shù)的和，都等于2^n－1，即

C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2^n－1.

二、重點難點突破

掌握二項式定理及其通項公式是本節(jié)的重點，會求二項展開式、展開式的中間項等指定項，會求二項式系數(shù)，指定項系數(shù)等.這些都是二項式定理的靈活運用，是本節(jié)的難點.突破難點的關(guān)鍵是準(zhǔn)確熟練地寫出二項展開式及通項公式.

(a＋b)ⁿ的展開式具有如下性質(zhì)：

1.展開式的項數(shù)：共n＋1項.

2.展開式的每一項的指數(shù)：a與b的指數(shù)之和為n，即二項展開式各項的次數(shù)等于二項式的次數(shù)n，字母a的指數(shù)依次降冪排列，指數(shù)由n逐次減1直到0，字母b按升冪排列，指數(shù)從0起逐項加1到n.

3.二項式系數(shù)的特征：每一項的系數(shù)為一組合數(shù)，第r＋1項的系數(shù)為C.

學(xué)習(xí)二項式定理時，還應(yīng)注意：

1.二項式定理從左到右的使用為展開，從右到左的使用可以化簡、求和和證明.這個公式的逆用功能不可忽視.

2.對于通項公式是相對于(a＋b)ⁿ標(biāo)準(zhǔn)形式而言的，對于(a－b)ⁿ的展開式的通項T_r＋1＝(－1)^r

Ca^n－rb^r，它是第r＋1項而不是第r項，公式中的a，b位置不能顛倒.利用通項公式可求展開式的特定項.

3.應(yīng)用二項式定理時，要有目標(biāo)意識，同時要處理好“一般”與“特殊”的關(guān)系，注意變形的技巧以及等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.

三、易錯點和易忽略點導(dǎo)析

本節(jié)易錯點是在審題時，觀察不仔細(xì)，不能發(fā)現(xiàn)差異，或?qū)⒍検较禂?shù)與某項系數(shù)混淆，現(xiàn)舉例說明.

【例1】 如果(1－2x)⁷＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋…＋a₇x⁷，那么a₁＋a₂＋…＋a₇的值等于（　?。?span lang='EN-US'>

A.－2　　　　　　B.－1　　　　　　 C.0　　　　　　　D.2

錯解：令f(x)＝(1－2x)⁷，則f(1)＝(1－2)⁷＝a₀＋a₁＋…＋a₇＝－1.

∴選擇B.

正確解法：令f(x)＝(1－2x)⁷，則f(1)＝(1－2)⁷＝a₀＋a₁＋…＋a₇＝f(1)＝－1.

又令x＝O，得a₀＝1.

∴a₁＋a₂＋…＋a₇＝－1－a₀＝－2.故選A.

錯解分析：錯因在于審題失誤，未注意到式子a₁＋a₂＋…＋a₇中沒有a₀，致使賦值x＝1后便認(rèn)為是所求，因此，解此類問題要仔細(xì)觀察，克服粗心大意.

【例2】 求C＋C＋C＋…＋C的值.

錯解：原式＝2¹¹.

正確解法： C＋C＋…＋C＝2¹¹－C＝2048－1＝2047.

錯解分析：忽略了二項式系數(shù)的和是指C＋C＋C＋…＋C＝2ⁿ，或者是審題未發(fā)現(xiàn)缺少C而出現(xiàn)失誤.

【例3】 求(x＋－1)⁵展開式中的常數(shù)項.

錯解：∵(x＋－1)⁵＝[(x＋)－1]⁵，

∴展開式的通項為T_r＋1＝C(x＋)^5－r(－1)^r，而(x＋)^5－r的展開式中的通項為T′_k＋1＝C·

x^5－r－k()^k＝Cx^5－r－2k.

欲求常數(shù)項，令5－r－2k＝0，即r＋2k＝5且0≤r≤5，0≤k≤5－r.

∴有三組解或或

∴所求常數(shù)項為CC(－1)，CC(－1)³和CC(－1)⁵，即－30，－20和－1.

正確解法一：∵（x＋－1）⁵＝[(x＋)－1]⁵，

∴通項為T_r＋1＝C(x＋)^5－r·(－1)^r （0≤r≤5）

當(dāng)r＝5時，T₆＝C(－1)⁵＝－1；

當(dāng)0≤r＜5時，(x＋)^5－r的通項為

T′_k＋1＝Cx^5－r－k·()^k＝Cx^5－r－2k (0≤k≤5－r).

