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職業(yè)數(shù)學(xué)家在民間 大家好！微信公眾號(hào)《職業(yè)數(shù)學(xué)家在民間》決定面向公眾開(kāi)設(shè)《通俗數(shù)學(xué)》專(zhuān)欄，希望能讓人人都能理解數(shù)學(xué)，欣賞數(shù)學(xué)！傳播數(shù)學(xué)是我們的神圣使命，敬請(qǐng)掃描??關(guān)注我們！ 我接下來(lái)計(jì)劃寫(xiě)的許多數(shù)學(xué)普及文章都需要用到負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)。考慮到公眾可能會(huì)對(duì)這兩類(lèi)數(shù)，尤其是復(fù)數(shù)感到陌生，所以這個(gè)專(zhuān)欄一開(kāi)始就計(jì)劃寫(xiě)兩篇文章分別介紹負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)。這是第一篇。 一、引入負(fù)數(shù)之前，人類(lèi)已經(jīng)知道了哪些數(shù)？ 自然數(shù)，是指0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12…… 人類(lèi)最早認(rèn)識(shí)的數(shù)其實(shí)是非零的自然數(shù)，但即使是這種認(rèn)識(shí)，也經(jīng)歷了非常漫長(zhǎng)的時(shí)間。認(rèn)識(shí)到十只兔子的10，和十條魚(yú)的10是一回事，對(duì)于早期狩獵的原始人來(lái)說(shuō)，是非常不容易的！ 如果說(shuō)人類(lèi)接觸非零的自然數(shù)的歷史可以追溯到幾十甚至幾百萬(wàn)年前的話，0這個(gè)數(shù)的正式引入也就是兩千多年前的事，而把0歸入自然數(shù)只是幾十年前的事。即使到今天，公眾談?wù)?這個(gè)數(shù)時(shí)可能還會(huì)覺(jué)得有些不解和神秘感。 人類(lèi)認(rèn)識(shí)的第二種數(shù)是分?jǐn)?shù)。在日常生活中，分?jǐn)?shù)也是無(wú)處不在的。比如，下面是1塊蛋糕， 分?jǐn)?shù)，是指形如m/n的數(shù)(其中m和n都是非零自然數(shù))，表示將m分成相同大小的n份后，每一份的大小，也稱(chēng)為m和n的比值。我們稱(chēng)m為分子，n為分母。分?jǐn)?shù)通常也寫(xiě)作 分?jǐn)?shù)和自然數(shù)都可以表示量，比如大小，面積或者長(zhǎng)度。 但是有些長(zhǎng)度是無(wú)法用分?jǐn)?shù)和自然數(shù)表示的，比如單位正方形的對(duì)角線，它的長(zhǎng)度√2就不是分?jǐn)?shù)。 關(guān)于這一點(diǎn)以及為什么單位正方形對(duì)角線的長(zhǎng)度為√2，我們?cè)谖恼?/span>《為什么√2不等于分?jǐn)?shù)》中已經(jīng)詳細(xì)介紹了。 如何擴(kuò)充自然數(shù)和分?jǐn)?shù)構(gòu)成的數(shù)系呢？從新數(shù)√2的發(fā)現(xiàn)來(lái)看，一種可行的方式是用長(zhǎng)度來(lái)表示數(shù)，而這就引出了數(shù)軸的概念。 數(shù)軸是指從一個(gè)固定的點(diǎn)(原點(diǎn))向右一直延伸到無(wú)窮的射線。數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)都有一個(gè)固定的距離或長(zhǎng)度，而這個(gè)長(zhǎng)度又對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)數(shù)。比如0就對(duì)應(yīng)原點(diǎn)。