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選自：《無言的宇宙》

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作者丨[美]達納·麥肯齊

論及數(shù)字“零”這一概念的書籍數(shù)量真可謂汗牛充棟。這一數(shù)字是算術(shù)中的后來者，其原因或許是人們很難想象零肘尺11或者零頭綿羊。甚至在今天，如果拿起一本孩子的數(shù)數(shù)書，我們或許也無法找到說到零的那一頁。

對于零這個數(shù)字有兩種不同的解釋，其中一種遠比另一種更為精細。首先，在2009或90210這類數(shù)字中，零是用來表示空置數(shù)位的符號，這是零的功能。在一個位值數(shù)字系統(tǒng)中，“2”的意義取決于它所在的位置；在29這個數(shù)中，2代表兩個十；而在2009這個數(shù)中，2代表兩個千。

當然，像古埃及或古羅馬一類不使用位值系統(tǒng)的文化中不存在這個問題，也就不需要對應(yīng)于空位的符號。人們可以很容易地區(qū)分羅馬數(shù)字MMⅠⅩ（2009）和ⅩⅩⅠⅩ（29）。因此，零這個觀念沒有在這些社會中出現(xiàn)也就不足為奇了。然而，巴比倫人的確使用了一種位值數(shù)字系統(tǒng)，但在許多個世紀中，他們也沒有想到要用一個記號來表示空數(shù)位。表面上看，2009和29之間的含混之處似乎沒有造成他們的麻煩，或許這是因為人們通?？梢詮那昂箨P(guān)系中明顯地看出究竟應(yīng)該是哪一個數(shù)字。

△在數(shù)軸上，零是1左邊的下一個數(shù)字

同樣的情況即使在今天也會發(fā)生。如果有人告訴你今年是哪一年，你會覺得自己將聽到一個類似2009的數(shù)字；如果他們說的是自己的年齡，29就更合理一些了。

只是在大約公元前400年，也就是獨立存在的巴比倫行將作古的時候（此時已經(jīng)是人們開始使用楔形數(shù)字系統(tǒng)之后大約1500年了），書吏們確實開始使用兩個垂直的楔形 ( ∧∧ ) 來表示一個空數(shù)位。這是歷史上第一次出現(xiàn)的表示零的符號，但很顯然，巴比倫人只是把它作為占據(jù)數(shù)位的符號，其本身并非數(shù)字。

零的第二個更為微妙的概念出現(xiàn)在印度，即把它作為實際存在的實體對待，例如等式1 － 1 ＝ 0 中所隱含的意義。這一概念于公元628年，在婆羅摩笈多12 所著的一本題為《經(jīng)過更正的梵天13 的論述》的書中第一次出現(xiàn)。

實際上，巴比倫人使用的是一種六十進位制的數(shù)字系統(tǒng)，而不是十進位制數(shù)字系統(tǒng)；

但這并沒有改變會出現(xiàn)模糊現(xiàn)象的這一基本問題。例如，一位巴比倫書吏將無法區(qū)分1501（即 25 x 60 ＋ 1）與90001（即 25 x 602 ＋ 1）。兩個數(shù)字都會被寫成251。

跟許多古代數(shù)學(xué)家一樣，有關(guān)婆羅摩笈多生平的資料也甚為稀少。他于公元598 年生于印度中北部，曾是烏賈因14 數(shù)學(xué)流派（這里所說的流派是一種松散的學(xué)者團體）的一員。他生活的時代距笈多王朝終結(jié)后不久；該王朝大約存在于公元320 年—550 年，期間文化欣欣向榮，經(jīng)常被人認為是印度文化的黃金時代。梵語文學(xué)的許多經(jīng)典著作就是在這一時期寫就的，那時的天文學(xué)家們也開發(fā)了對日月食和行星運行規(guī)律非常準確的預(yù)測方法。婆羅摩笈多的著作中的一個清楚的突出特點是他對其對手們的嘲弄態(tài)度。這本書的題目《經(jīng)過更正的梵天的論述》，本身就暗含著對較早問世的一部天文學(xué)著作的批判。婆羅摩笈多對他的前輩也多有評論，其方式可舉如下一例：“通曉阿耶波多、維蘇坎德拉等人的著作成就不了大師，哪怕他們能把那些著作倒背如流也依然如此。但通曉梵天的計算的人可以躋身大師之列?！?/p>