∵0≤r≤5，且r∈Z.

∴r只能取1或3相應(yīng)的k值分別為2或1.

∴常數(shù)項為CC(－1)＋CC(－3)³＋(－1)＝－51.

正確解法二：由于本題只有5次，也可以直接展開，即

[(x＋)－1]⁵＝(x＋)⁵－5(x＋)⁴＋10(x＋)³－10(x＋)²＋5(x＋)－1.

由x＋；的對稱性知，只有在x＋的偶數(shù)次冪中的展開式中才會出現(xiàn)常數(shù)項且是各自的中間項，

∴常數(shù)項為－5C－10C－51.

正確解法三： (x＋－1)⁵＝(x＋－1)(x＋－1)(x＋－1)·(x＋－1)(x＋－1).

按多項式乘法的規(guī)律，常數(shù)可從五個因式中都選?。?相乘為(－1)⁵;或從五個因式中選定一因式中取x，一因式取，另三個因式中取(－1)，為CC(－1)³;或從五個因式某二因式中取x，另二因式中取，余下一個因式中取－1，所得式為CC(－1)，所以常數(shù)項為

(－1)⁵＋CC(－1)³＋CC(－1)＝－51.

錯解分析：錯解一是出現(xiàn)了C這個無意義的數(shù)，原因是解題不嚴(yán)密造成的，在考慮(x＋

)^5－r的展開式時，用的是二項式定理，但沒有注意到二項式定理只對n∈N^*適用.當(dāng)r＝5時，5－r＝0，此特殊情況應(yīng)特殊處理.二是概念的理解錯誤，同一展開式只能有一個常數(shù)項，不可能有兩個或多個常數(shù)項.

【綜合應(yīng)用創(chuàng)新思維點撥】

一、學(xué)科內(nèi)綜合思維點撥

二項式定理經(jīng)常與數(shù)列、不等式以及極限等知識綜合組題.

【例1】 已知(x＋x)ⁿ的展開式中第5、6、7項的系數(shù)依次成等差數(shù)列，求展開式中的常數(shù)項.

思維入門指導(dǎo)：第5、6、7項的系數(shù)就是此三項的二項式系數(shù)，由此可求出次數(shù)n的值.

解：第5、6、7項的系數(shù)分別為C、C、C，依題意有2C＝C＋C(n≥6)，

即2·＝＋.

所以，n²－21n＋98＝0.∴n＝7或n＝14.

(1)當(dāng)n＝7時，設(shè)展開式中的常數(shù)項為T_r＋1，則

T_r＋1＝C(x)^7－r·x^r＝Cx.

令7r－28＝0，得r＝4.所以T₅＝C＝35.

(2)當(dāng)n＝14時，仿上可得T₉＝C＝3003.

綜上，當(dāng)n＝7時，常數(shù)項為35，當(dāng)n＝14時，常數(shù)項為3003.

點撥：對冪指數(shù)未知的二項式中求特定項的問題，一般要由題設(shè)先求出n值，然后再求特定項.在求特定項時，往往利用通項公式將問題轉(zhuǎn)化為解方程或不等式組來求出r值.

【例2】 求證：對n∈N，3³ⁿ－26n－1可被676整除.

證明：當(dāng)n＝0時，原式＝0，可被676整除；

當(dāng)n＝1時，原式＝0，也可被676整除；

當(dāng)n≥2時，原式＝27ⁿ－26n－1＝(26＋1)ⁿ－26n－1＝(26ⁿ＋C26^n－1＋…＋C26²＋C26＋1)－26n－1＝

26ⁿ＋C26^n－1＋…＋C26²

上式中每一項都含有26²這個因數(shù)，故可被26²＝676整除.

綜上述，對一切自然數(shù)，3³ⁿ－26n－1可被676整除.

點撥：此題n＝0與n＝1應(yīng)單獨處理，易被忽略.

【例3】 設(shè)a_n＝1＋q＋q²＋…＋q^n－1(n∈N^*，q≠±1)，

A_n＝C＋Ca₂＋…＋Ca_n.

求證：A_n＝[2ⁿ－(1＋q)ⁿ].

證明：∵q≠1，∴a_n＝.

∴A_n＝Ca₁＋Ca₂＋…＋Ca_n

＝C＋C＋…＋C

＝[(C＋C＋C＋…＋C)－(C＋qC＋q²C＋…＋qⁿC)]

＝[2ⁿ－(1＋q)ⁿ].

