三、經(jīng)典例題導(dǎo)講　

[例1]求過點(diǎn)的直線，使它與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn).

錯(cuò)解： 設(shè)所求的過點(diǎn)的直線為，則它與拋物線的交點(diǎn)為

，消去得整理得 

直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)，解得所求直線為

正解：  ①當(dāng)所求直線斜率不存在時(shí)，即直線垂直軸，因?yàn)檫^點(diǎn)，所以即軸，它正好與拋物線相切.②當(dāng)所求直線斜率為零時(shí)，直線為y = 1平行軸，它正好與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn).③一般地，設(shè)所求的過點(diǎn)的直線為,則，

令解得k = ,∴   所求直線為

綜上，滿足條件的直線為：

[例2]已知曲線C：與直線L：僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求m的范圍.

錯(cuò)解：曲線C：可化為①，聯(lián)立，得：

，由Δ＝0,得.

錯(cuò)因：方程①與原方程并不等價(jià)，應(yīng)加上.

正解：原方程的對應(yīng)曲線應(yīng)為橢圓的上半部分.（如圖），結(jié)合圖形易求得m的范圍為.

注意：在將方程變形時(shí)應(yīng)時(shí)時(shí)注意范圍的變化，這樣才不會出錯(cuò).

[例3]已知雙曲線，過P(1,1)能否作一條直線L與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，且P為AB中點(diǎn).

錯(cuò)解：（1）過點(diǎn)P且與x軸垂直的直線顯然不符合要求.

（2）設(shè)過P的直線方程為，代入并整理得：

∴，又∵ ∴

解之得：k=2，故直線方程為：y=2x-1,即直線是存在的.

正解：接以上過程，考慮隱含條件“Δ>0”，當(dāng)k=2時(shí)代入方程可知Δ<0，故這樣的直線不存在.

[例4]已知A、B是圓與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，CD是垂直于AB的動弦，直線AC和DB相交于點(diǎn)P，問是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E、F, 使 | | PE |－| PF | | 為定值？若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

解：由已知得 A (－1, 0 )、B ( 1, 0 ),

   設(shè) P ( x, y ),  C ( ) ,  則 D (),

   由A、C、P三點(diǎn)共線得     ①

   由D、B、P三點(diǎn)共線得      ②

①×② 得              ③

又 ,   ∴，  代入③得 ，

即點(diǎn)P在雙曲線上， 故由雙曲線定義知，存在兩個(gè)定點(diǎn)E (－, 0 )、

F (, 0 )（即此雙曲線的焦點(diǎn)），使 | | PE |－| PF | | = 2  (即此雙曲線的實(shí)軸長為定值).

[例5]已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1 與該橢圓相交于P和Q，且OP⊥OQ，｜PQ｜=，求橢圓的方程.

解：設(shè)所求橢圓的方程為=1.

　　依題意知，點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)滿足方程組：

　　  

　　將②代入①，整理得

　　    ，                   ③

設(shè)方程③的兩個(gè)根分別為、，則直線y=x+1和橢圓的交點(diǎn)為

P(,+1)，Q(,+1)

　　由題設(shè)OP⊥OQ，｜OP｜=，可得

　　 

　　整理得

　　 

　　解這個(gè)方程組，得

  或  

　　根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，由③式得

　　  (1)  或  (2)

　　解方程組(1)、(2)得

　    　  或

　　故所求橢圓方程為

　=1 ，  或 =1.

[例6]已知橢圓C₁：＝1，拋物線C₂：，且C₁、C₂的公共弦AB過橢圓C₁的右焦點(diǎn)。（1）當(dāng)AB⊥軸時(shí)，求、的值，并判斷拋物線C₂的焦點(diǎn)是否在直線AB上；（2）若＝，且拋物線C₂的焦點(diǎn)在直線AB上，求的值及直線AB的方程.

解：（1）當(dāng)AB⊥軸時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于軸對稱，所以＝0，直線AB的方程為＝1，

　從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，）或（1，－），

　因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上，所以，＝.

