圓錐曲線

1.圓錐曲線的兩個定義：

（1）第一定義中要重視“括號”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)2a，且此常數(shù)2a一定要大于當(dāng)常數(shù)等于

F1F2

，

F1F2

時，軌跡是線段F1F2，當(dāng)常數(shù)小于

F1F2時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a，

且此常數(shù)2a一定要小于|F1F2|，定義中的“絕對值”與2a＜|F1F2|不可忽視。若2a＝|F1F2|，則軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線，若2a﹥|F1F2|，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。如（1）已知定點F1(?3,0),F2(3,0)，在滿足下列條件的平面上動點P的軌跡中是橢圓的是 A．PF B．PF C．1?PF2?41?PF2?6D．PF1

2

PF1?PF2?10

PF2

2

8表示的曲線是_____（答：雙曲線的左支） ?12（答：C）

（2）第二定義中要注意定點和定直線是相應(yīng)的焦點和準(zhǔn)線，且“點點距為分子、點線距為分母”，其商即是離心率e。圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點到焦點距離與此點到相應(yīng)準(zhǔn)線距離間的關(guān)系，要善于運用第二定義對它們進行相互轉(zhuǎn)化。如已知點

x2

Q(22,0)及拋物線y?

4

上一動點P（x,y）,則y+|PQ|的最小值是_____（答：2）

2.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心（頂點）在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸時的標(biāo)準(zhǔn)位置的方程）：

x2y2x?acos?（1）橢圓：焦點在x軸上時2?2?1（a?b?0）其中??y?bsin?（參數(shù)方程，

ab

＝1（a

22

b?0）。方程Ax?By?C表示橢圓的充要條件是什么？（ABC≠0，且

y2x2

為參數(shù)），焦點在y軸上時2?2

ab

A，B，C同號，A≠B）。如（1）已知方程

11x2y222

；（2）若x,y?R，且3x?2y?6，則x?y??1表示橢圓，則k的取值范圍為____（答：(?3,?)?(?,2)）

223?k2?k

的最大值是____，x

2

y2的最小值是___

2）

y2x2

=1，焦點在y軸上：2?2

ab

＝1（a?0,b?0）。方程

x2y2

（2）雙曲線：焦點在x軸上：2?2

ab

Ax2?By2?C表示雙曲線

x2y25

的充要條件是什么？（ABC≠0，且A，B異號）。如（1）雙曲線的離心率等于，且與橢圓??1有公共焦點，則該雙曲線的方

942

x2

程_______（答：；（2）設(shè)中心在坐標(biāo)原點O，焦點F1、F2在坐標(biāo)軸上，離心率e?2的雙曲線C過點P(4,?)，?y2?1）

4

則C的方程為_______（答：x

2

y2?6）

（3）拋物線：開口向右時

y2?2px(p?0)，開口向左時y2??2px(p?0)，開口向上時x2?2py(p?0)，開口向下時

x2??2py(p?0)。

3.圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）：

（1）橢圓：由x

2

,

y

2

分母的大小決定，焦點在分母大的坐標(biāo)軸上。如已知方程

x2y2

1表示焦點在y軸上的橢圓，

m?12?m

則m的取值范圍是__（答：(??,?1)?(1,

（2）雙曲線：由x

2

3)） 2

,

y

2

項系數(shù)的正負決定，焦點在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；

（3）拋物線：焦點在一次項的坐標(biāo)軸上，一次項的符號決定開口方向。

特別提醒：（1）在求解橢圓、雙曲線問題時，首先要判斷焦點位置，焦點F1，F(xiàn)2的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，而方程中的兩個參數(shù)a,b，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時，首先要判斷開口方向；（2）在橢圓中，a最大，a

4.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：

2

b2?c2，在雙曲線中，c最大，c2?a2?b2。

x2y2

（1）橢圓（以2?2?1（a?b?0）為例）：①范圍：?a?x?a,?b?y?b；②焦點：兩個焦點(?c,0)；③對稱性：

ab

兩條對稱軸x?0,y

0，一個對稱中心（0,0），四個頂點(?a,0),(0,?b)，其中長軸長為2a，短軸長為2b；④準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線

a2

x??

c

cx2y2

； ⑤離心率：e?，橢圓?0?e?1，e越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁。如（1）若橢圓??1的離心率

a5m

25，則的值是__（答：3或）；（2）以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為1時，則橢圓長軸的最小值me?