按照這種方式，數(shù)軸上的所有點(diǎn)和所有可以表示長(zhǎng)度的數(shù)之間可以完美地對(duì)應(yīng)起來(lái)，越是靠右邊的點(diǎn)，它所對(duì)應(yīng)的數(shù)就越大。每個(gè)這樣的數(shù)(包括√2)都可以在數(shù)軸上找的自己的位置，雖然顯得很擁擠。 正數(shù)，是指大于零的數(shù)，也就是表示非零長(zhǎng)度的數(shù) 可以表示長(zhǎng)度的數(shù)的加法運(yùn)算是非常簡(jiǎn)單的，無(wú)非就是長(zhǎng)度的拼接。 如何理解乘法呢？從數(shù)軸的角度來(lái)看，乘法代表著數(shù)軸保持原點(diǎn)不動(dòng)的伸縮。 比如將所有的數(shù)都乘上2，相當(dāng)于讓數(shù)軸沿右伸長(zhǎng)成原來(lái)的2倍，乘上1/3相當(dāng)于讓數(shù)軸收縮成原來(lái)的1/3。這種變換(比如伸長(zhǎng)，縮短，以及后面將會(huì)提到的旋轉(zhuǎn))的觀點(diǎn)在高等數(shù)學(xué)中非常普遍。 好了，這些就是人類(lèi)在認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)之前，已經(jīng)知道的關(guān)于數(shù)的最主要的知識(shí)。 二、負(fù)數(shù)的引入 前面提到人類(lèi)認(rèn)識(shí)到十只兔子的10，和十條魚(yú)的10是一回事的時(shí)候，就已經(jīng)開(kāi)始接觸自然數(shù)了。但同樣的數(shù)字在相反的語(yǔ)境下，卻有完全不同的意味。比如我手頭有2萬(wàn)元錢(qián)的2，和我欠別人2萬(wàn)元的2；我今年賺了50萬(wàn)元錢(qián)的50，和我今年賠了50萬(wàn)元錢(qián)的50；海拔300米的300和海底300米的300；向左移動(dòng)6米的6和向右移動(dòng)6米的6。區(qū)分這些相反語(yǔ)境下的數(shù)字就導(dǎo)致了負(fù)數(shù)的引入。 負(fù)數(shù)，是在正數(shù)x前面加一個(gè)減號(hào)，寫(xiě)作—x，代表著和正數(shù)x相反的量。我們稱(chēng)x和—x是相反數(shù)。－2，－5，－1/3，－√2，分別讀作負(fù)二，負(fù)五，負(fù)三分之一，負(fù)根號(hào)二。－2和2 是相反數(shù)，1/3和－1/3是相反數(shù)。 比如我欠別人2萬(wàn)元可以說(shuō)成，我手頭有－2萬(wàn)元錢(qián)；我今年賠了50萬(wàn)元錢(qián)，可以說(shuō)成，我今年賺了－50萬(wàn)；海底300米可以說(shuō)成海拔－300米；向左移動(dòng)6米可以說(shuō)成向右移動(dòng)－6米。大家可能會(huì)覺(jué)得這類(lèi)說(shuō)法會(huì)很繞口，但是負(fù)數(shù)的引入使得人們可以不必在相反的語(yǔ)境之間不斷轉(zhuǎn)換，這在很多情況下，(比如商業(yè)活動(dòng)，計(jì)算和測(cè)量)給人們帶來(lái)各種便利。日常生活的負(fù)數(shù)也是隨處可見(jiàn)的，比如天氣預(yù)報(bào)中的－5℃(零下5度)，電梯中的－1層－2層等等。 實(shí)數(shù)：我們把負(fù)數(shù)，正數(shù)和零統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù) 上一節(jié)講過(guò)零與正數(shù)，和數(shù)軸上的點(diǎn)完全對(duì)應(yīng)，比如從數(shù)軸原點(diǎn)出發(fā)，向右移動(dòng)2個(gè)單位距離，就到了數(shù)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。