　此時(shí)，拋物線C₂的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），該焦點(diǎn)不在直線AB上.

 (2)當(dāng)拋物線C₂的焦點(diǎn)在直線AB上時(shí)，由（1）知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為　.

　由消去得　　　?、?/p>

設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為?。?span lang="EN-US" style="position:relative;top:5.0pt">）、（）.

則，是方程①的兩根，＋＝.

因?yàn)?span lang="EN-US">AB既是過C₁的右焦點(diǎn)的弦，又是C₂的焦點(diǎn)的弦，

所以｜AB｜＝（2－）＋（2－）＝4－，且

｜AB｜＝（）＋（）＝＝.

從而＝4－

所以，即

解得.

因?yàn)?span lang="EN-US">C₂的焦點(diǎn)F^、（）在直線上，所以，

即

當(dāng)時(shí)直線AB的方程為；

當(dāng)時(shí)直線AB的方程為.

四、典型習(xí)題導(dǎo)練　

1．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線被直線l：y=2x+1截得的弦長為，則拋物線方程為          

2.直線m：y=kx+1和雙曲線x²－y²=1的左支交于A、B兩點(diǎn)，直線l過點(diǎn)P（－2，0）和線段AB的中點(diǎn)，則直線l在y軸上的截距b的取值范圍為            

3．

試求m的取值范圍.

 

 

 

 

 

 

 

 

4． 設(shè)過原點(diǎn)的直線l與拋物線y²=4(x－1)交于A、B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓恰好過拋物線的焦點(diǎn)F，

    （1）求直線l的方程；

    （2）求|AB|的長.

5． 如圖，過拋物線y²=4x的頂點(diǎn)O作任意兩條互相垂直的弦OM、ON，求(1)MN與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求MN中點(diǎn)的軌跡方程.

9．設(shè)曲線C的方程是y＝x³-x，將C沿x軸、y軸正向分別平行移動t,s單 位長度后得曲線C₁.

　　(1)寫出曲線C₁的方程；

　　(2)證明曲線C與C₁關(guān)于點(diǎn)A()對稱；

(3)如果曲線C與C1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，證明s＝且t≠0.

 

§7.4軌跡問題

一、知識導(dǎo)學(xué)　

1.方程的曲線

在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡 )上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：

(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；

(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).那么這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線.

2.點(diǎn)與曲線的關(guān)系  若曲線C的方程是f(x,y)=0，則點(diǎn)P₀(x₀,y₀)在曲線C上f(x₀,y₀)=0；

點(diǎn)P₀(x₀,y₀)不在曲線C上f(x₀,y₀)≠0兩條曲線的交點(diǎn)  若曲線C₁，C₂的方程分別為f₁(x,y)=0,f₂(x,y)=0,則點(diǎn)P₀(x₀,y₀)是C₁，C₂的交點(diǎn)

方程組有n個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，兩條曲線就有n個(gè)不同的交點(diǎn)；方程組沒有實(shí)數(shù)解，曲線就沒有交點(diǎn).

3.圓錐曲線的統(tǒng)一定義

平面內(nèi)的動點(diǎn)P(x,y)到一個(gè)定點(diǎn)F(c,0)的距離與到不通過這個(gè)定點(diǎn)的一條定直線l的距離之比是一個(gè)常數(shù)e(e＞0),則動點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線.

其中定點(diǎn)F(c,0)稱為焦點(diǎn)，定直線l稱為準(zhǔn)線，正常數(shù)e稱為離心率.

當(dāng)0＜e＜1時(shí)，軌跡為橢圓

當(dāng)e=1時(shí)，軌跡為拋物線

當(dāng)e＞1時(shí)，軌跡為雙曲線

4.坐標(biāo)變換

（1）坐標(biāo)變換  在解析幾何中，把坐標(biāo)系的變換(如改變坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置或坐標(biāo)軸的方向)叫做坐標(biāo)變換.實(shí)施坐標(biāo)變換時(shí)，點(diǎn)的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點(diǎn)的坐標(biāo)與曲線的方程.坐標(biāo)軸的平移：坐標(biāo)軸的方向和長度單位不改變，只改變原點(diǎn)的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫做坐標(biāo)軸的平移，簡稱移軸.