點撥：本題逆用了二項式定理及C＋C＋…＋C＝2ⁿ，這些重要的數(shù)學(xué)模型常常運用于解題過程中.

二、學(xué)科間綜合思維點撥

【例4】 一個螺旋槳在某種情況下轉(zhuǎn)動，它所消耗的功率P（單位：馬力）和螺旋槳的直徑D（單位：米）的關(guān)系是P＝6D⁵，已知D＝3.11，求P（精確到100馬力）.

解：∵D＝3.11，

∴P＝6×(3.11)⁵＝6×(3＋0.11)⁵＝6［3⁵＋C·3⁴·0.11＋C3²(0.11)²＋…＋C(0.11)⁵］.

在精確100馬力的要求下，第三項及其以后的各項可以略去不計，

∴P≈6×[3⁵＋C3⁴×O.11]＝6×(243＋44.55)＝1725.3≈170O，即所消耗功率約為1700馬力.

點撥：在進(jìn)行估算求值時，經(jīng)常使用二項式定理，特別地當(dāng)h很小、n較大時，（1＋h）ⁿ≈1＋nh是工業(yè)計算中經(jīng)常使用的粗算公式.

三、應(yīng)用思維點撥

【例5】 某地現(xiàn)有耕地10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22％，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10％.如果人口增長率為1％，那么耕地年均每年只能減少多少公頃?(精確到1公頃，糧食單產(chǎn)＝，人均糧食占有量＝)

解：設(shè)耕地平均每年至多減少x公頃，該地區(qū)現(xiàn)有人口P人，糧食單產(chǎn)M噸/公頃，依題意有：

≥(1＋10%).

解得x≤10³[1－]

＝10³[1－(C＋C×0.01＋C×0.01²＋…)]

≈10³[1－×1.1045]≈4(公頃).

答：耕地每年至多只能減少4公頃.

點撥：本題應(yīng)用了指數(shù)，二項式定理的基礎(chǔ)知識.

【例6】 今天是星期天，從今天起2²⁰⁰⁰天后的第一天是星期幾?

解：2²⁰⁰⁰＝6⁶⁶⁶×4＝4(7＋1)⁶⁶⁶

＝4(7⁶⁶⁶＋C7⁶⁶⁵＋…＋C7＋1)

＝28(7⁶⁶⁵＋C7⁶⁶⁴＋…＋C)＋4.

能被7整除，所以2²⁰⁰⁰被7整除，所以2²⁰⁰⁰被7除余數(shù)為4.又因為今天星期天，所以4天后的第一天應(yīng)為星期五.

四、創(chuàng)新思維點撥

【例7】已知a、b為正整數(shù)，且＋＝1，試證明：對每一個n∈N^*，都有(a＋b)ⁿ－aⁿ－bⁿ≥2²ⁿ－2^n＋1.

思維入門指導(dǎo)：本題創(chuàng)新點在于綜合性強，要靈活地運用二項式定理的展開式和不等式的均值定理.

證明：由＋＝1，得x＝a＋b≥2，即ab－2≥0，∴ab≥4.①

而(a＋b)ⁿ－aⁿ－bⁿ＝Ca^n－1b＋ ＋Ca^n－2b²＋…＋Cab^n－1＝Cab^n－1＋Ca²b^n－2＋…＋Ca^n－1b＝C

()＋C()＋…＋C()≥(C＋C＋…＋C).②

將①代入②得(a＋b)ⁿ－aⁿ－bⁿ≥(C＋C＋…＋C)＝[(1＋1)ⁿ－C－C]·2ⁿ＝(2ⁿ－2)·2ⁿ＝

2²ⁿ－2^n＋1.

∴命題成立.

點撥：本題考查了C＋C＋C＋…＋C＝2ⁿ及a、b∈R^＋時有≥及逆向思維的數(shù)學(xué)思想方法.

五、高考思維點撥

【例8】（2003，河南、江蘇，4分）(x²－)⁹展開式中x⁹的系數(shù)是________.

解：由通項公式，得T_r＋1＝C(x²)^9－r(－x^－1)^r＝(－)^rCx^18－3r.

令18－3r＝9得r＝3，

∴系數(shù)為(－)³C＝－.

點撥：本題考查二項式定理中通項公式的運用.