引入負(fù)數(shù)后，我們希望這種對(duì)應(yīng)法則依然保持，而這就要求我們把數(shù)軸向左無(wú)限延伸。此時(shí)，向右移動(dòng)－2個(gè)單位距離，就應(yīng)該到達(dá)數(shù)－2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，而我們前面講過(guò)了向右移動(dòng)－2個(gè)單位距離也就是向左移動(dòng)2個(gè)單位距離，所以－2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊，距離原點(diǎn)為2。下圖表示擴(kuò)充后的數(shù)軸，數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)(包括負(fù)數(shù)，0，正數(shù))完全對(duì)應(yīng)，和上一節(jié)一樣越是靠右邊的點(diǎn)，它所對(duì)應(yīng)的數(shù)就越大。比如－4<－1<0。 四、加減法 在引入負(fù)數(shù)之前，人們可能會(huì)認(rèn)為 3－5 這樣的運(yùn)算沒(méi)有意義，但現(xiàn)在情況不一樣了。想想看你昨天賺了3萬(wàn)元，但今天又賠了5萬(wàn)元，那你這兩天賺了多少錢(qián)呢？實(shí)際上應(yīng)該是賠了2萬(wàn)元，或者說(shuō)賺了－2萬(wàn)元。寫(xiě)出等式就是 3－5 ＝－2 但是今天賠了5萬(wàn)元又可以說(shuō)成是今天賺了－5萬(wàn)元，所以上面的等式也可以寫(xiě)成： 3＋ (－5) ＝－2 法則：加上一個(gè)負(fù)數(shù)等于減去相應(yīng)的正數(shù)。特別地，兩個(gè)相反數(shù)的和為0，比如：3＋ (－3) ＝0 再來(lái)看一個(gè)形象的比喻：一個(gè)富翁，他的個(gè)人固定資產(chǎn)是3千萬(wàn)，銀行存款是5千萬(wàn)，他還欠朋友2千萬(wàn)。如果我們統(tǒng)計(jì)他的總資產(chǎn)的話，應(yīng)該是把三個(gè)部分加起來(lái) 3 5 (—2)＝6 (千萬(wàn)) 而且不論我先加哪兩個(gè)部分，再加第三個(gè)部分，計(jì)算結(jié)果都應(yīng)該是一樣的。這就引出了交換律和結(jié)合律 在實(shí)數(shù)的加法中，交換律和結(jié)合律還是成立的： a b＝b a； (a b) c＝a (b c) 好了再回到上面那個(gè)有6千萬(wàn)總資產(chǎn)的富翁，如果他的朋友突然免除了他的2千萬(wàn)債務(wù)，等于說(shuō)他的資產(chǎn)增加了2千萬(wàn)。這時(shí)計(jì)算他的新的總資產(chǎn)就應(yīng)該是 6－(—2)＝6＋2=8 (千萬(wàn)) 法則：減去一個(gè)負(fù)數(shù)等于加上相應(yīng)的正數(shù)。 所以引入負(fù)數(shù)后，加減法還是比較簡(jiǎn)單的，而乘法則更難理解。 五、乘法，為什么負(fù)負(fù)得正？ 我們先來(lái)看負(fù)數(shù)乘以正數(shù)的情況，再來(lái)個(gè)比喻，如果你做生意，每天賺了5萬(wàn)元，10天之后就賺了 5×10＝50 （萬(wàn)） 但如果你每天賠了5萬(wàn)元，或者說(shuō)每天賺了－5萬(wàn)元，那么10天之后就是 賠了50萬(wàn)，或者說(shuō)賺了 (—5)×10＝－50 （萬(wàn)） 法則：負(fù)數(shù)乘以正數(shù)等于相應(yīng)的正數(shù)相乘，再加個(gè)負(fù)號(hào)（正負(fù)得負(fù)，負(fù)正得負(fù)） 從數(shù)軸的角度來(lái)看，實(shí)數(shù)(不論正數(shù)還是負(fù)數(shù))乘上某個(gè)正數(shù)，比如2，的效果就是讓數(shù)軸保持原點(diǎn)不變，左右同時(shí)伸長(zhǎng)成原來(lái)的2倍。