（2）坐標(biāo)軸的平移公式  設(shè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，它在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是（x,y)，在新坐標(biāo)系x ′O′y′中的坐標(biāo)是(x′,y′).設(shè)新坐標(biāo)系的原點(diǎn)O′在原坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)是(h,k)，則

(1)        或      (2)

公式(1)或(2)叫做平移(或移軸)公式.

二、疑難知識導(dǎo)析　

1.在求曲線軌跡方程的過程中,要注意：

(1)理解題意,弄清題目中的已知和結(jié)論,發(fā)現(xiàn)已知和未知的關(guān)系,進(jìn)行知識的重新組合；

(2)合理進(jìn)行數(shù)學(xué)語言間的轉(zhuǎn)換,數(shù)學(xué)語言包括文字語言、符號語言和圖形語言,通過審題畫出必要的圖形或示意圖,把不宜于直接計(jì)算的關(guān)系化為能直接進(jìn)行數(shù)學(xué)處理的關(guān)系式,把不便于進(jìn)行數(shù)學(xué)處理的語言化為便于數(shù)學(xué)處理的語言；

(3)注意挖掘題目中的隱含條件；

(4)注意反饋和檢驗(yàn).

2.求軌跡方程的基本方法有：

(1)直接法：若動點(diǎn)滿足的幾何條件是一些幾何量的等量關(guān)系,則將這些關(guān)系“翻譯”成x,y的關(guān)系式,由此得到軌跡方程.一般步驟是：建立坐標(biāo)系—設(shè)點(diǎn)—列式—代換—化簡、整理.

(2)定義法：即當(dāng)動點(diǎn)的軌跡滿足的條件符合某種特殊曲線的定義時(shí),則可根據(jù)這種曲線的定義建立方程.

(3)待定系數(shù)法：已知動點(diǎn)的軌跡是某種圓錐曲線,則可先設(shè)出含有待定系數(shù)的方程,再根據(jù)動點(diǎn)滿足的條件確定待定系數(shù).

(4)相關(guān)點(diǎn)法：當(dāng)動點(diǎn)P(x,y)隨著另一動點(diǎn)Q(x₁,y₁)的運(yùn)動而運(yùn)動時(shí),而動點(diǎn)Q在某已知曲線上,且Q點(diǎn)的坐標(biāo)可用P點(diǎn)的坐標(biāo)來表示,則可代入動點(diǎn)Q的方程中,求得動點(diǎn)P的軌跡方程.

(5)參數(shù)法：當(dāng)動點(diǎn)P的坐標(biāo)x、y之間的直接關(guān)系不易建立時(shí),可適當(dāng)?shù)剡x取中間變量t,并用t表示動點(diǎn)的坐標(biāo)x、y,從而得到動點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程 ,消去t,便可得動點(diǎn)P的普通方程.

另外,還有交軌法、幾何法等.

3.在求軌跡問題時(shí)常用的數(shù)學(xué)思想是：

(1)函數(shù)與方程的思想：求平面曲線的軌跡方程,是將幾何條件(性質(zhì))表示為動點(diǎn)坐標(biāo)x、y的方程及函數(shù)關(guān)系；

(2)數(shù)形結(jié)合的思想：由曲線的幾何性質(zhì)求曲線方程是“數(shù)”與“形”的有機(jī)結(jié)合；

(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想：通過坐標(biāo)系使“數(shù)”與“形”相互結(jié)合,在解決問題時(shí)又需要相互轉(zhuǎn)化.

 

 

 

三、經(jīng)典例題導(dǎo)講　

[例1]如圖所示，已知P(4，0)是圓x²+y²=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動點(diǎn)，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程.

解：設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為(x,y)，則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.