【例9】 (1999，全國理，5分)若(2x＋)⁴＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋a₃x³＋a₄x⁴，則(a₀＋a₂＋a₄)²－(a₁＋a₃)²的值是（　?。?o:p>

A.1　　　　　　B.－1　　　　　　　C.0　　　　　　　 D.2

思維入門指導(dǎo)：注意到(a₀＋a₂＋a₄)²－(a₁＋a₃)²＝(a₀＋a₁＋a₂＋a₃＋a₄)(a₀－a₁＋a₂－a₃＋a₄)，故可使用賦值法求解，也可以用二項式定理直接求出a₀，a₁，a₂，a₃，a₄，然后求解.

解法一：令x＝1，得a₀＋a₁＋a₂＋a₃＋a₄＝(2＋)⁴.

令x＝－1，得a₀－a₁＋a₂－a₃＋a₄＝(－2＋)⁴.

∴(a₀＋a₂＋a₄)²－(a₁＋a₃)²

＝(a₀＋a₁＋a₂＋a₃＋a₄)(a₀－a₁＋a₂－a₃＋a₄)

＝(2＋)⁴(－2＋)⁴.

＝(－1)⁴＝1.故選A.

解法二：(2x＋)⁴＝C()⁴＋C(2x)()³＋C(2x)²()²＋C(2x)³·＋C(2x)⁴，

∴a₀＝C()⁴＝9，a₁＝C2()³＝24，

a₂＝C2²()²＝72，a₃＝C·2³＝32，

a₄＝C·2⁴＝16.

∴(a₀＋a₂＋a₄)²－(a₁＋a₃)²＝97²－(56)²＝9409－9408＝1.

點撥：顯然解法一顯得巧妙.

六、經(jīng)典類型題思維點撥

【例10】 求二項式(x²＋)¹⁰展開式中的常數(shù)項.

思維入門指導(dǎo)：應(yīng)用通項公式，依據(jù)x⁰＝1，求r的值.

解：展開式中第r＋1項為：

T_r＋1＝C(x²)^10－r()^r＝Cx·()^r.

令20－r＝0，得r＝8.∴T₉＝C()⁸＝.

點撥：對T_r＋1表達(dá)式進(jìn)行化簡變形時，要注意指數(shù)運算法則的正確使用.

【例11】 若n為正奇數(shù)，求7ⁿ＋C·7^n－1＋C·7^n－2＋…＋C·7被9除所得的余數(shù).

思維入門指導(dǎo)：注意逆用二項式定理.

解：由二項式定理可知，原式＝(7＋1)ⁿ－1＝(9－1)ⁿ－1＝9ⁿ－C·9^n－1＋C·9^n－2－…＋(－1)^n－1C·9

＋(－1)ⁿ－1.

∵n為正奇數(shù)，∴除以9的余數(shù)為－2＋9＝7.

點撥：余數(shù)應(yīng)滿足0≤r＜9，r∈N，不能是負(fù)整數(shù)，且題目中已知式比(7＋1)ⁿ的展開式少最后一項，不要忽略.

【例12】 在(ax＋1)⁷的展開式中，x³項的系數(shù)是x²項的系數(shù)與x⁴項的系數(shù)的等差中項，若a＞1，求a的值.

解：∵T_r＋1＝C(ax)^7－r，

依題意，得2Ca³＝Ca⁴＋Ca²，即5a²－10a＋3＝0.

又∵a＞1，∴a＝1＋.

【例13】 求(－)⁹展開式中的有理項.

思維入門指導(dǎo)：展開式中的有理項，就是通項公式中x的指數(shù)為整數(shù)的項.

解：∵T_r＋1＝C(x)^9－r(－x)^r＝(1－)^rCx，

令∈Z，即4＋∈Z，用r＝0，1，2，…，9進(jìn)行檢驗，得r＝3或r＝9.

當(dāng)r＝3時，＝4，T₄＝(－1)³Cx⁴＝－84x⁴;

當(dāng)r＝9時，＝3，T₁₀＝(－1)⁹Cx³＝－x³.

∴二項式(－)⁹的展開式中的有理項是T₄＝－84x⁴，T₁₀＝－x³.

【例14】 已知（1－2x＋3x²）⁷＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋…＋a₁₃x¹³＋a₁₄x¹⁴，

(1)求a₀＋a₁＋a₂＋…＋a₁₄;(2)求a₁＋a₃＋a₅＋…＋a₁₃.

