零的歷史

　　對(duì)于零，首見要討論的是，有兩種相當(dāng)重要的使用方式，而這兩種使用的場合有一些不同。其中一個(gè)是在我們的位置符號(hào)系統(tǒng)中，零被當(dāng)作空白位置的表示符號(hào)。因此，像是數(shù)字 2106 中 0 就被用來讓 2 與 1 表示在正確的位置上。顯然的 216 的義意就與 2106 相當(dāng)?shù)牟煌Ｔ诹愕氖褂迷诟拍钌?、符?hào)表示上及名稱上，就有釵h的不同。

　　這些不同的使用，就歷史的角度都不是容易說的明白的。它就是沒有某個(gè)人發(fā)明這個(gè)想法，繼之釵h人開始使用它的歷史。就客觀的說法，零的使用一點(diǎn)也不是直覺的概念。數(shù)學(xué)的問題開始于真實(shí)的問題與抽象的問題。在早先歷史里的數(shù)字被想成較為具體的事物與之今日的抽象概念數(shù)字是大不相同的。從五匹馬到"五個(gè)事物"然后再到抽象的概念"五"是個(gè)很大的跳躍。如果古時(shí)人們解決有關(guān)農(nóng)夫需要多少馬匹的問題時(shí)，問題就不會(huì)是以 0 或 -23 來當(dāng)作答案。

　　你可能認(rèn)為對(duì)一個(gè)位置的數(shù)字系統(tǒng)來說會(huì)產(chǎn)生 0 來作為空白位置的指示符號(hào)是必要的想法，as a empty place indicator is a necessary idea, 可是巴比倫人雖然有位置表示的數(shù)字系統(tǒng)，但是確超過一千年的時(shí)間沒有這個(gè)表示空白位置的符號(hào)產(chǎn)生。加之完全沒有任何的證據(jù)指出巴比倫人感覺到它們所使用的數(shù)字系統(tǒng)有令人模棱兩可的嚴(yán)重問題。令人注意的是巴比倫數(shù)學(xué)的時(shí)期所保存下來的原始的文章里，符號(hào)是被壓印進(jìn)未烘干的泥板上，使用尖筆在軟的泥板上書寫，所以會(huì)留下楔形的形狀的邊，所以現(xiàn)在我們都把巴比倫的文字叫做楔形文字。釵h大約公元前一千七百年前附近的泥板被保存下來，并且清楚到可以讓我們來辨別原始的文字。當(dāng)然他們對(duì)數(shù)字的表達(dá)方式與現(xiàn)今是大不相同的，他們使用六十進(jìn)制的而不是我們習(xí)慣的十進(jìn)制。如果將它們的數(shù)字轉(zhuǎn)換成我們的符號(hào)表示法，是無法辨認(rèn) 2106 與 216 這兩個(gè)數(shù)字間的不同的（巴比倫文章的前后關(guān)系可以指出它是什么數(shù)字）。這個(gè)問題直到公元前四百年前左右時(shí)巴比倫人才放進(jìn)二個(gè)楔形的符號(hào)，就像我們將放進(jìn)零來指示到底是 216 或是 21"6 。

　　這個(gè)兩個(gè)楔形并不是唯一被使用的符號(hào)，在古美索不達(dá)米亞的巴比倫城東邊的一座名為 Ki**（現(xiàn)今伊拉克的中南部）所發(fā)現(xiàn)的泥板上，就使用了不一樣的符號(hào)。這個(gè)泥板被認(rèn)定的時(shí)間大概在公元前七百年前，使用三個(gè)扣鉤的符號(hào)來表示位置符號(hào)數(shù)字系統(tǒng)中的空白位置。其它的同時(shí)期的泥板使用一個(gè)扣鉤的符號(hào)來表示空白的位置。有一個(gè)共同的特色是使用不同的記號(hào)來表示一個(gè)空白的位置。需指出一個(gè)事實(shí)是，它沒有出現(xiàn)在數(shù)字位結(jié)尾處，但是卻總是在兩個(gè)位數(shù)字之間。所以盡管我們曾經(jīng)發(fā)現(xiàn) 21 ‘’ 6 ，但是卻從沒有看到 216 ‘’ 的情形。你可能假想古時(shí)候的感覺那就是文章本身是充分指出所討論的數(shù)是什么數(shù)字。

　　如果指出這種參照文章脈絡(luò)的的前后關(guān)系是愚蠢的話，那么注意到我們今日仍用類似的方法來表達(dá)數(shù)字。如果我搭乘巴士到附近的城鎮(zhèn)，當(dāng)我詢問車票的價(jià)格時(shí)，人車說是" "**‘s three fifty" 那么意思是三磅加五十便士。然而如果換作搭飛機(jī)從愛丁堡到紐約的機(jī)票價(jià)格，相同的答案，我們卻知道是三百五十磅。