又因?yàn)?span lang="EN-US">R是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理：在Rt△OAR中，|AR|²=|AO|²－|OR|²=36－(x²+y²)

又|AR|=|PR|=

所以有(x－4)²+y²=36－(x²+y²),即x²+y²－4x－10=0

因此點(diǎn)R在一個(gè)圓上，而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動時(shí)，Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動.

設(shè)Q(x,y)，R(x₁,y₁)，因?yàn)?i>R是PQ的中點(diǎn)，所以x₁=,

代入方程x²+y²－4x－10=0,得

－10=0

整理得 x²+y²=56,這就是所求的軌跡方程.

技巧與方法：對某些較復(fù)雜的探求軌跡方程的問題，可先確定一個(gè)較易于求得的點(diǎn)的軌跡方程，再以此點(diǎn)作為主動點(diǎn)，所求的軌跡上的點(diǎn)為相關(guān)點(diǎn)，求得軌跡方程.

[例2]某檢驗(yàn)員通常用一個(gè)直徑為2 cm和一個(gè)直徑為1 cm的標(biāo)準(zhǔn)圓柱，檢測一個(gè)直徑為3 cm的圓柱，為保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個(gè)合適的同號標(biāo)準(zhǔn)圓柱，問這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓柱的直徑為多少？

解：設(shè)直徑為3,2,1的三圓圓心分別為O、A、B，問題轉(zhuǎn)化為求兩等圓P、Q,使它們與⊙O相內(nèi)切，與⊙A、⊙B相外切.

建立如圖所示的坐標(biāo)系，并設(shè)⊙P的半徑為r,則

|PA|+|PO|=1+r+1.5－r=2.5

∴點(diǎn)P在以A、O為焦點(diǎn)，長軸長2.5的橢圓上，其方程為

=1                  ①

同理P也在以O、B為焦點(diǎn)，長軸長為2的橢圓上，其方程為

(x－)²+y²=1                      ②

由①、②可解得，∴r=

故所求圓柱的直徑為 cm.

[例3] 直線L：與圓O：相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)k變動時(shí)，弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.

錯(cuò)解：易知直線恒過定點(diǎn)P（5,0），再由，得：

∴，整理得：

分析：求動點(diǎn)軌跡時(shí)應(yīng)注意它的完備性與純粹性。本題中注意到點(diǎn)M應(yīng)在圓內(nèi)，故易求得軌跡為圓內(nèi)的部分，此時(shí).

[例4] 已知A、B為兩定點(diǎn)，動點(diǎn)M到A與到B的距離比為常數(shù)λ,求點(diǎn)M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線.

解：建立坐標(biāo)系如圖所示，

設(shè)|AB|=2a,則A(－a,0）,B(a,0).

設(shè)M(x,y）是軌跡上任意一點(diǎn).

則由題設(shè)，得=λ,坐標(biāo)代入，得=λ,化簡得

(1－λ²)x²+(1－λ²)y²+2a(1+λ²)x+(1－λ²)a²=0

(1)當(dāng)λ=1時(shí)，即|MA|=|MB|時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x=0，點(diǎn)M的軌跡是直線(y軸).

(2)當(dāng)λ≠1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x²+y²+x+a²=0.點(diǎn)M的軌跡是以

(－，0)為圓心，為半徑的圓.

[例5]若拋物線y=ax²-1上，總存在不同的兩點(diǎn)A、B關(guān)于直線y+x=0對稱，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：若存在A、B關(guān)于直線y+x=0對稱，A、B必在與直線y+x=0垂直的直線系中某一條與拋物線y=ax²-1相交的直線上，并且A、B的中點(diǎn)M恒在直線y+x=0上.