解：(1)令x＝1，則a₀＋a₁＋…＋a₁₃＋a₁₄＝2⁷＝128.?、?o:p>

(2)令x＝－1，則a₀－a₁＋a₂－a₃＋…＋a₁₄＝6⁷.　②

①－②得2(a₁＋a₃＋…＋a₁₃)＝2⁷－6⁷＝－279808，

∴a₁＋a₃＋a₅＋…＋a₁₃＝－139904.

七、探究性學(xué)習(xí)點撥

【例15】 求證：在（p＋q）ⁿ（p＞0，q＞0）的展開式中，(1)T_k＋1是最大項的充要條件是T_k＋1≥T_k，且T_k＋1≥T_k＋2；(2)首項是最大項的充要條件是T₁≥T₂；(3)末項是最大項的充要條件是T_n＋1＞T_n.

證明：(1)在(p＋q)ⁿ的展開式中，

T_k＝Cpq，T_k＋1＝Cpq，T_k＋2＝Cpq，則

＝＝·，

∴的值隨k的增大而減小，隨k減小而增大.

故從≥1可知，對一切k′＜k，有

＝···…·＞1.

即若T_k＋1≥T_k，則T_k＋1大于T_k以前的任何一項.

同理，＝·.

的值隨k的增大而增大，隨大的減小而減小.

故從≥1可知對一切k″＞k＋2，則有

＝···…·＞1.

即若T_k＋1≥T_k＋2，則T_k＋1大于T_k＋2以后的每一項.

故T_k＋1是展開式中的最大項，必須且只須T_k＋1≥T_k，T_k＋1≥T_k＋2.

(2)當(dāng)k＝0時，最大項是首項，其充要條件是T₁≥T₂.

(3)當(dāng)k＝n時，最大項是末項，其充要條件是T_n＋1≥T_n.

【強化練習(xí)題】

A卷：教材跟蹤練習(xí)題　(100分 60分鐘)

一、選擇題(每題5分，共50分)

1.二項式(x－)¹⁰的展開式中，x⁶的系數(shù)是(　　)

A.－27C　　　　　　B.27C　　　　　　 C.－9C　　　　　　 D.9C

2.(2－)⁶的展開式中，常數(shù)項是（　?。?o:p>

A.－20　　　　　　　B.20　　　　　　　　C.－160　　　　　　D.160

3.當(dāng)n∈N^*且n≥2時，1＋2＋2²＋…＋2^4n－1＝5p＋q（其中p，q為非負(fù)整數(shù)，且0≤q≤5），則q的值為（　?。?o:p>

A.0　　　　　　　　B.1　　　　　　　　 C.2　　　　　　　　D.與n有關(guān)

4.3⁹＋C·3⁷＋C·3⁵＋C·3³＋C·3¹－C·3⁸－C·3⁶－C·3⁴－C·3²的值是（　?。?o:p>

A.0　　　　　　　　B.4⁹　　　　　　　　 C.512　　　　　　　D.513

5.設(shè)二項式(3·＋)ⁿ的展開式中的各項系數(shù)的和為p，所有二項式系數(shù)的和為S，若p＋S＝272，則n等于（　?。?o:p>

A.4　　　　　　　　B.5　　　　　　　　　C.6　　　　　　　　D.8

6.(＋1)⁴·(x－1)⁵的展開式中，x⁴的系數(shù)為（　?。?o:p>

A.－40　　　　　　　 B.10　　　　　　　　 C.40　　　　　　　 D.45

7.已知(＋)ⁿ展開式中各項系數(shù)和大于8，且小于32，則展開式系數(shù)最大的項是（　 ）

A.6·　　　　　 B.x　　　　　　　　C.4x　　　　　　　D.4x或4x

8.設(shè)(2－x)⁹＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋…＋a₈x⁸＋a₉x⁹，則a₈＋a₉＝（　?。?o:p>

A.17　　　　　　　 B.19　　　　　　　　　C.8　　　　　　　　D.512

9.已知(2x²＋)ⁿ(n∈N^*)的展開式中含有常數(shù)項，則n的最小值是（　?。?o:p>

A.4　　　　　　　　B.5　　　　　　　　　C.9　　　　　　　　D.10

10.已知(ax＋1)²ⁿ和(x＋a)^2n＋1的展開式中xⁿ的系數(shù)相等，a∈R，且a≠0，則a與1的大小關(guān)系是（　?。?o:p>

A.a≤1　　　　　　 B.a≥1　　　　　　　　C.a＜1　　　　　　 D.a＞1

二、填空題（每題5分，共20分）

11.在(x²－)⁹的展開式中，第4項的二項式系數(shù)是______，最后一項的系數(shù)是______.

