圓錐曲線——雙曲線

二. 教學(xué)目標(biāo)：

　　掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

三. 知識(shí)要點(diǎn)：

1. 雙曲線定義：

①到兩個(gè)定點(diǎn)F₁與F₂的距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng)（＜|F₁F₂|＝的點(diǎn)的軌跡（（為常數(shù)））。這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)。

②動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)F的距離與它到一條定直線l的距離之比是常數(shù)e（e＞1）時(shí)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線這定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，定直線l叫做雙曲線的準(zhǔn)線。

2. 雙曲線圖像中線段的幾何特征：

（1）實(shí)軸長(zhǎng)，虛軸長(zhǎng)2b，焦距。

（2）頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離：

，

（3）頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離：

；

（4）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離：

（5）兩準(zhǔn)線間的距離：

（6）離心率：∈（1，+∞）

（7）焦點(diǎn)到漸近線的距離：虛半軸長(zhǎng)。

（8）通徑的長(zhǎng)是，焦準(zhǔn)距，焦參數(shù)（通徑長(zhǎng)的一半）。

其中  

3. 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式：

①－=1，c=，焦點(diǎn)是F₁（－c，0），F₂（c，0）

②－=1，c=，焦點(diǎn)是F₁（0，－c）、F₂（0，c）

4. 雙曲線的性質(zhì)：－=1（a＞0，b＞0）

（1）范圍：|x|≥a，y∈R

（2）對(duì)稱性：關(guān)于x、y軸均對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱

（3）頂點(diǎn)：軸端點(diǎn)A₁（－a，0），A₂（a，0）

（4）漸近線：

①若雙曲線方程為漸近線方程

②若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為

③若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在x軸上，，焦點(diǎn)在y軸上）

④特別地當(dāng)離心率兩漸近線互相垂直，分別為y=，此時(shí)雙曲線為等軸雙曲線，可設(shè)為；y=x，y=－x

（5）準(zhǔn)線：l₁：x=－，l₂：x=，兩準(zhǔn)線之距為

（6）焦半徑：，（點(diǎn)P在雙曲線的右支上）；

，（點(diǎn)P在雙曲線的右支上）；

當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程及相應(yīng)性質(zhì)（略）

（7）與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是

【典型例題】

例1. 根據(jù)下列條件，求雙曲線方程：

（1）與雙曲線有共同的漸近線，且過點(diǎn)（－3，2）；

（2）與雙曲線－=1有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)（3，2）。

分析：設(shè)雙曲線方程為－=1，求雙曲線方程，即求a、b，為此需要關(guān)于a、b的兩個(gè)方程，由題意易得關(guān)于a、b的兩個(gè)方程。

解法一：（1）設(shè)雙曲線的方程為－=1，

由題意，得  

解得a²=，b²=4

所以雙曲線的方程為－=1

（2）設(shè)雙曲線方程為－=1

由題意易求c=2

又雙曲線過點(diǎn)（3，2），

∴－=1

又∵a²+b²=（2）²，

∴a²=12，b²=8

故所求雙曲線的方程為－=1

解法二：（1）設(shè)所求雙曲線方程為－＝λ（λ≠0），

將點(diǎn)（－3，2）代入得λ＝，

所以雙曲線方程為－=1

（2）設(shè)雙曲線方程為－＝1，

將點(diǎn)（3，2）代入得k=4，所以雙曲線方程為－＝1

點(diǎn)評(píng)：求雙曲線的方程，關(guān)鍵是求a、b，在解題過程中應(yīng)熟悉各元素（a、b、c、e及準(zhǔn)線）之間的關(guān)系，并注意方程思想的應(yīng)用若已知雙曲線的漸近線方程ax±by=0，可設(shè)雙曲線方程為a²x²－b²y²=λ（λ≠0）。

例2. 設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)M（－1，0）、N（1，0）距離之差為2m，到x軸、y軸距離之比為2，求m的取值范圍。

分析：由|PM|－|PN|=2m，得||PM|－|PN||=2|m|知點(diǎn)P的軌跡是雙曲線，由點(diǎn)P到x軸、y軸距離之比為2，知點(diǎn)P的軌跡是直線，由交軌法求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得m的取值范圍。