　　從這里我們了解早期零的使用是用來表示空白的位置而不是當(dāng)作一個(gè)數(shù)字的零來使用，僅僅是當(dāng)作某種標(biāo)點(diǎn)符號(hào)標(biāo)記使得數(shù)字能有正確的解釋。

　　到現(xiàn)在，將零視為空白位置的表示符號(hào)都認(rèn)為是古希臘對(duì)現(xiàn)今數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)，其實(shí)是從古巴比倫人的數(shù)學(xué)里就已經(jīng)被使用了。然而希臘人并沒有采用位置化的數(shù)字系統(tǒng)。思考這個(gè)事實(shí)的深遠(yuǎn)意義是很有價(jià)值的，也就是說光輝的希臘數(shù)學(xué)家們的成就并不能讓他們采用巴比倫人已曾經(jīng)使用具有各種優(yōu)點(diǎn)的位置化數(shù)字系統(tǒng)？我們即將所談?wù)摰倪@個(gè)問題的簡單答案是較令人不可思議的，基本上我們必須知道希臘的數(shù)學(xué)成就是建立在幾合上的。雖然歐幾里得的幾合原本 Euclid’s Elements 是包含在一部探討數(shù)論的書里，但是它是以幾合為立基的。換句話說，希臘的數(shù)學(xué)家并不需要給數(shù)字命名，因?yàn)樗麄児ぷ魃纤褂玫臄?shù)字就如同線段的長度一般。商人們使用的數(shù)用才須要被命名并記錄下來，而數(shù)學(xué)家并不需要，因此不需要非常聰明的數(shù)字表示系統(tǒng)。

　　我們剛提及的事情是有例外的。例外的就是那些牽涉到記錄復(fù)雜的天文數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)家們。今日我們所能認(rèn)定的"表示零的符號(hào)"的最早符號(hào)使用記錄，是由希臘的天文數(shù)學(xué)家使用符號(hào) O 所開始的。有釵h理論討論為什么是使用這個(gè)特別的符號(hào)。某些歷史學(xué)家傾向于把它視為 omicron (希臘字母第十五個(gè)字母)的這種說法，然而 Neugebauer 卻不認(rèn)為這個(gè)看法，因?yàn)橄ＥD人已經(jīng)使用 omicron 當(dāng)做 70 這個(gè)數(shù)字了(希臘的數(shù)字系統(tǒng)是建立在它們的字母上的)，他認(rèn)為是因?yàn)橄ＥD字表示"沒有東西"的第一個(gè)字讀做 "ouden"。其它的解釋認(rèn)為它建立在 "obol"，一種古希臘的銀幣(幾乎沒有價(jià)值的錢幣)而當(dāng)計(jì)算的人在計(jì)算沙板所產(chǎn)生的。這里的猜測是當(dāng)計(jì)算的人在沙上移去東西后所留下的空的圓柱形的凹陷部份，而它看起來就像是 O。

　　托勒密在公元一百三十年左右時(shí)使用巴比倫人的六十進(jìn)制系統(tǒng)連同表示空白位置的符號(hào) O。這個(gè)期間托勒密在數(shù)字間及數(shù)字尾端使用這個(gè)符號(hào)。您可能認(rèn)為至此將零視為空白位置的表示符號(hào)終于堅(jiān)實(shí)的確立了。但是然而這與事實(shí)是相距甚遠(yuǎn)的。僅有少數(shù)一些例外的天文學(xué)家使用這種標(biāo)示法而之后很長的一段時(shí)間都沒有人再使用它了。托勒密當(dāng)然是把它當(dāng)作某種的標(biāo)點(diǎn)符號(hào)，而這種想法接著出現(xiàn)在印度的數(shù)學(xué)里。

　　現(xiàn)在讓場影移動(dòng)到印度，在這里可以公正的認(rèn)為今日我們所使用的高度發(fā)展的數(shù)系是從印度的數(shù)字及數(shù)字系統(tǒng)逐步演進(jìn)而來的。當(dāng)然這并不是說，印度的數(shù)字并未從早期的成就而來，釵h的數(shù)學(xué)史家相信印度人對(duì)零的使用是從希臘天文學(xué)家那兒演進(jìn)而來的。而且一些數(shù)學(xué)史家似乎用非理性的方式刻意眨低印度人在數(shù)學(xué)發(fā)展上的貢獻(xiàn)，也有人論斷印度人發(fā)明零的事實(shí)太過于夸張。例如： Mukherjee 論斷:-