解：如圖所示，設(shè)與直線y+x=0垂直的直線系方程為

y=x+b

由 得

ax²-x-(b+1)=0　　 ①

令  △＞0

即 (-1)-4a[-(b+1)]＞0

整理得  

 4ab+4a+1＞0   ?、?/span>

在②的條件下，由①可以得到直線y=x+b、拋物線y=ax²-1的交點(diǎn)A、B的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為

（,+b）,要使A、B關(guān)于直線y+x=0對稱，則中點(diǎn)M應(yīng)該在直線y+x=0上，所以有

+（+b）=0   ③

即  b=- 代入②解不等式得   a＞

因此，當(dāng)a＞時(shí)，拋物線y=ax²-1上總存在不同的兩點(diǎn)A、B關(guān)于直線y+x=0對稱.

四、典型習(xí)題導(dǎo)練　

1.已知橢圓的焦點(diǎn)是F₁、F₂，P是橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，如果延長F₁P到Q，使得|PQ|=|PF₂|，那么動點(diǎn)Q的軌跡是(    )

A.圓                                    B.橢圓

C.雙曲線的一支                          D.拋物線

2.高為5 m和3 m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m，如果把兩旗桿底部的坐標(biāo)分別確定為A(－5，0)、B(5，0)，則地面觀測兩旗桿頂端仰角相等的點(diǎn)的軌跡方程是_________.

3．設(shè)直線2x-y-=0與y軸的交點(diǎn)為P，點(diǎn)P把圓(x+1)²+y² ＝25的直徑分為兩段，則其長度之比是                

4.已知A、B、C是直線上的三點(diǎn)，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直線于點(diǎn)A，又過B、C作⊙O′異于的兩切線，設(shè)這兩切線交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程.

 

 

5.雙曲線=1的實(shí)軸為A₁A₂，點(diǎn)P是雙曲線上的一個(gè)動點(diǎn)，引A₁Q⊥A₁P，A₂Q⊥A₂P，A₁Q與A₂Q的交點(diǎn)為Q，求Q點(diǎn)的軌跡方程.

6.已知橢圓=1(a＞b＞0),點(diǎn)P為其上一點(diǎn)，F₁、F₂為橢圓的焦點(diǎn)，∠F₁PF₂的外角平分線為，點(diǎn)F₂關(guān)于的對稱點(diǎn)為Q，F₂Q交于點(diǎn)R.

(1)當(dāng)P點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動時(shí)，求R形成的軌跡方程；

(2)設(shè)點(diǎn)R形成的曲線為C，直線l：y=k(x+a)與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取得最大值時(shí)，求k的值.

§7．5綜合問題選講

一、知識導(dǎo)學(xué)　

 (一)直線和圓的方程

1．理解直線的斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式，掌握直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程.

2．掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點(diǎn)到直線的距離公式，能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系.

3．了解二元一次不等式表示平面區(qū)域.  

4．了解線性規(guī)劃的意義，并會簡單的應(yīng)用.

5．了解解析幾何的基本思想，了解坐標(biāo)法.

6．掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程.

(二)圓錐曲線方程

1． 掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì).

2． 掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì).

3． 掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì).

4．了解圓錐曲線的初步應(yīng)用.

（三）目標(biāo)

1.能正確導(dǎo)出由一點(diǎn)和斜率確定的直線的點(diǎn)斜式方程；從直線的點(diǎn)斜式方程出發(fā)推導(dǎo)出直線方程的其他形式，斜截式、兩點(diǎn)式、截距式；能根據(jù)已知條件，熟練地選擇恰當(dāng)?shù)姆匠绦问綄懗鲋本€的方程，熟練地進(jìn)行直線方程的不同形式之間的轉(zhuǎn)化，能利用直線的方程來研究與直線有關(guān)的問題了.

2.能正確畫出二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域，知道線性規(guī)劃的意義，知道線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念，能正確地利用圖解法解決線性規(guī)劃問題，并用之解決簡單的實(shí)際問題，了解線性規(guī)劃方法在數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用；會用線性規(guī)劃方法解決一些實(shí)際問題.

3.理解“曲線的方程”、“方程的曲線”的意義，了解解析幾何的基本思想，掌握求曲線的方程的方法.