35

為__（答：2

2）

x2y2

2?1（a?0,b?0）為例）（2）雙曲線（以：①范圍：x??a或x?a,y?R；②焦點：兩個焦點(?c,0)；③對稱2ab

性：兩條對稱軸x?0,y

0，一個對稱中心（0,0），兩個頂點(?a,0)，其中實軸長為2a，虛軸長為2b，特別地，當(dāng)實軸和虛軸的

； ⑤離心率：e

2

a

長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為x2?y2?k,k?0；④準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線x??

c

c

，雙曲線?e?1，a

等軸雙曲線

b

e?e越小，開口越小，e越大，開口越大；⑥兩條漸近線：y??x。如（1）雙曲線的漸近線方程是3x?2y?0，

a

則該雙曲線的離心率等于______

22

）；（2）雙曲線ax?by?

1a:b

答：4

1

或4

x2y2

）；（3）設(shè)雙曲線2?2?1（a>0,b>0）中，離心率e∈[2,2],則兩條漸近線夾角θ

ab

（3）拋物線（以

的取值范圍是________（答：[

,]）；

32

p

：①范圍：x?0,y?R；②焦點：一個焦點(,0)，其中p的幾何意義是：焦點到y(tǒng)2?2px(p?0)為例）

2

準(zhǔn)線的距離；③對稱性：一條對稱軸拋物線?

；④準(zhǔn)線：一條準(zhǔn)線x??y?0，沒有對稱中心，只有一個頂點（0,0）

p

2

； ⑤離心率：e?

c，a

e?1。如設(shè)a?0,a?R，則拋物線y?4ax2的焦點坐標(biāo)為________（答：(0,

1

； )）

16a

22x0y0x2y2

5、點P(x0,y0)和橢圓2?2?1（a?b?0）的關(guān)系：（1）點P(x0,y0)在橢圓外?2?2?1；（2）點P(x0,y0)

abab

22

x0y0

在橢圓上?2?2

ab22

x0y0

＝1；（3）點P(x0,y0)在橢圓內(nèi)?2?2?1

ab

6．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：

0?直線與橢圓相交； ??0?直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有??0，當(dāng)直線與雙曲線的

漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點，故??0是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；??0?直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有??0，當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個交點，故??0也僅是

（1）相交：?

直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。如（1）若直線y=kx+2與雙曲線x-y=6的右支有兩個不同的交點，則k的取值范圍是

2

2

_______（答：(-

x2y2??1恒有公共點，則m的取值范圍是_______（答：[1，5）∪（5，,-1)）；（2）直線y―kx―1=0與橢圓

5m3

x2y2

1的右焦點直線交雙曲線于A、B兩點，若│AB︱＝4，則這樣的直線有_____條（答：3）+∞））；（3）過雙曲線； 12

0?直線與橢圓相切；??0?直線與雙曲線相切；??0?直線與拋物線相切；

（3）相離：??0?直線與橢圓相離；??0?直線與雙曲線相離；??0?直線與拋物線相離。

（2）相切：?

特別提醒：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時,

x2y2直線與雙曲線相交,但只有一個交點；如果直線與拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交,也只有一個交點；（2）過雙曲線2?2

ab

＝1外

一點P(x0,y0)的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下：①P點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；②P點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；③P在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；④P為原點時不存在這樣的直線；（3）過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線。如

x2y2

（1）過點(2,4)作直線與拋物線y?8x只有一個公共點，這樣的直線有______（答：2）；（2）過點(0,2)與雙曲線??1有且僅有

916

2

4y2?2

一個公共點的直線的斜率的取值范圍為______

（答：??,；（3）過雙曲線x??1的右焦點作直線l交雙曲線于）

32????

兩點，若

A、B

22；（4）對于拋物線C：y?4x，我們稱滿足y0?4x0的點M(x0,y0)在AB?4，則滿足條件的直線l有____條（答：3）

拋物線的內(nèi)部，若點M(x0,y0)在拋物線的內(nèi)部，則直線l：y0y

2

；（5）過拋?2(x?x0)與拋物線C的位置關(guān)系是_______（答：相離）

物線y?4x的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是p、q，則

11

；（6）設(shè)雙??_______（答：1）

pq

x2y2

1的右焦點為F曲線

169

，右準(zhǔn)線為l，設(shè)某直線m交其左支、右支和右準(zhǔn)線分別于P,Q,R，則?PFR和?QFR的大小

關(guān)系為___________(填大于、小于或等于) （答：等于）；（7）求橢圓7x2?4y2?28上的點到直線3x

2y?16?0的最短距離（答：

22

）；（8）直線y?ax?1與雙曲線3x?y?1交于A、B兩點。①當(dāng)a為何值時，A、B分別在雙曲線的兩支上？②當(dāng)a為何值時，以AB

為直徑的圓過坐標(biāo)原點？（答：①

； ；②a??1）

7、焦半徑（圓錐曲線上的點P到焦點F的距離）的計算方法：利用圓錐曲線的第二定義，轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，即焦半徑r?ed

