一、基礎(chǔ)知識(shí)

1．橢圓的定義，第一定義：平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)（大于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離）的點(diǎn)的軌跡，即|PF₁|+|PF₂|=2a (2a>|F₁F₂|=2c).

第二定義：平面上到一個(gè)定點(diǎn)的距離與到一條定直線的距離之比為同一個(gè)常數(shù)e(0<e<1)的點(diǎn)的軌跡（其中定點(diǎn)不在定直線上），即

(0<e<1).

第三定義：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)給定兩圓c₁: x²+y²=a², c₂: x²+y²=b², a, b∈R⁺且a≠b。從原點(diǎn)出發(fā)的射線交圓c₁于P，交圓c₂于Q，過(guò)P引y軸的平行線，過(guò)Q引x軸的平行線，兩條線的交點(diǎn)的軌跡即為橢圓。

2．橢圓的方程，如果以橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)所在的直線為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，由定義可求得它的標(biāo)準(zhǔn)方程，若焦點(diǎn)在x軸上，列標(biāo)準(zhǔn)方程為

  (a>b>0)，

參數(shù)方程為（為參數(shù)）。

若焦點(diǎn)在y軸上，列標(biāo)準(zhǔn)方程為

  (a>b>0)。

3．橢圓中的相關(guān)概念，對(duì)于中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓

，

a稱半長(zhǎng)軸長(zhǎng)，b稱半短軸長(zhǎng)，c稱為半焦距，長(zhǎng)軸端點(diǎn)、短軸端點(diǎn)、兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；與左焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線（即第二定義中的定直線）為，與右焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線為；定義中的比e稱為離心率，且，由c²+b²=a²知0<e<1.

橢圓有兩條對(duì)稱軸，分別是長(zhǎng)軸、短軸。

4．橢圓的焦半徑公式：對(duì)于橢圓1(a>b>0), F₁(-c, 0), F₂(c, 0)是它的兩焦點(diǎn)。若P(x, y)是橢圓上的任意一點(diǎn)，則|PF₁|=a+ex, |PF₂|=a-ex.

5．幾個(gè)常用結(jié)論：1）過(guò)橢圓上一點(diǎn)P(x₀, y₀)的切線方程為

；

2）斜率為k的切線方程為；

3）過(guò)焦點(diǎn)F₂(c, 0)傾斜角為θ的弦的長(zhǎng)為

。

6．雙曲線的定義，第一定義：

滿足||PF₁|-|PF₂||=2a(2a<2c=|F₁F₂|, a>0)的點(diǎn)P的軌跡；

第二定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線距離之比為常數(shù)e(>1)的點(diǎn)的軌跡。

7．雙曲線的方程：中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程為

，

參數(shù)方程為（為參數(shù)）。

焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

。

8．雙曲線的相關(guān)概念，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線

(a, b>0),

a稱半實(shí)軸長(zhǎng)，b稱為半虛軸長(zhǎng)，c為半焦距，實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為(-a, 0), (a, 0). 左、右焦點(diǎn)為F₁(-c,0), F₂(c, 0)，對(duì)應(yīng)的左、右準(zhǔn)線方程分別為離心率，由a²+b²=c²知e>1。兩條漸近線方程為，雙曲線與有相同的漸近線，它們的四個(gè)焦點(diǎn)在同一個(gè)圓上。若a=b，則稱為等軸雙曲線。

9．雙曲線的常用結(jié)論，1）焦半徑公式，對(duì)于雙曲線，F₁（-c,0）, F₂(c, 0)是它的兩個(gè)焦點(diǎn)。設(shè)P(x,y)是雙曲線上的任一點(diǎn)，若P在右支上，則|PF₁|=ex+a, |PF₂|=ex-a；若P（x,y）在左支上，則|PF₁|=-ex-a，|PF₂|=-ex+a.

2) 過(guò)焦點(diǎn)的傾斜角為θ的弦長(zhǎng)是。

10．拋物線：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。若取經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F且垂直于準(zhǔn)線l的直線為x軸，x軸與l相交于K，以線段KF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)|KF|=p，則焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px(p>0)，離心率e=1.