4．掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（r＞0），明確方程中各字母的幾何意義，能根據(jù)圓心坐標(biāo)、半徑熟練地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中熟練地求出圓心坐標(biāo)和半徑，掌握圓的一般方程：，知道該方程表示圓的充要條件并正確地進(jìn)行一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化，能根據(jù)條件，用待定系數(shù)法求出圓的方程，理解圓的參數(shù)方程（θ為參數(shù)），明確各字母的意義，掌握直線與圓的位置關(guān)系的判定方法.

5．正確理解橢圓、雙曲線和拋物線的定義，明確焦點(diǎn)、焦距的概念；能根據(jù)橢圓、雙曲線和拋物線的定義推導(dǎo)它們的標(biāo)準(zhǔn)方程；記住橢圓、雙曲線和拋物線的各種標(biāo)準(zhǔn)方程；能根據(jù)條件，求出橢圓、雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；掌握橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率、準(zhǔn)線（雙曲線的漸近線）等，從而能迅速、正確地畫出橢圓、雙曲線和拋物線；掌握、b、、、之間的關(guān)系及相應(yīng)的幾何意義；利用橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)，確定橢圓、雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并解決簡單問題；理解橢圓、雙曲線和拋物線的參數(shù)方程，并掌握它的應(yīng)用；掌握直線與橢圓、雙曲線和拋物線位置關(guān)系的判定方法.

二、疑難知識導(dǎo)析　

    1． ⑴ 直線的斜率是一個(gè)非常重要的概念，斜率反映了直線相對于軸的傾斜程度.當(dāng)斜率存在時(shí)，直線方程通常用點(diǎn)斜式或斜截式表示，當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線方程為=（∈R）.因此，利用直線的點(diǎn)斜式或斜截式方程解題時(shí)，斜率存在與否，要分別考慮.

⑵ 直線的截距式是兩點(diǎn)式的特例，、b分別是直線在軸、軸上的截距，因?yàn)?span lang="EN-US" style="position:relative;top:3.0pt">≠0，b≠0，所以當(dāng)直線平行于軸、平行于軸或直線經(jīng)過原點(diǎn)，不能用截距式求出它的方程，而應(yīng)選擇其它形式求解.

⑶求解直線方程的最后結(jié)果，如無特別強(qiáng)調(diào)，都應(yīng)寫成一般式.

⑷當(dāng)直線或的斜率不存在時(shí)，可以通過畫圖容易判定兩條直線是否平行與垂直

⑸在處理有關(guān)圓的問題，除了合理選擇圓的方程，還要注意圓的對稱性等幾何性質(zhì)的運(yùn)用，這樣可以簡化計(jì)算.

2. ⑴用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要分清焦點(diǎn)在軸上還是軸上，還是兩種都存在.

    ⑵注意橢圓定義、性質(zhì)的運(yùn)用，熟練地進(jìn)行、b、、間的互求，并能根據(jù)所給的方程畫出橢圓.

⑶求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程  應(yīng)注意兩個(gè)問題：⑴ 正確判斷焦點(diǎn)的位置；⑵ 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解.

⑷雙曲線的漸近線方程為或表示為.若已知雙曲線的漸近線方程是，即，那么雙曲線的方程具有以下形式：

，其中是一個(gè)不為零的常數(shù).

⑸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)和（＞0，b＞0）.這里，其中||=2c.要注意這里的、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.

⑹求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，要線根據(jù)題設(shè)判斷拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，再求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，要線根據(jù)題設(shè)判斷拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，再由條件確定參數(shù)的值.同時(shí)，應(yīng)明確拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程三者相依并存，知道其中拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程三者相依并存，知道其中一個(gè)，就可以求出其他兩個(gè).

三、經(jīng)典例題導(dǎo)講

[例1]已知點(diǎn)T是半圓O的直徑AB上一點(diǎn)，AB=2、OT=(0<<1)，以AB為直腰作直角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圓于P、Q兩點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

(1)寫出直線的方程；

（2）計(jì)算出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；

（3）證明：由點(diǎn)P發(fā)出的光線，經(jīng)AB反射后，反射光線通過點(diǎn)Q.                 