，

x2y2

其中d表示P到與F所對應(yīng)的準(zhǔn)線的距離。如（1）已知橢圓??1上一點P到橢圓左焦點的距離為3，則點P到右準(zhǔn)線的距離為

2516

____（答：

352

）；（2）已知拋物線方程為y?8x，若拋物線上一點到y(tǒng)軸的距離等于5，則它到拋物線的焦點的距離等于____；（3）若3

x2y2

該拋物線上的點M到焦點的距離是4，則點M的坐標(biāo)為_____（答：7,(2,?4)）；（4）點P在橢圓??1上，它到左焦點的距

259

離是它到右焦點距離的兩倍，則點P的橫坐標(biāo)為_______（答：

252

）；（5）拋物線y?2x上的兩點A、B到焦點的距離和是5，則線段12

x2y2

AB的中點到y(tǒng)軸的距離為______（答：2）；（6）橢圓F為右焦點，在橢圓上有一點M，使MP?2MF??1內(nèi)有一點P(1,?1)，

43

之值最小，則點M的坐標(biāo)為_______（答：(

26

； ,?1)）

3

8、焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形）問題：常利用第一定義和正弦、余弦定理求解。設(shè)橢圓或雙曲線

上的一點

P(x0,y0)到兩焦點F1,F2的距離分別為r1,r2，焦點?F1PF2

的面積為

S

，則在橢圓

x2y2

1中， ①?a2b2

＝

2b2

1)，且當(dāng)r1?r2即P為短軸端點時，?

r1r2

P

為短軸端點時，

b2?c2

最大為?max＝a2

；②S

b2tan

2

c|y0|，當(dāng)|y0|?b即

Smax的最大值為

bc；對于雙曲線

2b2x2y2

1??2?1的焦點三角形有：①??arccos?2?r1r2ab?

；

②S?

1?2

r1r2sin??b2cot。如（1）短軸長為，離心率e?223

的橢圓的兩焦點為F1、F2，過F1作直線交橢圓于A、B兩點，

則?ABF2的周長為________（答：6）；（2）設(shè)P是等軸雙曲線x2F1、F2是左右焦點，若PF2?F1F2?0，?y2?a2(a?0)右支上一點，

x2y2→→

1的焦點為F1、|PF1|=6，則該雙曲線的方程為x?y?4）；（3）橢圓F2，點P為橢圓上的動點，當(dāng)PF 2PF 94

2

2

2

1

<0時，點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是

（答：(6）；（4）雙曲線的虛軸長為4，離心率e＝2

，F(xiàn)1、F2是它

的左右焦點，若過F1的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點，且

AB是AF2

與

BF2

等差中項，則

；AB＝__________

（答：（5）已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)1、F2是左右焦點，P為雙曲線上一點，且?F1PF2

60?，S?PF1F2?．求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方

x2y2

1）程（答：； 412

9、拋物線中與焦點弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)：（1）以過焦點的弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切；（2）設(shè)AB為焦點弦， M為準(zhǔn)線與x軸的交點，則∠AMF＝∠BMF；（3）設(shè)AB為焦點弦，A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為A1，B1，若P為A1B1的中點，則PA⊥PB；（4）若AO的延長線交準(zhǔn)線于C，則BC平行于x軸，反之，若過B點平行于x軸的直線交準(zhǔn)線于C點，則A，O，C三點共線。

10、弦長公式：若直線

y?kx?b與圓錐曲線相交于兩點A、B，且x1,x2分別為A、B的橫坐標(biāo)，則AB

＝

1?x2y1?y2

，

若

B的縱坐標(biāo)，則ABy1,y2分別為A、

1

y1?y22k

，若弦AB所在直線方程設(shè)為x?ky?b，則AB

。

特別地，焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。如（1）過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______（答：8）；（2）過拋物線