11．拋物線常用結(jié)論：若P(x₀, y₀)為拋物線上任一點(diǎn)，

1）焦半徑|PF|=；

2）過(guò)點(diǎn)P的切線方程為y₀y=p(x+x₀)；

3）過(guò)焦點(diǎn)傾斜角為θ的弦長(zhǎng)為。

12．極坐標(biāo)系，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)為極點(diǎn)記為O，從O出發(fā)的射線為極軸記為Ox軸，這樣就建立了極坐標(biāo)系，對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)P，記|OP|=ρ,∠x(chóng)OP=θ，則由（ρ，θ）唯一確定點(diǎn)P的位置，（ρ，θ）稱為極坐標(biāo)。

13．圓錐曲線的統(tǒng)一定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比為常數(shù)e的點(diǎn)P，若0<e<1，則點(diǎn)P的軌跡為橢圓；若e>1，則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一支；若e=1，則點(diǎn)P的軌跡為拋物線。這三種圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程為。

二、方法與例題

1．與定義有關(guān)的問(wèn)題。

例1  已知定點(diǎn)A（2，1），F(xiàn)是橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)3|PA|+5|PF|取最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

[解]  見(jiàn)圖11-1，由題設(shè)a=5, b=4, c==3,.橢圓左準(zhǔn)線的方程為，又因?yàn)?sub>，所以點(diǎn)A在橢圓內(nèi)部，又點(diǎn)F坐標(biāo)為（-3，0），過(guò)P作PQ垂直于左準(zhǔn)線，垂足為Q。由定義知，則|PF|=|PQ|。

所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+|PF|)=3(|PA|+|PQ|)≥3|AM|(AM左準(zhǔn)線于M)。

所以當(dāng)且僅當(dāng)P為AM與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入橢圓方程得，又x<0，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為

例2  已知P，為雙曲線C：右支上兩點(diǎn)，延長(zhǎng)線交右準(zhǔn)線于K，PF₁延長(zhǎng)線交雙曲線于Q，（F₁為右焦點(diǎn)）。求證：∠F₁K=∠KF₁Q.

[證明]  記右準(zhǔn)線為l，作PDl于D，于E，因?yàn)?/span>//PD，則，又由定義，所以，由三角形外角平分線定理知，F₁K為∠PF₁P的外角平分線，所以∠=∠KF₁Q。

2．求軌跡問(wèn)題。

例3  已知一橢圓及焦點(diǎn)F，點(diǎn)A為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，求線段FA中點(diǎn)P的軌跡方程。

[解法一]  利用定義，以橢圓的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程：=1（a>b>0）.F坐標(biāo)為(-c, 0).設(shè)另一焦點(diǎn)為。連結(jié)，OP，則。所以|FP|+|PO|=(|FA|+|A|)=a.

所以點(diǎn)P的軌跡是以F，O為兩焦點(diǎn)的橢圓（因?yàn)閍>|FO|=c），將此橢圓按向量m=(,0)平移，得到中心在原點(diǎn)的橢圓：。由平移公式知，所求橢圓的方程為

[解法二]  相關(guān)點(diǎn)法。設(shè)點(diǎn)P(x,y), A(x₁, y₁)，則，即x₁=2x+c, y₁=2y. 又因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓上，所以代入得關(guān)于點(diǎn)P的方程為。它表示中心為，焦點(diǎn)分別為F和O的橢圓。

例4  長(zhǎng)為a, b的線段AB，CD分別在x軸，y軸上滑動(dòng)，且A，B，C，D四點(diǎn)共圓，求此動(dòng)圓圓心P的軌跡。

[解] 設(shè)P(x, y)為軌跡上任意一點(diǎn)，A，B，C，D的坐標(biāo)分別為A(x-,0), B(x+,0), C(0, y-), D(0, y+), 記O為原點(diǎn)，由圓冪定理知|OA|?|OB|=|OC|?|OD|，用坐標(biāo)表示為，即

當(dāng)a=b時(shí)，軌跡為兩條直線y=x與y=-x；

當(dāng)a>b時(shí)，軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的兩條等軸雙曲線；

當(dāng)a<b時(shí)，軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的兩條等軸雙曲線。

例5  在坐標(biāo)平面內(nèi)，∠AOB=，AB邊在直線l: x=3上移動(dòng)，求三角形AOB的外心的軌跡方程。

[解]  設(shè)∠x(chóng)OB=θ,并且B在A的上方，則點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別為B(3, 3tanθ),A(3,3tan(θ-)),設(shè)外心為P(x,y)，由中點(diǎn)公式知OB中點(diǎn)為M。

由外心性質(zhì)知 再由得

×tanθ=-1。結(jié)合上式有

tanθ=      ①

又    tanθ+=       ②

又    

所以tanθ-=兩邊平方，再將①，②代入得。即為所求。

3．定值問(wèn)題。

例6  過(guò)雙曲線(a>0, b>0)的右焦點(diǎn)F作B₁B₂軸，交雙曲線于B₁，B₂兩點(diǎn)，B₂與左焦點(diǎn)F₁連線交雙曲線于B點(diǎn)，連結(jié)B₁B交x軸于H點(diǎn)。求證：H的橫坐標(biāo)為定值。