... 這個(gè)零的數(shù)學(xué)概念 ... 也在從17 000年前的印度精神里表現(xiàn)出來。

　　可以確定的是在公元六百五十年左右印度的數(shù)學(xué)家使用零當(dāng)作一個(gè)數(shù)字。印度人也使用位值系統(tǒng)而將零當(dāng)作空白位置的表示符號(hào)。事實(shí)上有證據(jù)顯示在公元二百年的印度就有位置數(shù)字系統(tǒng)的空白位置表示符號(hào)的使用了，但是一些歷史家將它們視為偽造而不去注意到它們。讓我們稍后再對(duì)這件事做個(gè)細(xì)查，因?yàn)樗永m(xù)了上述討論的發(fā)展。

　　在大約公元五百年左右 Aryabhata 設(shè)計(jì)了一種數(shù)字系統(tǒng)，這種系統(tǒng)是位值系統(tǒng)但是還沒有使用到零。他使用 "kha" 這個(gè)字來表示位置并且后來被使用來稱作零的名字。有證據(jù)顯示，在早期的印度人的手寫稿里，他們曾經(jīng)使用小圓點(diǎn)來表示位值系統(tǒng)中的空白位置。有趣的是在同樣的文件中有時(shí)也使用小圓點(diǎn)來表示未知數(shù)，而這在今日我們通常使用 x 來表示它。較晚的印度數(shù)學(xué)家對(duì)零已賦與其名，但仍舊沒有表示它的符號(hào)。眾所公認(rèn)的印度人使用零的最早記錄是在公元八百七十六年所寫下的。

　　我們有一段記載在石頭上的銘文，在它上面有一個(gè)轉(zhuǎn)換成公元的八百七十六年的日期數(shù)字。這段銘文是關(guān)于 Delhi 南方四百公里的一座城鎮(zhèn) Gwalior ，在這個(gè)城鎮(zhèn)里他們用種植了二百七十株戟狀植物，可每日供應(yīng)足夠當(dāng)?shù)厣駢璧奈迨畟€(gè)花環(huán)的數(shù)量。而記載所提及的 270 及 50 都表示成幾乎就是今日的樣子，稍微不同的只是零比較小而用浮雕的方式。

　　where they planted a garden 187 by 270 hastas which would produce enough flowers to allow 50 garlands per day to be given to the local temple. Both of the numbers 270 and 50 are denoted almost as they appear today although the 0 is smaller and slightly raised.

　　現(xiàn)在我們來討論零被初次當(dāng)作數(shù)字的事情。首先我們注意到就任何的角度來說，零作為數(shù)字的候選人都是極不自然的。從早期數(shù)字被視為一類物體相關(guān)的字詞，之后數(shù)字的概念愈來愈抽象，這個(gè)抽象過程讓人們思考到負(fù)數(shù)及零的數(shù)字變得很有可能的。當(dāng)人們試著將零及負(fù)數(shù)視為數(shù)字的同時(shí)會(huì)產(chǎn)生的問題是它們在算術(shù)的加減乘除的運(yùn)算中與其它的整數(shù)間的互相作用為何？在三本極重要的著書中，印度的數(shù)學(xué)家 Brahmagupta， Mahavira 和 Bhaskara 試著回答這些問題。

　　Brahmagupta 試著給出在七世紀(jì)時(shí)牽涉到零及負(fù)數(shù)的算數(shù)運(yùn)算法則。他解釋道：給定一個(gè)數(shù)然后你將此數(shù)與自己相減，然后就會(huì)得到零。接著給出了牽涉到零的加法法則：─

負(fù)數(shù)與零的和仍是負(fù)數(shù)，正數(shù)與零的和是正數(shù)，零與零的和仍舊是零。

　　減法就有些困難：─零減掉負(fù)數(shù)結(jié)果是正數(shù)，零減去正數(shù)的結(jié)果是負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)減去零結(jié)果仍是負(fù)數(shù)，正數(shù)減去零的結(jié)果仍是正數(shù)，而零減去零之結(jié)果仍舊是仍零。

Brahmagupta 接著說任何數(shù)乘上零結(jié)果是零，但是對(duì)于除法來說就遇到困難了：─

　　當(dāng)被零分割時(shí)也就是當(dāng)零作為分?jǐn)?shù)的分母時(shí)其結(jié)果是正數(shù)或是負(fù)數(shù)，當(dāng)零被負(fù)數(shù)或是正數(shù)所除時(shí)結(jié)果都是零；或者可以表示成以零當(dāng)作分子而有限量當(dāng)作分母的分?jǐn)?shù)。零除以零其結(jié)果是零。

　　實(shí)際上，當(dāng) Brahmagupta 在猜測 n 除以零表示成 n/0 的時(shí)候是談?wù)摰南喈?dāng)少的。很顯然的是他在此處遭遇到了困難。當(dāng)他在論斷零除以零得到結(jié)果是零的時(shí)候，當(dāng)然是錯(cuò)的。然而從第一個(gè)人試著擴(kuò)充運(yùn)算法則到零及負(fù)數(shù)的這件事情來說，這是個(gè)偉大的嘗試。

