一、求二項(xiàng)式展開式中指定項(xiàng)

在二項(xiàng)展開式中，有時(shí)存在一些特殊的項(xiàng)，如常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)、整式項(xiàng)、系數(shù)最大的項(xiàng)等等，這些特殊項(xiàng)的求解主要是利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，然后依據(jù)條件先確定r的值，進(jìn)而求出指定的項(xiàng)。

1、求常數(shù)項(xiàng)

例1、已知的展開式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為，其中，則展開式中常數(shù)項(xiàng)是（    ）

A. －45i

B. 45i

C. －45

D. 45

解：第三項(xiàng)、第五項(xiàng)的系數(shù)分別為，由題意有

整理得

解得n=10

設(shè)常數(shù)項(xiàng)為

則有

得r=8

故常數(shù)項(xiàng)為，選D。

2、求有理項(xiàng)

例2、已知的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中所有的有理項(xiàng)。

解：展開式的前三項(xiàng)的系數(shù)分別為

則由題意可得

即

解得n=8（n=1舍去）

于是

若為有理項(xiàng)，則，且，所以r=0，4，8。

故展開式中所有的有理項(xiàng)為

3、求冪指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)

例3、在的展開式中，x的冪指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有（    ）

A. 3項(xiàng)

B. 4項(xiàng)

C. 5項(xiàng)

D. 6項(xiàng)

解：

所以r=0，6，12，18，24時(shí)，x的冪指數(shù)為整數(shù)，故選C。

4、求系數(shù)最大的項(xiàng)

例4、已知的展開式中，只有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，求該展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)。

解：由只有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，可知展開式共有9項(xiàng)，故n=8

又

設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，則有

解得

又，所以r=2或r=3

所以二項(xiàng)式的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是

二、求三項(xiàng)式或多項(xiàng)的和或積的展開式中指定項(xiàng)

有些三項(xiàng)式展開問(wèn)題可以先通過(guò)變形轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式展開問(wèn)題加以解決，對(duì)于多項(xiàng)的和或積的二項(xiàng)式問(wèn)題，可通過(guò)“搭配”解決，但要注意不重不漏。

例5、的展開式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為________。

解：

對(duì)于二項(xiàng)式的展開式中

要得到常數(shù)項(xiàng)需10－r=5，則r=5

所以常數(shù)項(xiàng)為

例6、在展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（    ）

A. 74

B. 121

C. －74

D. －121

解：的展開式中，含的項(xiàng)為，故選D。

三、求展開式中某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)或系數(shù)

此類問(wèn)題仍然是利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式來(lái)加以求解，但在解題中要注意某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別。

例7、在的展開式中，的系數(shù)是_________。（用數(shù)字作答）

解：

令，得r=1

所以的系數(shù)為。

四、求展開式中的系數(shù)和

在涉及到求展開式中所有項(xiàng)系數(shù)的和或者奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和的問(wèn)題時(shí)，通?？梢愿鶕?jù)題目的結(jié)構(gòu)特征，選擇“賦值法”來(lái)加以解決。

例8、若，則=______________（用數(shù)字作答）。

解：取x=0，得

取x=1，得

故

=2003+1=2004

五、近似計(jì)算、證明整除及求余數(shù)問(wèn)題

近似計(jì)算要首先注意精確度，然后選取展開式中前幾項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算。用二項(xiàng)式定理證明整除及求余數(shù)問(wèn)題，一般將被除式變?yōu)橛嘘P(guān)除式的二項(xiàng)式的形式來(lái)展開，常采用“配湊法”，“消去法”，結(jié)合整除的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決。

例9、據(jù)2002年3月5日九屆人大五次會(huì)議《政府工作報(bào)告》：“2001年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)到95933億元，比上年增長(zhǎng)7.3%”，如果“十·五”期間（2001年—2005年）每年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值都按此年增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，那么到“十·五”末我國(guó)國(guó)內(nèi)年生產(chǎn)總值約為（    ）

A. 115000億元

B. 120000億元

C. 127000億元

D. 135000億元

解：設(shè)到“十·五”末我國(guó)國(guó)內(nèi)年生產(chǎn)總值為A，由復(fù)利公式或等比數(shù)列通項(xiàng)公式，得

A=

故選C

例10、除以100的余數(shù)是___________。

解：＋92×90＋1（M為整數(shù)）=100M＋82×100＋81。

所以除以100的余數(shù)是81。

六、與其它知識(shí)交匯型問(wèn)題

在知識(shí)點(diǎn)的交匯處命題，已成為新高考命題的一個(gè)趨勢(shì)。二項(xiàng)定理可以與組合、數(shù)列極限、楊輝三角等知識(shí)進(jìn)行綜合，而設(shè)計(jì)出新題。

例11、設(shè)常數(shù)a>0，展開式中的系數(shù)為，則=___________________。

解：

由，得r=2

又

所以