12.41⁴¹被7除所得的余數(shù)是________.

13.(1－3a＋2b)⁵展開式中不含b的項系數(shù)之和是________.

14.(ax＋1)⁹與(x＋2a)⁸的展開式中，x³的系數(shù)相等，則1＋a＋a²＋…＋a¹⁰⁰＝______(a＞0).

三、解答題（每題10分，共30分）

15.已知(＋)ⁿ的展開式中的第4項與第2項系數(shù)的比是15：1，求展開式的倒數(shù)第3項.

16.在二項式(＋)ⁿ的展開式中，前3項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項.

17.已知m、n∈N^*，f（x）＝（1＋x）^m＋（1＋x）ⁿ的展開式中x項的系數(shù)為19，求f(x)的展開式中x²的系數(shù)的最小值，并求此時展開式中x³項的系數(shù).

B卷：綜合應(yīng)用創(chuàng)新練習(xí)題　（90分 60分鐘）

一、學(xué)科內(nèi)綜合題（每題10分，共20分）

1.若(1－2x)⁵的展開式中的第二項小于第一項，不小于第三項，求實數(shù)x的取值范圍.

2.已知a為實常數(shù)，且(a＋)⁶展開式的常數(shù)項為2×10⁴，求證lg是方程f(x)＝

6x³＋7x²－3x－1＝0的根.

二、應(yīng)用題（10分）

3.某公司的股票今天的指數(shù)為2，以后每天的指數(shù)都比上一天的指數(shù)增加0.2％，則100天以后這家公司的股票指數(shù)約為多少？（精確到0.001）

三、創(chuàng)新題（34分）

（一）教材變型題（10分）

4.（P₁₁₃習(xí)題10.4第4題變型）在（2－x）²的展開式中，設(shè)x²的系數(shù)為a_n(n＝2，3，…)，求＋＋＋…＋的值.

（二）一題多解（10分）

5.試求(1＋x)³＋(1＋x)⁴＋…＋(1＋x)¹⁰⁰展開式中x³項的系數(shù).

（三）一題多變(14分)

6.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的一個給定函數(shù)，函數(shù)g(x)＝Cf()·(1－x)ⁿ＋Cf()x(1－

x)^n－1＋…＋Cf()xⁿ(1－x)⁰（其中x≠0，且x≠1）.

(1)當(dāng)f(x)＝1時，求g(x)；(2)當(dāng)f(x)＝x時，求g(x).

四、高考題（共26分）

7.（2002，上海春招，8分）若在(－)ⁿ的展開式中，第4項是常數(shù)項，則n＝______.

8.(2001，上海理，9分)在代數(shù)式(4x²－2x－5)(1＋)⁵的展開式中，常數(shù)項為________ .

9.(1995，上海，9分)若(x＋1)ⁿ＝xⁿ＋…＋ax³＋bx²＋…＋1(n∈N^*)，且a：b＝3：1，那么n＝______ .

加試題：競賽趣味題(每題5分，共10分)

1.要使n位數(shù)11…1是11的倍數(shù)，n應(yīng)滿足怎樣的條件?

2.(1998，浙江省夏令營試題)設(shè)n∈N^*，要使是11的倍數(shù)，則n滿足怎樣的條件？

【課堂內(nèi)外】

“博弈”淺談

早在距今2000多年的中國戰(zhàn)國時，曾有一個流傳后世的典故，在著名軍事家孫臏的幫助下，齊國大將田忌以“下駟對上駟，上駟對中駟，中駟對下駟”的策略，在平均劣勢下，贏得了對國王的賽馬勝利.

“田忌賽馬”的故事，用現(xiàn)代術(shù)語來說就是一個典型的博弈問題，博弈思想的種子出自中國，卻在西方開花結(jié)果，并成為當(dāng)代應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)分支之一.

現(xiàn)代的博弈論，主要研究決策主體的行為在直接相互作用時，人們?nèi)绾芜M(jìn)行決策，以及這種決策如何達(dá)到均衡的問題，在博弈論的分析中，一定場合中的每個對弈者在決定采取何種行動時，都有策略地，有目的的行事，考慮到他的決策及對其他人的影響，通過選擇最佳行動方案，來尋求收益或效用的最大化.