； y2?2x焦點的直線交拋物線于A、B兩點，已知|AB|=10，O為坐標(biāo)原點，則ΔABC重心的橫坐標(biāo)為_______（答：3）

x2y2

11、圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。在橢圓2?2?1中，以P(x0,y0)為中點

ab

的弦所在直線的斜率

b2x0

k=－2

ay0

x2y2

；在雙曲線2?2?1中，以P(x0,y0)為中點的弦所在直線的斜率

ab

b2x0k=2

ay0

；在拋物線

y?2px(p?0)中，以P(x0,y0)為中點的弦所在直線的斜率k=

2

py0

x2y2

1弦被點A（4，2）平分，那么。如（1）如果橢圓

369

x2y2

這條弦所在的直線方程是        （答：x?2y?8?0）；（2）已知直線y=－x+1與橢圓2?2?1(a?b?0)相交于A、B兩點，

ab

且線段AB的中點在直線L：x－2y=0上，則此橢圓的離心率為_______

2x2y2

）；（3）試確定m的取值范圍，使得橢圓??1

43

上有不同的兩點關(guān)于直線

特別提醒：因為?

；  y?4

x?m對稱（答：??）

0是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關(guān)弦長、對稱問題時，務(wù)必別忘了檢驗??0！

12．你了解下列結(jié)論嗎？

2222

yyxx（1）雙曲線?2?1的漸近線方程為2?2?0； 2

abab

⑤參數(shù)法：當(dāng)動點P(x,y)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動點可用時，可考慮將x,y均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程）。如（1）AB是圓O的直徑，且|AB|=2a，M為圓上一動點，作MN⊥AB，垂足為N，在OM上取點P，使|OP|?|MN|，求點P的軌跡。（答：x的軌跡方程是____（答：

2

y2?a|y|）；（2）若點P(x1,y1)在圓x2?y2?1上運動，則點Q(x1y1,x1?y1)

1

y2?2x?1(|x|?)）；（3）過拋物線x2?4y的焦點F作直線l交拋物線于A、B兩點，則弦AB的中點M

2

2

的軌跡方程是________（答：x?2y?2）；

注意：①如果問題中涉及到平面向量知識，那么應(yīng)從已知向量的特點出發(fā)，考慮選擇向量的幾何形式進行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化，還是選擇向量的代數(shù)形式進行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化。如已知橢圓

x2y2

2?1(a?b?0)的左、右焦點分別是F1（－c，0）、F2（c，0），2ab

Q是橢圓外的動點，滿足

|F1|?2a.點P是線段F1Q與該橢圓的交點，點T在線段F2Q上，并且?TF2?0,|TF2|?0.（1）設(shè)x

為點P的橫坐標(biāo)，證明

2

滿足

|F1|?a?

c

x；（2）求a

點T的軌跡C的方程；（3）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M，使△F1MF2的面積S=b.若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存

b2b2

a時不存在；當(dāng)?a時存在，此時∠F1MF2＝2） 在，請說明理由. （答：（1）略；（2）x?y?a；（3）當(dāng)cc

2

2

2

②曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個不同的概念，尋求軌跡或軌跡方程時應(yīng)注意軌跡上特殊點對軌跡的“完備性與純粹性”的影響.

③在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合(如角平分線的雙重身份――對稱性、利用到角公式)、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問題為代數(shù)問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等.

④如果在一條直線上出現(xiàn)“三個或三個以上的點”，那么可選擇應(yīng)用“斜率或向量”為橋梁轉(zhuǎn)化. 14、解析幾何與向量綜合時可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容： （1） 給出直線的方向向量u（2）給出?與

1,k?或u??m,n?；

AB

的中點;

AB相交,等于已知?過

的中點;

（3）給出??0,等于已知P是MN

（4）給出?

,等于已知P,Q與AB的中點三點共線;

實數(shù)

//；②存在

,?,且????1,使OC??OA??OB,等于已知A,B,C三點共線.

（5） 給出以下情形之一：①（6） 給出??

,使??；③若存在實數(shù)

，等于已知P是的定比分點，?為定比，即??

1??

MB

,即?AMB是直角,給出??