△婆羅摩笈多的數(shù)學(xué)成就包括他在天文學(xué)領(lǐng)域的貢獻，例如他觀察到地球是球體。

盡管婆羅摩笈多或許有些傲慢，但他清楚地理解了零的本質(zhì)。他這樣寫道：“兩個正數(shù)的和是正數(shù)，兩個負數(shù)的和是負數(shù)；一個正數(shù)和一個負數(shù)的和是它們的差；如果這個正數(shù)與這個負數(shù)（絕對值）相等則和為零?！币虼?，零是通過兩個數(shù)量相等（絕對值相等）的正數(shù)與負數(shù)相加得來，例如1 ＋（－ 1）。這就是現(xiàn)代理念1 － 1 的意義。

婆羅摩笈多還進一步寫道，任何數(shù)加零都不改變它的符號，0 ＋ 0 ＝ 0，任何數(shù)乘以零都得零。然而他不很清楚用零做除數(shù)會有什么結(jié)果。他曾多次重復(fù)：“一個負數(shù)或正數(shù)可以被零整除，則零為其因數(shù)。”而且他還錯誤地認為“零除以零得零”?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)家會說，任何用零做除數(shù)的除法都無法定義。

值得注意的是，在婆羅摩笈多的著作中，零是與負數(shù)一起出現(xiàn)的。的確，想象負數(shù)肘尺和負數(shù)只綿羊更為困難，或許可以用這一點解釋人們對零的抗拒。在婆羅摩笈多之后的許多個世紀中，數(shù)學(xué)家們還繼續(xù)避免在他們的公式中使用負數(shù)。例如，求解二次方程與三次方程的過程就是因為數(shù)學(xué)家們避免使用負數(shù)而被弄得過分復(fù)雜了。他們理解到需要用幾種不同的方法求解，而我們今天已經(jīng)把這些方法歸結(jié)為單一的公式。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)對于零的重要性的強調(diào)通常毫無過分之處。數(shù)學(xué)家們把它稱為單位元素，因為把它加到任何數(shù)字上都不會改變那個數(shù)字。單位元素對數(shù)學(xué)的重要性就相當于同義詞對文學(xué)的重要性。沒有誰會質(zhì)疑我們?yōu)槭裁赐瑫r需要“幸福”與“高興”這兩個詞。它們能讓我們以不同的方式述說本質(zhì)上相同的事情，但可能卻揭示了略為不同的細微之處。零的存在讓數(shù)學(xué)家有了同樣的靈活性。根據(jù)問題的需要，人們可以把 x 表達為 x ＋ 0，也可以由此出發(fā)將其改寫為 x ＋ 1 － 1 或其他多種方式。

數(shù)學(xué)家在19 世紀和20 世紀發(fā)現(xiàn)了許多正數(shù)和實數(shù)之外的有用的代數(shù)結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)了許多普通的加法和乘法之外的有用的運算方式。例如，計算機使用模運算，密碼學(xué)家使用橢圓曲線上的乘法運算，量子物理學(xué)家在希爾伯特空間內(nèi)運算矢量加法與乘法。所有這些運算都是“加”與“乘”這兩種基本概念的變種，但它們有時跟我們在學(xué)校里學(xué)習(xí)的加法與乘法大相徑庭。

它們的共同點是，大家都有一個單位元素。

因此，婆羅摩笈多對數(shù)學(xué)的貢獻，即他關(guān)于數(shù)字零的想法至今還有著鮮活的生命力，盡管他可能不容易意識到這一點。