[證明]  設(shè)點(diǎn)B，H，F的坐標(biāo)分別為(asecα,btanα), (x₀, 0), (c, 0)，則F₁，B₁，B₂的坐標(biāo)分別為(-c, 0), (c, ), (c, )，因?yàn)?/span>F₁，H分別是直線B₂F，BB1與x軸的交點(diǎn)，所以

  ①

所以  

。

由①得

代入上式得

即   （定值）。

注：本例也可借助梅涅勞斯定理證明，讀者不妨一試。

例7  設(shè)拋物線y²=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在準(zhǔn)線上，且BC//x軸。證明：直線AC經(jīng)過(guò)定點(diǎn)。

[證明]  設(shè)，則，焦點(diǎn)為，所以，，，。由于，所以y₂-y₁=0，即=0。因?yàn)?sub>，所以。所以，即。所以，即直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。

例8  橢圓上有兩點(diǎn)A，B，滿足OAOB，O為原點(diǎn)，求證：為定值。

[證明]  設(shè)|OA|=r₁,|OB|=r₂,且∠x(chóng)OA=θ,∠x(chóng)OB=，則點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(r₁cosθ, r₁sinθ),B(-r₂sinθ,r₂cosθ)。由A，B在橢圓上有

即         ①

    ②

①+②得（定值）。

4．最值問(wèn)題。

例9  設(shè)A，B是橢圓x²+3y²=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且OAOB（O為原點(diǎn)），求|AB|的最大值與最小值。

[解]  由題設(shè)a=1，b=,記|OA|=r₁,|OB|=r₂,，參考例8可得=4。設(shè)m=|AB|²=,

因?yàn)?sub>，且a²>b²，所以，所以b≤r₁≤a，同理b≤r₂≤a.所以。又函數(shù)f(x)=x+在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t=1即|OA|=|OB|時(shí)，|AB|取最小值1；當(dāng)或時(shí)，|AB|取最大值。

例10  設(shè)一橢圓中心為原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率為，若圓C：1上點(diǎn)與這橢圓上點(diǎn)的最大距離為，試求這個(gè)橢圓的方程。

[解]  設(shè)A，B分別為圓C和橢圓上動(dòng)點(diǎn)。由題設(shè)圓心C坐標(biāo)為，半徑|CA|=1，因?yàn)閨AB|≤|BC|+|CA|=|BC|+1，所以當(dāng)且僅當(dāng)A，B，C共線，且|BC|取最大值時(shí)，|AB|取最大值，所以|BC|最大值為

因?yàn)?sub>；所以可設(shè)橢圓半長(zhǎng)軸、半焦距、半短軸長(zhǎng)分別為2t,,t，橢圓方程為，并設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為B(2tcosθ,tsinθ)，則|BC|²=(2tcosθ)²+=3t²sin²θ-3tsinθ++4t²=-3(tsinθ+)²+3+4t².

若，則當(dāng)sinθ=-1時(shí)，|BC|²取最大值t²+3t+，與題設(shè)不符。

若t>,則當(dāng)sinθ=時(shí)，|BC|²取最大值3+4t²，由3+4t²=7得t=1.

所以橢圓方程為。

5．直線與二次曲線。

例11  若拋物線y=ax²-1上存在關(guān)于直線x+y=0成軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，試求a的取值范圍。

[解]  拋物線y=ax²-1的頂點(diǎn)為(0,-1)，對(duì)稱軸為y軸，存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱兩點(diǎn)的條件是存在一對(duì)點(diǎn)P(x₁,y₁)，(-y₁,-x₁)，滿足y₁=a且-x₁=a(-y₁)²-1，相減得x₁+y₁=a(),因?yàn)镻不在直線x+y=0上，所以x₁+y₁≠0,所以1=a(x₁-y₁)，即x₁=y₁+

所以此方程有不等實(shí)根，所以，求得，即為所求。

例12  若直線y=2x+b與橢圓相交，（1）求b的范圍；（2）當(dāng)截得弦長(zhǎng)最大時(shí)，求b的值。

[解] 二方程聯(lián)立得17x²+16bx+4(b²-1)=0.由Δ>0，得<b<；設(shè)兩交點(diǎn)為P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)，由韋達(dá)定理得|PQ|=。所以當(dāng)b=0時(shí)，|PQ|最大。

三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題

1．A為半徑是R的定圓⊙O上一定點(diǎn)，B為⊙O上任一點(diǎn)，點(diǎn)P是A關(guān)于B的對(duì)稱點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡是________.