   解: (1 ) 顯然,  于是 直線的方程為；

   （2）由方程組   解出  、；              

   （3）,    .

   由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數(shù)知，由點(diǎn)P發(fā)出的光線經(jīng)點(diǎn)T反射，反射光線通過點(diǎn)Q.

[例2]設(shè)P是圓M：(-5)²+(-5)²=1上的動點(diǎn)，它關(guān)于A(9, 0)的對稱點(diǎn)為Q，把P繞原點(diǎn)依逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)S，求|SQ|的最值.

解：設(shè)P(,)，則Q(18-, -)，記P點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為+，則S點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為： (+)·=-+，即S(-, )

∴

其中可以看作是點(diǎn)P到定點(diǎn)B(9, -9)的距離，共最大值為最小值為，則

|SQ|的最大值為，|SQ|的最小值為.

[例4]已知兩點(diǎn)M（-1，0），N（1，0）且點(diǎn)P使成公差小于零的等差數(shù)列，

（1）點(diǎn)P的軌跡是什么曲線？

（2）若點(diǎn)P坐標(biāo)為，為的夾角，求tanθ.

解：（1）記P（, ），由M（-1，0）N（1，0）得

                   

 所以  

            

于是， 是公差小于零的等差數(shù)列等價(jià)于

     即                        

所以，點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的右半圓.

（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為。.

     因?yàn)?span lang="EN-US"> 0〈，      所以             .

[例4]艦A在艦B的正東6千米處，艦C在艦B的北偏西30°且與B相距4千米，它們準(zhǔn)備捕海洋動物，某時(shí)刻A發(fā)現(xiàn)動物信號，4秒后B、C同時(shí)發(fā)現(xiàn)這種信號，A發(fā)射麻醉炮彈.設(shè)艦與動物均為靜止的，動物信號的傳播速度為1千米/秒，炮彈的速度是千米/秒，其中g為重力加速度，若不計(jì)空氣阻力與艦高，問艦A發(fā)射炮彈的方位角和仰角應(yīng)是多少？

分析：答好本題，除要準(zhǔn)確地把握好點(diǎn)P的位置(既在線段BC的垂直平分線上，又在以A、B為焦點(diǎn)的拋物線上)，還應(yīng)對方位角的概念掌握清楚.

技巧與方法：通過建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成解析幾何問題來求解.對空間物體的定位，一般可利用聲音傳播的時(shí)間差來建立方程.

解：取AB所在直線為軸，以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.由題意可知，A、B、C艦的坐標(biāo)為(3，0)、(－3，0)、(－5，2).

由于B、C同時(shí)發(fā)現(xiàn)動物信號，記動物所在位置為P，則|PB|=|PC|.于是P在線段BC的中垂線上，易求得其方程為－3+7=0.

又由A、B兩艦發(fā)現(xiàn)動物信號的時(shí)間差為4秒，知|PB|－|PA|=4，故知P在雙曲線=1的右支上.

直線與雙曲線的交點(diǎn)為(8，5)，此即為動物P的位置，利用兩點(diǎn)間距離公式，可得|PA|=10.

據(jù)已知兩點(diǎn)的斜率公式，得k_PA=,所以直線PA的傾斜角為60°,于是艦A發(fā)射炮彈的方位角應(yīng)是北偏東30°.

設(shè)發(fā)射炮彈的仰角是θ，初速度v₀=，則,

∴sin2θ=,∴仰角θ=30°.

答：方位角北偏東30⁰，仰角30°.

解決圓錐曲線綜合題，關(guān)鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形與幾何性質(zhì)，注意挖掘知識的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律，通過對知識的重新組合，以達(dá)到鞏固知識、提高能力的目的.

(1)對于求曲線方程中參數(shù)的取值范圍問題，需構(gòu)造參數(shù)滿足的不等式，通過求不等式(組)求得參數(shù)的取值范圍；或建立關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域.

(2)對于圓錐曲線的最值問題，解法常有兩種：當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，可考慮利用數(shù)形結(jié)合法解；當(dāng)題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值.