1950至1953年間，就讀于普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)系的納什發(fā)表了4篇對博弈論的發(fā)展有劃時代意義的論文.證明了非合作博弈均衡——納什均衡的存在.納什的研究方法實際上很簡單，他設(shè)計了一個3個人的“競選游戲”.讓3個參加游戲的人在不同條件下選擇自己最有利的“代理人”，而其結(jié)果顯示，當(dāng)3個人互不結(jié)盟，互不對抗的條件下，所選出的“代理人”對各自利益的影響最壞.因此，某種程度的合作或結(jié)盟，才能使各自利益最大化.

盡管現(xiàn)代博弈論是由美籍匈牙利數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼和經(jīng)濟(jì)學(xué)家奧斯卡·摩根斯坦在1944年創(chuàng)立的，但通過這個“游戲”，納什奠定了自己在博奕論中的大師地位.

在英文中，博奕論也可以翻譯為“游戲理論”，而在實際生活中，確實有許多游戲都反映了博奕論的思想.如撲克、下棋、賽馬，甚至賭博，都有博奕的影子.

例如最簡單的幼兒游戲“石頭、剪子、布”中，我們的問題是：對方如何行動，而我又將如何應(yīng)對才能最佳？這實際上就涉及了博弈論的核心問題，即博弈論是以對方的行為作為自己決策的依據(jù)，并尋求最佳結(jié)果.

社會生活的許多現(xiàn)象，都帶有相互競爭與合作的特征.如股市，莊家和散戶之間也可以算是一種博弈.如果你在股市博弈中加入了散戶一方，你的對手就是擁有控盤能力的莊家.因此，當(dāng)你與大多數(shù)散戶一樣做出入市的決定，你的對手的應(yīng)招就是打壓股價，在你無奈而退時，對手卻抬高股價.散戶與莊家都在追求各自利益的最大化.這就展開了博弈.

在更大的范圍內(nèi)，國際政治格局中的戰(zhàn)略結(jié)盟與敵對等等，無一不是搏弈，可以說，博弈在當(dāng)代世界中無處不在.

參考答案

A卷

1.D  點撥：T_r+1=Cx^10-r(-)^r,令10-r=6,得r=4,∴x⁶的系數(shù)為9C.

2.C

3.A  點撥：由于1+2+2²+…+2^4n-1=2^4n-1,

∴問題化歸為求2^4n-1被5除的余數(shù).

∵2^4n-1=16^n-1=（1+15）ⁿ-1=C·15+C·15²+…+C·15ⁿ，即除以5的余數(shù)為0.∴選A.

4.D  點撥：原式=（3-1）⁹+1=513.

5.A  點撥：依題意4ⁿ+2ⁿ=272，∴2ⁿ=16，∴n=4.

6.D  點撥：含x⁴項的系數(shù)為CC（-1）¹+CC（-1）²+CC（-1）³=45.

7.A  點撥：本題中展開式各項系數(shù)和就是二項式系數(shù)和2ⁿ，∴8＜2ⁿ＜32.∴3＜n＜5.

∴n=4，而系數(shù)最大的項是中項T₃=C()²(x^-)²=6x.

8.A 點撥：a₈+a₉＝C·2·（-1）⁸+（-1）=17.

9.B 點撥：T_r+1=C(2x²)^n-r·x^-3r=2^n-rCx^2n-5r.令2n-5r=0，則n的最小值是5.

10.C 點撥：(ax+1)²ⁿ中xⁿ系數(shù)為Caⁿ，(x+a)²ⁿ⁺¹中xⁿ的系數(shù)為aⁿ⁺¹,

∴Caⁿ=C·aⁿ⁺¹(a≠0).

∴a==·==1-＜1.∴a＜1.

二、11.84,-  點撥:第4項的二項式系數(shù)為C=84.

最后一項是第10項，系數(shù)為C(-)⁹=-.

12.6  點撥：41⁴¹=（42-1）⁴¹=42⁴¹-C42⁴⁰+…+C·42=1，

∴41⁴¹被7除所得余數(shù)是-1+7=6.

13.-32  點撥：令b=0；a=1，得不含b的項系數(shù)之和是（1-3）⁵=-32.

