用數(shù)學(xué)知識求解物理極值問題

摘 要：物理極值問題，就是求某物理量在某物理過程中的極大值或極小值。物理極值問題是中學(xué)物理教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，在高中物理的力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)等部分均出現(xiàn)，涉及的知識面廣，綜合性強(qiáng)，加之學(xué)生數(shù)理結(jié)合能力差，物理極值問題已成為高中學(xué)生學(xué)習(xí)物理的難點(diǎn)。隨著高考改革的深入及素質(zhì)教育的全面推進(jìn)，各學(xué)科之間的滲透不斷加強(qiáng)，作為對理解能力和演繹推理能力及運(yùn)算能力都有很高要求的物理學(xué)科，如果能與數(shù)學(xué)知識靈活結(jié)合，將會拓展解決物理極值問題的思路，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力。本文擬就本人在教學(xué)過程中遇到的一些極值問題作以探討。

關(guān)鍵詞：物理  極值問題   數(shù)理結(jié)合  求解

一、用二次函數(shù)求極值

在解物理問題時(shí)，若列出的物理方程滿足二次函形式，則可由求二次函數(shù)極值的方法求解物理極值。主要有以下幾種類型：

（二）   用二次函數(shù)極值公式求極值。

對于典型的一元二次函數(shù)y = ax² + bx + c,(a ≠0)

若a > 0, 則當(dāng) 時(shí) ,y 有極小值，為 y_min= ；

若 a < 0, 則當(dāng) 時(shí) ,y 有極大值，為 y_max= 。

例 1 一輛汽車在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠燈亮?xí)r汽車以 3m/s 2 的加速度開始行駛。恰在這時(shí)一輛自行車以 6m/s 的速度勻速駛來，從后邊趕過汽車。汽車從路口開動(dòng)后，在追上自行車之前過多長時(shí)間兩車相距最遠(yuǎn)？此時(shí)距離是多少？

分析：根據(jù)題意，自行車做勻速運(yùn)動(dòng)，汽車做勻加速運(yùn)動(dòng)。汽車與自行車的位移之差是一個(gè)關(guān)于時(shí)間的二次函數(shù)，所以可以用二次函數(shù)極值公式求極值。

解：經(jīng)過時(shí)間 t后，自行車做勻速運(yùn)動(dòng)，其位移為S₁=V_t，

汽車做勻加速運(yùn)動(dòng)，其位移為：

兩車相距為：

這是一個(gè)關(guān)于 t的二次函數(shù)，因二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)值，故ΔS有最大值。

當(dāng)  =2（s)時(shí)ΔS有最大值。

（二）利用一元二次方程判別式求極值

對于二次函數(shù)y = ax² + bx + c，(a ≠0)可變形為一元二次方程

 ax² + bx + c - y=0

用判別式法 即：

則由不等式可知 y的極值為：

對于例題 1，我們可以轉(zhuǎn)化為二次方程求解。

將 可轉(zhuǎn)化為一元二次方程：

要使方程有解，必使判別式

解不等式得： ，即最大值為6m

例1.一個(gè)質(zhì)量為m的電子與一個(gè)靜止的質(zhì)量為M的原子發(fā)生正碰，碰后原子獲得一定速度，并有一定的能量E被貯存在這個(gè)原子內(nèi)部。求電子必須具有的最小初動(dòng)能是多少？
    分析與解：設(shè)電子碰前的速度為 ，碰后的速度為 ，靜止的原子被碰后的速度為 ． 由動(dòng)量守恒定律有  ①

由能量守恒有  ②

由①式解出 代入②

可得：

整理可得：

因電子碰后的速度 必為實(shí)數(shù)，所以此方程的判別式b²-4ac≥0 即

根據(jù)上式整理可得： ，

所以電子必須具有的最小的初動(dòng)能是 。

然后，要使方程成立，必須滿足 ，才能使速度 有實(shí)數(shù)解。即

不難求出             

顯然，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最小半徑應(yīng)為

例3.在擲鉛球的運(yùn)動(dòng)中，如果鉛球出手時(shí)距地面的高度為h，速度為υ₀，求υ₀與水平方向成何角度時(shí)，水平射程最遠(yuǎn)？并求此最大的水平射程X_max。
    分析與解：以出手點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，可分別列出水平方向與豎直方向的位移方程。

              ①

       ②

消去時(shí)間t,可得

     ③

上式為關(guān)于tanθ的一元二次方程。若tanθ存在實(shí)數(shù)解，則判別式b²-4ac≥0   即

由于 因而

解出結(jié)果后，我們可聯(lián)系實(shí)際進(jìn)行如下驗(yàn)證。設(shè)出手高度h=0, 則

由此可知θ=45°。這就是我們過去曾經(jīng)知道的一個(gè)物體做斜拋運(yùn)動(dòng)，當(dāng)θ=45°時(shí)其射程最遠(yuǎn)。

（三）利用配方法求極值

對于二次函數(shù) ，函數(shù)解析式經(jīng)配方可變?yōu)?