（7） 給出??0,等于已知MAm?0,等于已知?AMB

是鈍角, 給出

MA?MB?m?0,等于已知?AMB

是銳角,

（8）給出???MP,等于已知MP

（9）在平行四邊形

是?AMB的平分線/

ABCD中，給出(AB?AD)?(AB?AD)?0，等于已知ABCD是菱形;

（10） 在平行四邊形ABCD中，給出|AB?AD|?|AB?AD|，等于已知ABCD是矩形;

（11）在?ABC中，給出OA三邊垂直平分線的交點）；

2

OB?OC

22

，等于已知O是?ABC的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形

（12） 在?ABC中，給出OA?OB?OC； ?0，等于已知O是?ABC的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點）

（13）在?ABC中，給出OA?OB?OB?OC點）；

OC?OA，等于已知O是?ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交

ABAC??????)(??R?)等于已知AP通過?ABC的內(nèi)心； （14）在?ABC中，給出OP?OA??(???

|AB||AC|

（15）在?ABC中，給出a?OA?b?OB?c?OC?0,等于已知O是?ABC的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點）；

1????????

AB?AC（16） 在?ABC中，給出AD?2

,等于已知AD是?ABC中BC邊的中線;

求解圓錐曲線問題的幾種措施

圓錐曲線中的知識綜合性較強，因而解題時就需要運用多種基礎(chǔ)知識、采用多種數(shù)學(xué)手段來處理問題。熟記各種定義、基本公式、法則固然重要，但要做到迅速、準(zhǔn)確解題，還須掌握一些方法和技巧。 一. 緊扣定義，靈活解題

靈活運用定義，方法往往直接又明了。

y2

1，P為雙曲線上一點。 例1. 已知點A（3，2），F(xiàn)（2，0），雙曲線x?3

1

求|PA|?|PF|的最小值。

2

2

解析：如圖所示，

雙曲線離心率為2，F(xiàn)為右焦點，由第二定律知

1

|PF|即點P到準(zhǔn)線距離。 2

|PA|?    ?

15

|PF|?|PA|?|PE|?AM? 22

二. 引入?yún)?shù)，簡捷明快

參數(shù)的引入，尤如化學(xué)中的催化劑，能簡化和加快問題的解決。 例2. 求共焦點F、共準(zhǔn)線l的橢圓短軸端點的軌跡方程。

解：取如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)點F到準(zhǔn)線l的距離為p（定值），橢圓中心坐標(biāo)為M（t，0）（t為參數(shù)）

b

，而c?t c2

b?pc?pt

2

p?

再設(shè)橢圓短軸端點坐標(biāo)為P（x，y），則

x?c?t

y?b?pt

2

消去t，得軌跡方程y?px

三. 數(shù)形結(jié)合，直觀顯示

將“數(shù)”與“形”兩者結(jié)合起來，充分發(fā)揮“數(shù)”的嚴密性和“形”的直觀性，以數(shù)促形，用形助數(shù)，結(jié)合使用，能使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題形象化。熟練的使用它，常能巧妙地解決許多貌似困難和麻煩的問題。 例3. 已知x,y

R，且滿足方程x2?y2?3(y?0)，又m?

y?3

，求m范圍。 x?3

解析：?m?

y?322

的幾何意義為，曲線x?y?3(y?0)上的點與點（－3，－3）連線的斜率，如圖所示 x?3

kPA?m?kPB

3?33??m? 22

四. 應(yīng)用平幾，一目了然

用代數(shù)研究幾何問題是解析幾何的本質(zhì)特征，因此，很多“解幾”題中的一些圖形性質(zhì)就和“平幾”知識相關(guān)聯(lián)，要抓住關(guān)鍵，適時引用，問題就會迎刃而解。

OQ|的值為________。 ?y2?4和直線y?mx的交點為P、Q，則|OP||

解：??OMP~?OQN

OQ|?|OM||?ON|?5     |OP||

例4. 已知圓(x?3)

五. 應(yīng)用平面向量，簡化解題

向量的坐標(biāo)形式與解析幾何有機融為一體，因此，平面向量成為解決解析幾何知識的有力工具。

2

xyx2y2

1，直線l：??1，P例5. 已知橢圓：

1282416

|OQ||?OP|?|OR|2，當(dāng)點P在l上移動時，求點Q的軌跡方程。

是l上一點，射線OP交橢圓于一點R，點Q在OP上且滿足

解：如圖，OQ，OR，OP?

OP?(?x，?

y)

分析：考生見到此題基本上用的都是解析幾何法，給解題帶來了很大的難度，而如果用向量共線的條件便可簡便地解出。

共線，設(shè)OR??OQ???

，OP??OQ，OQ?(x，y)?

，則OR?(?x，?y)

，

2|OQ||?OP|?|OR|     ?

2?2

2

|OQ|??|OQ|

2

點R在橢圓上，P點在直線l上     ?