2．一動(dòng)點(diǎn)到兩相交直線的距離的平方和為定值m²(>0)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是________.

3．橢圓上有一點(diǎn)P，它到左準(zhǔn)線的距離是10，它到右焦點(diǎn)的距離是________.

4．雙曲線方程，則k的取值范圍是________.

5．橢圓，焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，橢圓上的點(diǎn)P滿足∠F₁PF₂=60⁰，則ΔF₁PF₂的面積是________.

6．直線l被雙曲線所截的線段MN恰被點(diǎn)A（3，-1）平分，則l的方程為_(kāi)_______.

7．ΔABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線y²=32x上，點(diǎn)A（2，8），且ΔABC的重心與這條拋物線的焦點(diǎn)重合，則直線BC的斜率為_(kāi)_______.

8．已知雙曲線的兩條漸近線方程為3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一條準(zhǔn)線方程為5y+4=0，則雙曲線方程為_(kāi)_______.

9．已知曲線y²=ax，與其關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱的曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如果過(guò)這兩個(gè)交點(diǎn)的直線的傾斜角為45⁰，那么a=________.

10.P為等軸雙曲線x²-y²=a²上一點(diǎn)，的取值范圍是________.

11．已知橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，設(shè)P是它們的一個(gè)焦點(diǎn)，求∠F₁PF₂和ΔPF₁F₂的面積。

12．已知（i）半圓的直徑AB長(zhǎng)為2r；（ii）半圓外的直線l與BA的延長(zhǎng)線垂直，垂足為T(mén)，設(shè)|AT|=2a(2a<)；（iii）半圓上有相異兩點(diǎn)M，N，它們與直線l的距離|MP|，|NQ|滿足求證：|AM|+|AN|=|AB|。

13．給定雙曲線過(guò)點(diǎn)A（2，1）的直線l與所給的雙曲線交于點(diǎn)P₁和P₂，求線段P₁P₂的中點(diǎn)的軌跡方程。

四、高考水平測(cè)試題

1．雙曲線與橢圓x²+4y²=64共焦點(diǎn)，它的一條漸近線方程是=0，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_________.

2．過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，若A，B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別是A₁，B₁，則∠A₁FB₁=_________.

3．雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F₁，頂點(diǎn)為A₁，A₂，P是雙曲線上任一點(diǎn)，以|PF₁|為直徑的圓與以|A₁A₂|為直徑的圓的位置關(guān)系為_(kāi)________.

4．橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率，一條準(zhǔn)線方程為x=11，橢圓上有一點(diǎn)M橫坐標(biāo)為-1，M到此準(zhǔn)線異側(cè)的焦點(diǎn)F₁的距離為_(kāi)________.

5．4a²+b²=1是直線y=2x+1與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn)的_________條件.

6．若參數(shù)方程（t為參數(shù)）表示的拋物線焦點(diǎn)總在一條定直線上，這條直線的方程是_________.

7．如果直線y=kx+1與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓總有公共點(diǎn)，則m的范圍是_________.

8．過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，且被雙曲線截得線段長(zhǎng)為6的直線有_________條.

9．過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓恰好通過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F，則直線l的傾斜角為_(kāi)________.

10．以橢圓x²+a²y²=a²(a>1)的一個(gè)頂點(diǎn)C（0，1）為直角頂點(diǎn)作此橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC，這樣的三角形最多可作_________個(gè).

11．求橢圓上任一點(diǎn)的兩條焦半徑夾角θ的正弦的最大值。

12．設(shè)F，O分別為橢圓的左焦點(diǎn)和中心，對(duì)于過(guò)點(diǎn)F的橢圓的任意弦AB，點(diǎn)O都在以AB為直徑的圓內(nèi)，求橢圓離心率e的取值范圍。

13．已知雙曲線C₁：(a>0)，拋物線C₂的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，C₂的焦點(diǎn)是C₁的左焦點(diǎn)F₁。

（1）求證：C₁，C₂總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。

（2）問(wèn)：是否存在過(guò)C₂的焦點(diǎn)F₁的弦AB，使ΔAOB的面積有最大值或最小值？若存在，求直線AB的方程與S_ΔAOB的最值，若不存在，說(shuō)明理由。

五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題

1．在平面直角坐標(biāo)系中，若方程m(x²+y²+2y+1)=(x-2y+3)²表示的曲線為橢圓，則m的取值范圍是_________.