(1)若a>0時(shí)，當(dāng) 時(shí)，y有極小值為

(2)若a<0時(shí)，當(dāng) 時(shí)，y有極大值為

對于例題 1還可用配方法求解。

二.利用不等式求極值

（一）如果a，b為正數(shù)，那么有： ，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，上式取“=”號。

推論：

1.兩個(gè)正數(shù)的積一定時(shí)，兩數(shù)相等時(shí)，其和最小。

2.兩個(gè)正數(shù)的和一定時(shí)，兩數(shù)相等時(shí)，其積最大。

（二）如果a，b，c為正數(shù)，則有 ，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，上式取“=”號。

推論：

1.三個(gè)正數(shù)的積一定時(shí)，三數(shù)相等時(shí)，其和最小。

2.三個(gè)正數(shù)的和一定時(shí)，三數(shù)相等時(shí)，其積最大。

例 2一輕繩一端固定在O點(diǎn)，另一端拴一小球，拉起小球使輕繩水平，然后無初速度的釋放，如圖所示，小球在運(yùn)動(dòng)至輕繩達(dá)到豎直位置的過程中，小球所受重力的瞬時(shí)功率在何處取得最大值？

解：當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到繩與豎直方向成θ角的 C時(shí)，重力的功率為：

P=mgυcosα=mgυsinθ…………①

小球從水平位置到圖中 C位置時(shí)，機(jī)械能守恒有：

……………②

解①②可得：

令 y=cosθsin²θ

根據(jù)基本不等式 ，定和求積知：

當(dāng)且僅當(dāng) ，y有最大值

由此我們可以得出結(jié)論：當(dāng) 時(shí)，y及功率P有最大值。

三 利用三角函數(shù)求極值

（一）利用三角函數(shù)的有界性求極值

如果所求物理量表達(dá)式中含有三角函數(shù)，可利用三角函數(shù)的有界性求極值。若所求物理量表達(dá)式可化為“ ”的形式，可變?yōu)?

           ，

當(dāng) 時(shí)， 有極值 。

例 3如圖所示,底邊恒定為b,當(dāng)斜面與底邊所成夾角θ為多大時(shí),物體沿此光滑斜面由靜止從頂端滑到底端所用時(shí)間才最短?

此題的關(guān)鍵是找出物體從斜面頂端滑至底端所用時(shí)間與夾角的關(guān)系式 ,這是一道運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的綜合題,應(yīng)根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的有關(guān)知識列出物理方程。

解：設(shè)斜面傾角為θ時(shí)，斜面長為 S，物體受力如 圖所示，由圖知

  …………………①

由勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律得： …………②

由牛頓第二定律提： mgsinθ=ma…………③

聯(lián)立①②③式解得：

可見，在 90°≥θ≥0°內(nèi)，當(dāng)2θ=90°時(shí)，sin2θ有最大值，t有最小值。

即θ =45°時(shí)，有最短時(shí)間為：

（二）利用“化一”法求三角函數(shù)極值。對于復(fù)雜的三角函數(shù)，例如 ，要求極值時(shí),先需要把不同名的三角函數(shù) 和 ，變成同名的三角函數(shù)，這個(gè)過程叫做“化一”。

令 ，則有

y

y

故 y的極大值為 。

例題4 物體放置在水平地面上，物理與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，物體重為G，欲使物體沿水平地面做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所用的最小拉力F為多大？

該題的已知量只有 μ和G，說明最小拉力的表達(dá)式中最多只含有μ和G，但是，物體沿水平地面做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，拉力F可由夾角的不同值而有不同的取值。因此，可根據(jù)題意先找到F與夾角有關(guān)的關(guān)系式再作分析。

解：設(shè)拉力 F與水平方向的夾角為θ，根據(jù)題意可列平衡方程式，

即 ……①

……②

…………③

由聯(lián)立①②③解得：

,

其中 ,∴

四 利用向量求極值

向量就是物理學(xué)中的矢量，當(dāng)物體受三力平衡時(shí)，將三矢量首尾相連后，必定構(gòu)成三角形。利用點(diǎn)到直線的垂直線段最短可求極值。

對于例題 4，我們也可用矢量知識求極值。

將摩擦力 f和地面對木塊的彈力N合成一個(gè)力F'，如圖，F'與豎直方向的夾角為 （為 一定值）。這樣木塊可認(rèn)為受到三個(gè)力:重力G,桌面對木塊的作用力F'和拉力F的作用。盡管F大小方向均未確定，F'方向一定，但大小未定，但三力首尾相連后必構(gòu)成三角形，如右圖所示。只用當(dāng)F與F'垂直時(shí)，即拉力與水平方向成 角時(shí)，拉力F最小為