[例5]已知拋物線C：²=4.

(1)若橢圓左焦點(diǎn)及相應(yīng)的準(zhǔn)線與拋物線C的焦點(diǎn)F及準(zhǔn)線分別重合，試求橢圓短軸端點(diǎn)B與焦點(diǎn)F連線中點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)若M(m,0)是軸上的一定點(diǎn)，Q是(1)所求軌跡上任一點(diǎn)，試問|MQ|有無最小值？若有，求出其值；若沒有，說明理由.

解：由拋物線²=4,得焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線：=－1.

(1)設(shè)P(,)，則B(2－1,2),橢圓中心O′,則|FO′|∶|BF|=,又設(shè)點(diǎn)B到的距離為,則|BF|∶=,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶,即(2－2)²+(2)²=2(2－2),化簡得P點(diǎn)軌跡方程為²=－1(＞1).

(2)設(shè)Q(,y),則

|MQ|=

(ⅰ)當(dāng)m－≤1,即m≤時(shí)，函數(shù)=[－(m－)²]+m－在(1，+∞)上遞增，故無最小值，亦即|MQ|無最小值.

(ⅱ)當(dāng)m－＞1,即m＞時(shí)，函數(shù)=[²－(m－)²]+m－在=m－處有最小值m－,∴|MQ|_min=.

[例6]已知拋物線C的對稱軸與軸平行，頂點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5.若將拋物線C向上平移3個(gè)單位，則在軸上截得的線段長為原拋物線C在軸上截得的線段長的一半；若將拋物線C向左平移1個(gè)單位，則所得拋物線過原點(diǎn)，求拋物線C的方程.

解:設(shè)所求拋物線方程為(-)²=(-)( ∈R, ≠0)  　　  ①

由①的頂點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5，得=5        ?、?/span>

在①中，令=0，得²-2+²+=0。設(shè)方程的二根為₁,₂，則

|₁-₂|=2.

將拋物線①向上平移3個(gè)單位，得拋物線的方程為

(-h)²=(--3)

令=0，得²-2+²++3=0。設(shè)方程的二根為₃,₄，則

|₃-₄|=2.

依題意得2=·2，

即  4(+3)=        ③

將拋物線①向左平移1個(gè)單位，得(-+1)²=(-),

由拋物線過原點(diǎn)，得(1-)²=-   ④

由②③④得=1，=3, =-4或=4，=-3, =-4.

∴所求拋物線方程為(-3)²=+4，或(+3)²=4(+4).

四、典型習(xí)題導(dǎo)練　

1．過拋物線²=4的對稱軸上任一點(diǎn)P（0,m）(m>0)作直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn).

（1）設(shè)點(diǎn)P分有向線段所成的比為，證明:；

（2）設(shè)直線AB的方程是-2+12=0，過A、B兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線，求圓C的方程.

2．制定投資計(jì)劃時(shí)，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損.某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目. 根據(jù)預(yù)測，甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利率分別為100﹪和50﹪，可能的最大虧損分別為30﹪和10﹪. 投資人計(jì)劃投資金額不超過10萬元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元. 問投資人對甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？

3．直線的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B.

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

4.已知傾斜角為的直線過點(diǎn)A（1，－2）和點(diǎn)B，B在第一象限，｜AB｜＝3.

(1) 求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2) 若直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（4,1），求的值；

(3) 對于平面上任一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB上運(yùn)動時(shí)，稱｜PQ｜的最小值為與線段的距離. 已知點(diǎn)在軸上運(yùn)動，寫出點(diǎn)到線段的距離關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.

5．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率為 ，一個(gè)焦點(diǎn)是F（-m,0）(m是大于0的常數(shù)).

(1)求橢圓的方程； 

(2)設(shè)Q是橢圓上的一點(diǎn)，且過點(diǎn)F、Q的直線與軸交于點(diǎn)M. 若｜MQ｜＝2｜QF｜，求直線的斜率