2．設(shè)O為拋物線的頂點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，且PQ為過(guò)F的弦，已知|OF|=a，|PQ|=b，ΔOPQ面積為_(kāi)________.

3．給定橢圓，如果存在過(guò)左焦點(diǎn)F的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且OPOQ，則離心率e的取值范圍是_________.

4．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)F₁作∠F₁PF₂平分線的垂線，垂足為M，則M的軌跡為_(kāi)________.

5．ΔABC一邊的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)為B（0，）和C（0，），另兩邊斜率的乘積為，若點(diǎn)T坐標(biāo)為(t,0)(t∈R⁺),則|AT|的最小值為_(kāi)________.

6．長(zhǎng)為l(l<1)的線段AB的兩端點(diǎn)在拋物線y=x²上滑動(dòng)，則線段AB的中點(diǎn)M到x軸的最短距離等于_________.

7．已知拋物線y²=2px及定點(diǎn)A(a,b),B(-a,0),ab≠0,b²≠2pa，M是拋物線上的點(diǎn)，設(shè)直線AM，BM與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M₁，M₂，當(dāng)M變動(dòng)時(shí)，直線M₁M₂恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，此定點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)________.

8．已知點(diǎn)P（1，2）既在橢圓內(nèi)部（含邊界），又在圓x²+y²=外部（含邊界），若a,b∈R⁺,則a+b的最小值為_(kāi)________.

9．已知橢圓的內(nèi)接ΔABC的邊AB，AC分別過(guò)左、右焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為D，E，直線DB與直線CE交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓上變動(dòng)時(shí)，試求點(diǎn)P的軌跡。

10．設(shè)曲線C₁：（a為正常數(shù)）與C₂：y²=2(x+m)在x軸上方有一個(gè)公共點(diǎn)P。（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍（用a表示）；

（2）O為原點(diǎn)，若C₁與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，當(dāng)0<a<時(shí)，試求ΔOAP面積的最大值（用a表示）。

11．已知直線l過(guò)原點(diǎn)，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上，若點(diǎn)A（-1，0）和B（0，8）關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)都在C上，求直線l和拋物線的方程。

六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題

1．在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分∠BAD，在CD上取一點(diǎn)E，BE與AC相交于F，延長(zhǎng)DF交BC于G，求證：∠GAC=∠EAC。

2．求證：在坐標(biāo)平面上不存在一條具有奇數(shù)個(gè)頂點(diǎn)，每段長(zhǎng)都為1的閉折線，它的每個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)都是有理數(shù)。

3．以B₀和B₁為焦點(diǎn)的橢圓與ΔAB₀B₁的邊AB_i交于C_i(i=0,1)，在AB₀的延長(zhǎng)線上任取點(diǎn)P₀，以B₀為圓心，B₀P₀為半徑作圓弧交C₁B₀的延長(zhǎng)線于Q₀；以C₁為圓心，C₁Q₀為半徑作圓弧Q₀P₁交B₁A的延長(zhǎng)線于P₁；B₁為圓心，B₁P₁為半徑作圓弧P₁Q₁交B₁C₀的延長(zhǎng)線于Q₁；以C₀為圓心，C₀Q₁為半徑作圓弧Q₁，交AB₀的延長(zhǎng)線于。求證：（1）點(diǎn)與點(diǎn)P₀重合，且圓弧P₀Q₀與P₀Q₁相內(nèi)切于P₀；（2）P₀，Q₀，P₁，Q₁共圓。

4．在坐標(biāo)平面內(nèi)，從原點(diǎn)出發(fā)以同一初速度v₀和不同發(fā)射角（即發(fā)射方向與x軸正向之間 的夾角）α(α∈[0,π],α≠)射出的質(zhì)點(diǎn)，在重力的作用下運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線，所有這些拋物線組成一個(gè)拋物線族，若兩條拋物線在同一個(gè)交點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱這個(gè)交點(diǎn)為正交點(diǎn)。證明：此拋物線族的所有正交點(diǎn)的集合是一段橢圓弧，并求此橢圓弧的方程（確定變量取值范圍）。

5．直角ΔABC斜邊為AB，內(nèi)切圓切BC，CA，AB分別于D，E，F(xiàn)點(diǎn)，AD交內(nèi)切圓于P點(diǎn)。若CPBP，求證：PD=AE+AP。

6．已知BCCD，點(diǎn)A為BD中點(diǎn)，點(diǎn)Q在BC上，AC=CQ，又在BQ上找一點(diǎn)R，使BR=2RQ，CQ上找一點(diǎn)S，使QS=RQ，求證：∠ASB=2∠DRC。