2x2

24

2y2

16

1，

x

12

y

8

1

x2y2xy???     即

2416128

化簡整理得點Q的軌跡方程為：

2(x?1)2(y?1)2

1（直線y??x上方部分） 323

六. 應(yīng)用曲線系，事半功倍

利用曲線系解題，往往簡捷明快，收到事半功倍之效。所以靈活運用曲線系是解析幾何中重要的解題方法和技巧之一。 例6. 求經(jīng)過兩圓x

2

y2?6x?4?0和x2?y2?6y?28?0的交點，且圓心在直線x?y?4?0上的圓的方程。

解：設(shè)所求圓的方程為：

x2?y2?6x?4??(x2?y2?6y?28)?0

22

(1??)x?(1??)y?6x?6?y?(28??4)?0

3?3?

，)，在直線x?y?4?0上     則圓心為(

1??1??

解得???7

22

故所求的方程為x?y?x?7y?32?0

七. 巧用點差，簡捷易行

在圓錐曲線中求線段中點軌跡方程，往往采用點差法，此法比其它方法更簡捷一些。

y2

1相交于兩點P1、P2，求線段P1P2中點的軌跡方程。 例7. 過點A（2，1）的直線與雙曲線x?2

解：設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則

2

2y12x??1??12?2

x2?y2?12?2?

(x2?x1)(x1?x2)?

1?

2?

<2>－<1>得

(y2?y1)(y1?y2)

2

y2?y12(x1?x2)    即 ?

x2?x1y1?y2

設(shè)P1P2的中點為M(x0，y0)，則

y2?y12x0

kPP? ?12

x2?x1y0y0?1

又kAM?，而P1、A、M、P2共線

x0?2

y0?12x0

kPP?kAM，即 ?12

x0?2y0

P1P2中點M的軌跡方程是2x

2

y2?4x?y?0

解析幾何題怎么解

高考解析幾何試題一般共有4題(2個選擇題, 1個填空題, 1個解答題), 共計30分左右, 考查的知識點約為20個左右. 其命題一般緊

扣課本, 突出重點, 全面考查. 選擇題和填空題考查直線, 圓, 圓錐曲線, 參數(shù)方程和極坐標(biāo)系中的基礎(chǔ)知識. 解答題重點考查圓錐曲線中的重要知識點, 通過知識的重組與鏈接, 使知識形成網(wǎng)絡(luò), 著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系, 求解有時還要用到平幾的基本知識,這點值得考生在復(fù)課時強化.

例1  已知點T是半圓O的直徑AB上一點，AB=2、OT=t  (0<t<1)，以AB為直腰作直角梯形AA?B?B，使

AA?垂直且等于

BB?垂直且等于BT，A?B?交半圓于P、Q兩點，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

(1)寫出直線A?B?的方程；   （2）計算出點P、Q的坐標(biāo)；

AT，使

（3）證明：由點P發(fā)出的光線，經(jīng)AB反射后，反射光線通過點Q.    講解:  通過讀圖,  看出A,B點的坐標(biāo). (1 ) 顯然A

'

‘

于是 直線A?B? ?1,1?t?, B??1，1?t?，

'

'

的方程為y??tx?1；

x2?y2?1,2t1?t2

,)；  （2）由方程組?解出P(0,1)、Q(22

1?t1?t?y??tx?1,

1?01

,   kQT

0?tt

1?t2

021?t21. ???22tt(1?t)?t

1?t2

（3）kPT?

由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數(shù)知，由點P發(fā)出的光線經(jīng)點T反射，反射光線通過點Q.

需要注意的是, Q點的坐標(biāo)本質(zhì)上是三角中的萬能公式, 有趣嗎?

x2y2

例2  已知直線l與橢圓2?2?1(a?b?0)有且僅有一個交點Q，且與x軸、y軸分別交于R、S，求以線段SR為對角線的矩

ab

2r11?r22?4c2(r1?r2)2?2r1r2?4c24a2?4c24a2?4c2

cos?F1PF2????1??1?1?2e?0，

r?r2r1r22r1r22r1r2

2(12)2

2

解出   e?

2 .2

（2）考慮直線l的斜率的存在性，可分兩種情況：    i) 當(dāng)k存在時，設(shè)l的方程為

y?k(x?c)??????①

x2y22   得   a2?2c2,b2?c2.   橢圓方程為 由??1,A(x,y),B(x,y)e?.1122a2b22

于是橢圓方程可轉(zhuǎn)化為  將①代入②，消去

x2?2y2?2c2?0??????②

y得     x2?2k2(x?c)2?2c2?0,

整理為x的一元二次方程，得       (1?2k2)x2?4ck2x?2c2(k2?1)?0.