14. 點撥:(ax+1)⁹展開式中x³的系數(shù)是Ca³，(x+2a)⁸中x³的系數(shù)C(2a)⁵,∴Ca³=C(2a)⁵(a＞0).∴a=.

∴1+a+…+a¹⁰⁰===.

三、15.解：由C:C=15:1得（n-1）（n-2）=90.解得n=11.∴倒數(shù)第3項為T₁₀=55ab^-3.

16.解:展開式前三項的系數(shù)為1,,,依題意,1+=n.解得n=8或n=1(舍).∴T_r+1=·x^4-r.設(shè)T_r+1項是有理項,則

∴r=0,4,8.∴展開式中的有理項是T₁=x⁴,T₅=x,T₉=.

17.解:f(x)展開式中x項的系數(shù)為C+C,∴m+n=19.f(x)展開式中x²項的系數(shù)為C+C

=+=n²-19n+171=(n-)²+.

當(dāng)n=9或n=10時，x²項的系數(shù)最小，最小值是81，此時，m=10或m=9.

∴x⁷項的系數(shù)為C+C=156.

B卷

一、1.解：依題意，T₂＜T₁，T₂≥T₃，

∴化簡得解得-＜x≤0為所求.

2.解：T₄=Ca³=20a³,∴20a³=2×10⁴.∴a=10.于是lg=lg=.

∴f()=6×()³+7×()²-3×()-1=0.

∴即lg是方程f(x)=0的根.

二、3.解：2(1+0.2%)¹⁰⁰=2[C+C0.002+C(0.002)²+…]=2(1+0.2+0.O198+…)≈2.4396=2.440.∴100天后這家公司的股票指數(shù)為2.440.

點撥：此題屬增長率問題.

三、(一)4.解:a_n=C2^n-2=·2^n-2,

而===8(-),

∴原式=8[(1-)+(-)+…+(-)]=8(1-)-8-.

點撥：裂項法求數(shù)列的前n項之和.

（二）5.解法一：各展開式中x³項的系數(shù)分別為CC，C，…，C，則x³的系數(shù)為C+C+ C+…+C=C+C+C+…+C=C+C+…+C=…=C=4082925.

解法二：（1+x）³+（1+x）⁴+…+（1+x）¹⁰⁰==.

因此x³的系數(shù)為(1+x)¹⁰¹展開式中x⁴的系數(shù)，即C=4082925.

點撥：解法一使用了組合數(shù)性質(zhì)C+C=C較為麻煩，解法二較簡便.

（三）6.解：（1）∵f(x)=1，

∴g(x)=C(1-x)ⁿ+Cx(1-x)^n-1+…+Cxⁿ=[(1-x)+x]ⁿ=1.

(2)∵f(x)=x,∴g(x)=C(1-x)ⁿ+Cx(1-x)^n-1+Cx²(1-x)^n-2+…+Cxⁿ.

∵C=·==C,

∴g(x)=Cx(1-x)^n-1+Cx²(1-x)^n-2+…+Cxⁿ=x[C(1-x)^n-1+Cx(1-x)^n-2+…+Cx^n-1]=x[(1-x)+x]^n-1=x.

點撥:用C=C使二項式系數(shù)的下標(biāo)統(tǒng)一.

四、7.18  點撥:∵T₄=C()^n-3()³=C(-1)³x為常數(shù)項,

∴令=0.∴n=18.

8.15  點撥：(4x²-2x-5)(1+)⁵=(4x²-2x-5)(1+5·+10·+10+5·+),∴常數(shù)項為4x²·5·-5×1=15.

9.11  點撥：由二項式定理可得a=C，b=C.

∵a:b=3:1，∴C:C=3:1.解得n=11.

點撥：上述三道高考題考查了二項式定理，通項公式及組合數(shù)的計算等.

加試題：1.==[(11-1)ⁿ-1].

因為9與11互質(zhì)，因此若[(11-1)ⁿ-1]是11的倍數(shù)，只須（11-1）ⁿ-1是11的倍數(shù)，而(11-1)ⁿ-1=11ⁿ-C·11^n-1+…+(-1)^n-1·11+(-1)ⁿ-1，

因此，n為偶數(shù)時，n位數(shù)11…1才是11的倍數(shù).

2.解：9^n-k=9^n+1-k=(9^n+1-k-1)=[(9+1)ⁿ⁺¹-1]=.即知n應(yīng)滿足的條件是n為奇數(shù).