問題引入：分析：第一問，根據(jù)知條件列出兩個(gè)距離的等量關(guān)系整理可得出軌跡方程； 第二問，可設(shè)M（4,m），分直線AB的k存在與k不存在兩種情況處理： 當(dāng)k不存在時(shí)，求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，易知k1+k2=k3 當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)直線AB：y=k（x-1），聯(lián)立直線與曲線方程。對(duì)于k1+k2，強(qiáng)行用韋達(dá)定理表示出來，結(jié)合k3的表達(dá)式，發(fā)現(xiàn)k1+k2=k3成立， 綜上可知：k1+k2=k3，此題證明結(jié)束。 點(diǎn)評(píng)：此題計(jì)算量偏大，并且斜率之間的關(guān)系不易發(fā)覺。需要扎實(shí)的計(jì)算功底，并且在計(jì)算之前要有大膽的設(shè)想！通過本文的總結(jié)，應(yīng)該對(duì)這類題型做到未卜先知！ 反思：本題中的三個(gè)斜率滿足k1+k2=k3，也就是說k1，k2，k3成等差數(shù)列。這么整齊的結(jié)果，是出題人有意為之？還是橢圓本來具有的性質(zhì)？ 很多同學(xué)已經(jīng)猜到，老師既然這么問，答案一定是后者。 沒有錯(cuò)，這道題目中的直線l=4，其實(shí)是橢圓的右準(zhǔn)線，x=a^2/c，而F點(diǎn)是它的右焦點(diǎn)。我們有這樣的結(jié)論： 過橢圓的右焦點(diǎn)F做直線AB，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則在直線x=a^2/c上任意一點(diǎn)P，對(duì)弦AB端點(diǎn)以及F的連線的斜率成等差數(shù)列。PA，PF，PB三條直線的斜率成等差數(shù)列。 同樣的結(jié)論可以推廣到橢圓的左焦點(diǎn)與左準(zhǔn)線的情況；也可以推廣到拋物線和雙曲線的情況！ 練習(xí)題：這里只說此題的第一問，此題是我們結(jié)論中的情況，過焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的情況。由于直線PA,直線PF,直線PB斜率成等差數(shù)列。同時(shí)，過的定點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，定直線是x=4，所以4=a^2/c，題中的B點(diǎn)坐標(biāo)暴露了a=2的事實(shí)，可以輕松求出c=1，橢圓方程即可求出！當(dāng)然，作為一道大題來講，必要的式子還要列出來的，本文只提供一個(gè)快解。詳細(xì)過程可以“搜題”軟件。 講到這里，很多同學(xué)會(huì)感覺到很神奇，如此隨意的幾個(gè)點(diǎn)，竟然可以做出如此有美感的結(jié)論！ 我們并未結(jié)束。 還有更精彩的結(jié)論，如果要求定點(diǎn)是焦點(diǎn)，定直線是準(zhǔn)線，那就太瞧不起圓錐曲線了！ 橢圓：過x軸上一定點(diǎn)Q（t，0）的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則在直線x=c^2/t上任意一點(diǎn)P，對(duì)弦AB端點(diǎn)以及F的連線的斜率成等差數(shù)列。PA，PF，PB三條直線的斜率成等差數(shù)列。 雙曲線：過x軸上一定點(diǎn)Q（t，0）的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，則在直線x=c^2/t上任意一點(diǎn)P，對(duì)弦AB端點(diǎn)以及F的連線的斜率成等差數(shù)列。PA，PF，PB三條直線的斜率成等差數(shù)列。 拋物線：過x軸上一定點(diǎn)Q（t，0）的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則在直線x=-t上任意一點(diǎn)P，對(duì)弦AB端點(diǎn)以及F的連線的斜率成等差數(shù)列。例題：分析：第一問，雖然也是固定的結(jié)論，由于今天重點(diǎn)介紹斜率等差的問題，今天就不詳細(xì)展開第一問了，參考答案即可。今后會(huì)在圖文中以專題的形式呈現(xiàn)。 第二問，很多同學(xué)已經(jīng)知道答案了，它們會(huì)成等差數(shù)列。當(dāng)然畢竟這是一道大題，我們給出這道題的答案，希望同學(xué)們自己動(dòng)手再做一遍，好處有兩個(gè)：一、對(duì)今天所講結(jié)論進(jìn)行證明；二、這道題全篇沒有一個(gè)確定的點(diǎn)或線，都是字母，如果這道題的過程能獨(dú)立書寫，那么其他相似問題一定會(huì)得滿分！ |
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