22c?k2，22c(1?k2)， 2

|AB|??k|x2?x1|?

1?2k21?22

也可這樣求解：

AB邊上的高h?|FF|sin?BFF?2c?|k|,

1212

1?k2

S?|F1F2|?|y1?y2|

2

11?k2|k|S?22c()2c 2

21?2k?k2  ?c?|k|?|x1?x2|

則x1、x2是上述方程的兩根．且|x2?x1|?   ?2

.2

ii) 當(dāng)k不存在時，把直線x??c代入橢圓方程得y??

c,|AB|?,S?2   2由①②知S的最大值為

2c2  由題意得2c2=12  所以c2?62?b2    a2?2

x212?y262

1.

故當(dāng)△ABF2面積最大時橢圓的方程為：

下面給出本題的另一解法,請讀者比較二者的優(yōu)劣： 設(shè)過左焦點的直線方程為：x

my?c????①

（這樣設(shè)直線方程的好處是什么？還請讀者進一步反思反思.）

22

橢圓的方程為：x?y?1,A(x1,y1),B(x2,y2)

22

ab

由e?

2得：2

a?2c2,b2?c2,于是橢圓方程可化為：x2?2y2?2c2?0??② .

2

把①代入②并整理得：(m2?2)y2?2mcy?c2?0 于是y1,y2是上述方程的兩根.

|AB|??y2?y1|?

AB邊上的高h?

m

2

4m2c2?4c2(m2?2)

m2?222c(1?m2), ?

m2?2

2c?m

2

,

13

2

1?m22從而S?1|AB|h?1?22c(1?m)?2c?22c2

22m2?2(m?2)2?2c?m2

1

m2?1?

1

2m?1

2

2c2.

當(dāng)且僅當(dāng)m=0取等號，即Smax

2c2.

由題意知2c2?12,  于是  b2?c2?62,a2?2. 故當(dāng)△ABF2面積最大時橢圓的方程為：

x22

y262

1.

x2y2

例5  已知直線y??x?1與橢圓2?2?1(a?b?0)相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線l:x?2y?0上（１）.

ab

求此橢圓的離心率；

（2 ）若橢圓的右焦點關(guān)于直線l的對稱點的在圓x

2

y2?4上，求此橢圓的方程.

y??x?1，

講解:（1）設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2).則由?x2 得 y2

2?2?1

b?a(a2?b2)x2?2a2x?a2?a2b2?0,

根據(jù)韋達定理，得

2a22b2

x1?x2?2,y1?y2??(x1?x2)?2?2,

a?b2a?b2

）.

a2b2

∴線段AB的中點坐標(biāo)為（2,2

2

a?ba?b2

2a22b2222222

由已知得2，故橢圓的離心率為e???0,?a?2b?2(a?c)?a?2c

2a?b2a2?b2

（2）由（1）知

.

b?c,

從而橢圓的右焦點坐標(biāo)為

F(b,0),

設(shè)

F(b,0)

關(guān)于直線

l:x?2y?0

的對稱點為

(x0,y0),則

y0?01x?by34

1且0?2?0?0,解得   x0?b且y0?b

55x0?b222

2

由已知得

3242x2y22

x?y?4,?(b)?(b)?4,?b?4，故所求的橢圓方程為??1 .

5584

2

例6   已知⊙M：x

2

(y?2)2?1,Q是x軸上的動點，QA，QB分別切⊙M于

A，B

兩點，

（1）如果|

AB|?

423

，求直線MQ的方程；（2）求動弦AB的中點P的軌跡方程.

14

講解:（1）由|

AB|?

423

，可得

|MP|?MA|2?(

中，

|AB|22221

)?2?()?,由射影定理，得  |MB|2?|MP|?|MQ|,得|MQ|?3, 在233

Rt△MOQ

|OQ|?MQ|2?|MO|2?32?22?，故a?5或a??，

所以直線AB方程是2x?

y?25?0或2x?y?25?0;

2y?2

,(*) ?ax

（2）連接MB，MQ，設(shè)P(x,y),Q(a,0),由點M，P，Q在一直線上，得

2

由射影定理得|MB|

|MP|?|MQ|,即x2?(y?2)2?a2?4?1,(**)

71

y?2，可得x2?(y?)2?(y?2).