　　在公元八百三十年左右，就在 Brahmagupta 寫下他的名作后約二百年后， Mahavira 寫下了 Ganita Sara Samgraha 這本書，這本書是被設(shè)來作為 Brahmagupta 的書的更新版本。他正確的描述道：─

...一個(gè)數(shù)乘上零結(jié)果是零，一個(gè)數(shù)減去零后結(jié)果仍舊是本身。

　　然而這本試著增進(jìn) Brahmagupta的書，在描述被零分割的事情上似乎導(dǎo)致了錯(cuò)誤。他寫道：─一個(gè)數(shù)被零分割的結(jié)果似乎還是它自己并未改變。

　　因?yàn)檫@很明顯是不正確的，但是你有否注意到我所使用的措詞"似乎導(dǎo)致了錯(cuò)誤"可視為令人困惑的。用詞的原因是某些對(duì)于 Mahavira 這本書的評(píng)論家已試著找出對(duì)這種錯(cuò)誤的陳述的辯解。

　　Bhaskara 這本書寫成于 Brahmagupta 書成后五百年。不管時(shí)間的推移，他仍然對(duì)于除以零這個(gè)問題努力的作出解釋。他寫道：─一量被零分割變成一個(gè)分母是零的分?jǐn)?shù)。這個(gè)分?jǐn)?shù)被叫做無限量。盡管釵h的次序規(guī)則被吸收或是提出，雖然釵h可能被插入或是擴(kuò)充，這個(gè)數(shù)是由零來做為它的除數(shù)是沒有改變的，如同當(dāng)世界被創(chuàng)造或摧毀時(shí)無限及永恒不變的神沒有任何的改變發(fā)生一般。

　　所以 Bhaskara 試著藉由 n/0 = 來解決這個(gè)問題。一開始我們可能會(huì)傾向于相信 Bhaskara 讓這件事情變得正確了。但是當(dāng)然是沒有的。如果對(duì)這是對(duì)的話，也就是說 0 乘上 一定等于任意數(shù) n，所以所有的數(shù)都相同了。即使 Bhaskara 對(duì)于零的其它性質(zhì)做了正確的描述，例如 02 = 0，以及 0 = 0。但是印度的數(shù)學(xué)家就是無法鼓起勇氣來說一個(gè)數(shù)無法被零來分割。

　　也意識(shí)到在這個(gè)時(shí)間點(diǎn)有一個(gè)另外的文明發(fā)展了另一套位值數(shù)字系統(tǒng)還有零。也就是生活在中美洲的馬雅人文明。今日占領(lǐng)這個(gè)區(qū)域的國家有墨西哥南部、瓜地馬拉、及巴里斯的北部。這是一個(gè)古老的文明大約興盛于公元二百五十年至九百年間。我們知道大約公元六百六十五年左右他們使用一種以二十為基底的位置數(shù)字系統(tǒng)而且有一個(gè)代表零的符號(hào)。然而他們對(duì)于零的使用回溯到較此時(shí)期更遠(yuǎn)的時(shí)候，甚至在他們采用位值數(shù)系之前就已經(jīng)開始使用了。這是一項(xiàng)卓越的成就可惜并未對(duì)其他民族產(chǎn)生影響。

　　印度數(shù)學(xué)輝煌的成果被轉(zhuǎn)譯到較遠(yuǎn)西方，諸如伊斯蘭的及阿拉伯的數(shù)學(xué)。在早期 al‘Khwarizmi 寫下了 Al’Khwarizmi on the Hindu Art of Reckoning (印度人計(jì)算的藝術(shù))，在書中描述了以印度數(shù)字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 及 0 所建立起的位值系統(tǒng)。這項(xiàng)工作是在現(xiàn)在的伊拉克進(jìn)行的，是最早使用零來當(dāng)作空白位置的標(biāo)示符號(hào)。Ibn Ezra 在十二世紀(jì)時(shí)寫了三篇論文來探討數(shù)字，有助于將印度的數(shù)字元號(hào)及十進(jìn)制的分?jǐn)?shù)概念帶給歐洲博學(xué)的人們了解。這本書 The Book of the Number 描述了對(duì)整數(shù)的十進(jìn)制系統(tǒng)及從左到右的位值表示系統(tǒng)。在這項(xiàng)工作里 ibn Ezra 將零稱做 galgal ，意思是車輪或是圓圈。十二世紀(jì)稍晚時(shí)期， al-Samawal 寫道：─

如果用零來減去一正數(shù)其結(jié)果是同值的負(fù)數(shù) ... 如果我們用零減去負(fù)數(shù)其結(jié)果是同值的正數(shù)。