而

故

五 用圖像法求極值

通過分析物理過程遵循的物理規(guī)律，找到變量之間的函數(shù)關(guān)系，做出其圖像，由圖像可求得極值。

例 5 從車站開出的汽車作勻加速運(yùn)動(dòng)，它開出一段時(shí)間后，突然發(fā)現(xiàn)有乘客未上車，于是立即制動(dòng)做勻減速運(yùn)動(dòng)，結(jié)果汽車從開動(dòng)到停下來共用20秒，前進(jìn)了50米。求這過程中汽車達(dá)到的最大速度。

解：設(shè)最大速度為 V m ,即加速階段的末速度為V m 。

畫出其速度時(shí)間圖象如右圖所示，圖線與 t軸圍成的面積等于位移。即

即：

六、幾何法求極值

    在初中幾何中我們曾經(jīng)學(xué)過“點(diǎn)到直線的距離以垂線為最短。”此結(jié)論對于求極小值問題，是一條捷徑。

例6如圖1-1所示，船A從港口P出發(fā)去攔截正以速度υ₀沿直線航行的船B 。P與B所在航線的垂直距離為a，A起航時(shí)與B船相距為b，b>a 。如果略去A船起動(dòng)時(shí)的加速過程，認(rèn)為它一起航就勻速運(yùn)動(dòng)。則A船能攔截到B船的最小速率為多少？

    分析與解：分析本題是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體求它們之間的相對位置的問題。若以地球?yàn)閰⒄障?，兩個(gè)物體都運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)方向不一致，它們之間的相對位置隨時(shí)間變化的關(guān)系比較復(fù)雜，一時(shí)不容易做出正確的判斷與解答。但如果把參照系建立在某一運(yùn)動(dòng)的物體上，（如B上）由于以誰為參照系，就認(rèn)為誰不動(dòng)，此題就簡化為一個(gè)物體，（如A）在此運(yùn)動(dòng)參照系的運(yùn)動(dòng)問題了。當(dāng)然解一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)問題比解兩個(gè)物體都運(yùn)動(dòng)的問題自然容易多了。

以B為參照系，B不動(dòng)，在此參照系中A將具有向左的分速度υ₀，如圖1-2所示。在此參照系中A只要沿著PB方向就能攔截到B 。應(yīng)用“點(diǎn)到直線的距離以垂線為最短”的結(jié)論。過O點(diǎn)作PB的垂線，交PB于E點(diǎn)，OE即為A船對地的速度的最小值 ，在△AOE中

    ∵  而  
    ∴ ，由于靈活運(yùn)用了幾何知識，使較為復(fù)雜的問題，變?yōu)楹唵蔚膸缀螁栴}了。

例7質(zhì)量為m的物體，放在動(dòng)摩擦因數(shù)為μ的平面上，在大小恒定的拉力F作用下，物體沿平面作勻速直線運(yùn)動(dòng)，問：F與水平方向成多大角時(shí)，拉力最小，最小值為多少?

分析與解：受力如圖所示，由平衡條件，得

ΣF_x=Fcosθ－μmg=0

F_y=N+Fsinθ－mg=0

F= =

其中cotφ=μ，當(dāng)（θ+φ）=90o，即

θ=90o－φ=90o－arccot（μ），

tgθ=cot（arcctgμ）=μ時(shí)

拉力有最小值，即當(dāng)θ=arctgμ時(shí)，有

F_min=

幾何法一般用于求極小值問題，其特點(diǎn)是簡單、直觀，把物體運(yùn)動(dòng)的較為復(fù)雜的極值問題，轉(zhuǎn)化為簡單的幾何問題去解，便于學(xué)生掌握。
    以上求極值的方法是解高中物理題的常用方法。在使用中，還要注意題目中的條件及“界”的范圍。求最大和最小值問題，這類問題往往是物理學(xué)公式結(jié)合必要的數(shù)學(xué)知識才得出結(jié)論，這就要求學(xué)生不僅理解掌握物理概念、規(guī)律，還要具備較好的運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題的能力。
    解決極值問題的關(guān)鍵是扎實(shí)掌握高中物理的基本概念，基本規(guī)律，在分析清楚物理過程后，再靈活運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識。
    綜上所述，無論采用何種方法解物理極值問題，首先都必須根據(jù)題意，找出符合物理規(guī)律的物理方程或物理圖象，這也是解決物理問題的核心，決不能盲目地將物理問題純數(shù)學(xué)化。