416

把（*）及（**）消去a，并注意到

適時應(yīng)用平面幾何知識，這是快速解答本題的要害所在，還請讀者反思其中的奧妙.

例7   如圖，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=上運動，且保持| PA |+| PB |的值不變. （1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程；

2

2

。DO⊥AB于O點，OA=OB，DO=2，曲線E過C點，動點P在E

（2）過D點的直線L與曲線E相交于不同的兩點M、N且M在D、N之間，設(shè)

DM

，試確定實數(shù)?的取值范圍． DN

講解: （1）建立平面直角坐標(biāo)系, 如圖所示∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB |

y=

22

22?()2?22∴動點22

x2

y2?1 . 2

P

的軌跡是橢圓∵a?b?1,c?1∴曲

線E的

方程是

（2）設(shè)直線L的方程為

y?kx?2, 代入曲線

E的方程

x2?2y2?2，得

(2k2?1)x2?8kx?6?0設(shè)M1（x1,y1),

(8k)2?4(2k?1)?6?0,?

8k?

,     ?x1?x2??2

2k?1?

6?

xx?.12?2k2?1?

i)  L與y軸重合時，?15

N(x2,y2),  則

①

②  ③

|DM|1

|DN|3

ii)  L與y軸不重合時，  由①得

x3DMxD?xM

k2?.  又∵????1

2DNxD?xNx2

,

∵x2?x1?0,  或  x2?x1?0,∴0＜?＜1 ,

(x?x2)2(x1?x2)2x1x264k2321

∴ ?????2????2∵2

1x1?x26(2k?1)x1?x2x2x1?3(2?2)k

而k

2

31

,  ∴6?3(2?2)?8.∴ 4?2k

323(2?

1

)k2

16116, ∴ 4????2?,

33

0???1,?

110?1

2????,????2,

3??

110????,??3?

1?1?

1.∴?的取值范圍是?,1? .     3?3?

值得讀者注意的是，直線L與y軸重合的情況易于遺漏，應(yīng)當(dāng)引起警惕.      例8  直線l過拋物線   （1）求證：4x1x2

y2?2px(p?0)的焦點，且與拋物線相交于A(x1,y1)和B(x2,y2)兩點.

p2;（2）求證：對于拋物線的任意給定的一條弦CD，直線l不是CD的垂直平分線.

2

講解: （1）易求得拋物線的焦點F(P,0).  若l⊥x軸，則l的方程為x?P,顯然xx?P.若l不垂直于x軸，可設(shè)y?k(x?P),代入

12

2242

22

拋物線方程整理得x2?P(1?2P)x?P?0,則xx?P. 綜上可知

122

k44

4x1x2?p2.

2

2p

4p

2222

（2）設(shè)C(c,c),D(d,d)且c?d，則CD的垂直平分線l?的方程為y?c?d??c?d(x?c?d)

2p2p

假設(shè)l?過F，則0?c?d??c?d(p?c?d)整理得   (c?d)(2p2?c2?d2)?0 ?p?0

22

22p24p

2

2p2?c2?d2?0，?c?d?0. 這時l?的方程為y=0，從而l?與拋物線y?2px只相交于原點. 而l與拋物線有兩個不同的交

點，因此l?與l不重合，l不是CD的垂直平分線.  本！

例9 某工程要將直線公路l一側(cè)的土石，通過公路上的兩個道口A和B，沿著道路AP、BP運往公路另一側(cè)的P處，PA=100m，講解: 以直線l為x軸，線段AB的中點為原點對立直角坐標(biāo)系，則在l一側(cè)必存在經(jīng)A到P和經(jīng)B到P路程相等的點，設(shè)這樣的點PB=150m，∠APB=60°，試說明怎樣運土石最省工？ 為M，則|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,即|MA|－|MB|=|BP|－|AP|=50,

22xy?|AB|?,∴M在雙曲線2?2?1的右支上. 2525?6

此題是課本題的深化，你能夠找到它的原形嗎？知識在記憶中積累，能力在聯(lián)想中提升. 課本是高考試題的生長點，復(fù)課切忌忘掉課

故曲線右側(cè)的土石層經(jīng)道口B沿BP運往P處，曲線左側(cè)的土石層經(jīng)道口A沿AP運往P處，按這種方法運土石最省工.

轉(zhuǎn)載請保留出處，http://www./doc/6c35cb22bcd126fff7050bbf.html