所以負(fù)數(shù)乘正數(shù)得到負(fù)數(shù)是不難理解的。 真正難理解的是，為什么負(fù)數(shù)乘負(fù)數(shù)會(huì)得到正數(shù)(負(fù)負(fù)得正)。幾百年前，當(dāng)人們剛引進(jìn)負(fù)數(shù)的時(shí)候，這個(gè)問(wèn)題就引發(fā)巨大的爭(zhēng)議，甚至連當(dāng)時(shí)的一些著名的數(shù)學(xué)家都無(wú)法接受負(fù)數(shù)乘負(fù)數(shù)會(huì)得到正數(shù)。直到今天，仍然有不少人會(huì)問(wèn)為什么—1乘以—1會(huì)等于1？ 如何形象地說(shuō)明負(fù)負(fù)得正呢？我們還是拿賺錢(qián)來(lái)做比喻。假如有個(gè)人從2009年到2029年20年時(shí)間內(nèi)年年都做生意，年年剛好賠30萬(wàn)元，也就是賺—30萬(wàn)元，從現(xiàn)在(2019年)開(kāi)始算，5年后他的資產(chǎn)會(huì)比現(xiàn)在多 (—30)×5＝－150（萬(wàn)） 也就是，5年后他的資產(chǎn)會(huì)比現(xiàn)在少150萬(wàn)。而10年后他的資產(chǎn)會(huì)比現(xiàn)在多 (—30)×10＝－300（萬(wàn)） 那么—10年后他的資產(chǎn)會(huì)比現(xiàn)在多多少呢?自然應(yīng)該是 (—30)×(－10) 但是—10年后，也就是10年前，他的資產(chǎn)應(yīng)該比現(xiàn)在多300萬(wàn)(因?yàn)槟昴曩r30萬(wàn)嘛)，所以我們就有等式： (—3)×(－10)＝300（萬(wàn)） 當(dāng)然了，這只是一種形象，粗淺的說(shuō)法。負(fù)負(fù)得正還有更深刻的內(nèi)在理由：保持各種加法乘法定律！ 自然數(shù)，分?jǐn)?shù)，甚至正數(shù)的加法和乘法會(huì)滿足各種定律，比如，交換律，結(jié)合律，分配律，0乘定律。 乘法交換律和結(jié)合律：ab＝ba；(ab)c＝a(bc) 加法和乘法的分配律：(a b)c＝ac bc 0乘定律：任何數(shù)乘上0都等于0 比如5×3=3×5，(2 5)×3=2×3 5×3，(—5)×0＝0，1×(—5)＝—5。 在數(shù)學(xué)中各種定律是不能輕易破壞的。 以后，大家會(huì)看到，復(fù)數(shù)引入后這些定律還是成立的，而為了引入四元數(shù)，我們不得不犧牲乘法交換律，這是非常遺憾但也是不可避免的事情。 引入負(fù)數(shù)之后，我們當(dāng)然還希望這些定律能保持成立。根據(jù)0乘定律，我們應(yīng)該有 (3 (－3))×(－10)＝0×(－10)=0 而根據(jù)分配律，上面等式的左邊應(yīng)該是 (3 (－3))×(－10)＝3×(－10)＋(－3)×(－10) 我們之前已經(jīng)知道了 3×(－10)＝－30 所以(－3)×(－10)應(yīng)該等于30。 考考您：我們前面已經(jīng)講過(guò)為什么3×(－10)＝－30。您能否用0乘定律和分配律直接推導(dǎo)出3×(－10)＝－30？ 從數(shù)軸的角度也可以非常直觀的理解負(fù)數(shù)乘法，比如乘以—1的作用相當(dāng)于是讓數(shù)軸上的點(diǎn)從原點(diǎn)的一邊移到另一邊，并保持和原點(diǎn)的距離不變，也相當(dāng)于讓整個(gè)數(shù)軸沿著原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)180度。等我們講下一期《復(fù)數(shù)介紹》的時(shí)候，大家會(huì)發(fā)現(xiàn)，這種轉(zhuǎn)動(dòng)的解釋非常重要！
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