解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），依題意得=2，

即y=±2x（x≠0）                              ①

因此，點(diǎn)P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三點(diǎn)不共線，

從而得  ||PM|－|PN||<|MN|=2

∵||PM|－|PN||=2|m|>0，

∴0<|m|<1

因此，點(diǎn)P在以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2|m|的雙曲線上

故－=1                   ②

將①代入②，并解得x²=，

∵1－m²>0，∴1－5m²>0

解得0<|m|<，

即m的取值范圍為（－，0）∪（0，）

評(píng)述：本題考查了雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程等基本知識(shí)，考查了邏輯思維能力及分析問題、解決問題的能力。解決此題的關(guān)鍵是用好雙曲線的定義。

例3. 已知a∈[0，π]， 設(shè)討論隨a值的變化，方程x²sina+y²cosa=1表示的曲線形狀。

解：（1）a=0時(shí)，兩直線y=1和y= －1；

（2）a=π/2時(shí)，兩直線x=1和x=－1；

（3）0<a<π/2時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；

（4）a=π/4時(shí)，半徑為的圓；

（5）π/4<a<π/2時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；

（6）π/2<a<π時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓雙曲線方程的形式和分類討論思想。

例4. 一雙曲線以y軸為其右準(zhǔn)線，它的右支過點(diǎn)M（1，2），且它的虛半軸、實(shí)半軸、半焦距長(zhǎng)依次構(gòu)成一等差數(shù)列。試求：

（1）雙曲線的離心率；

（2）雙曲線的右焦點(diǎn)F的軌跡方程；

（3）過點(diǎn)M，F的弦的另一端點(diǎn)Q的軌跡方程。

解：（1）依題意，2a=b+c， ∴b²=（2a－c）² = c²－a²，  5a²－4ac=0，

兩邊同除以a²， 得；

（2）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)F（x，y）， 由雙曲線的定義，點(diǎn)M到右焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離之比為e=，

∴=，

∴F的軌跡方程為（x－1）²+（y－2）²=

（3）設(shè)Q（x，y）， 點(diǎn)Q到右焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)Q到準(zhǔn)線的距離之比為5/4，

∴|QF|=，

又設(shè)點(diǎn)F（x₁，y₁）， 則點(diǎn)F分線段QA的比為=:= x ，

∴x₁==， y₁==，

代入（x₁－1）²+（y₁－2）²=整理得：

點(diǎn)Q的軌跡方程為  9x²－16y²+82x+64y－55=0

例5. 已知雙曲線的方程為，直線通過其右焦點(diǎn)F₂，且與雙曲線的右支交于A、B兩點(diǎn)，將A、B與雙曲線的左焦點(diǎn)F₁連結(jié)起來，求|F₁A|·|F₁B|的最小值。

解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

A到雙曲線的左準(zhǔn)線x= －= －的距離d=|x₁+|=x₁+，

由雙曲線的定義，=e=，

∴|AF₁|=（x₁+）=x₁+2，

同理，|BF₁|=x₂+2，

∴|F₁A|·|F₁B|=（x₁+2）（x₂+2）=x₁x₂+（x₁+x₂）+4    （1）

雙曲線的右焦點(diǎn)為F₂（，0），

（1）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)設(shè)直線AB的方程為：y=k（x－），

由消去y得  （1－4k²）x²+8k²x－20k²－4=0，

∴x₁+x₂=，  x₁x₂= －，

代入（1）整理得

|F₁A|·|F₁B|=+4=+4

=+4=+

∴|F₁A|·|F₁B|>；

（2）當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，容易算出|AF₂|=|BF₂|=，

∴|AF₁|=|BF₁|=2a+=（雙曲線的第一定義）， ∴|F₁A|·|F₁B|=

由（1），（2）得：當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)|F₁A|·|F₁B|取最大值

例6. 已知雙曲線的方程是16x²－9y²=144。

（1）求這雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和漸近線方程；

（2）設(shè)F₁和F₂是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且|PF₁|·|PF₂|=32，求∠F₁PF₂的大小。

解：（1）由16x²－9y²=144得－=1，

∴a=3，b=4，c=5

焦點(diǎn)坐標(biāo)F₁（－5，0），F₂（5，0），離心率e=，漸近線方程為y=±x。

（2）||PF₁|－|PF₂||=6，cos∠F₁PF₂=

===0

∴∠F₁PF₂=90°

小結(jié)：

1. 由給定條件求雙曲線的方程，常用待定系數(shù)法。首先是根據(jù)焦點(diǎn)位置設(shè)出方程的形式（含有參數(shù)），再由題設(shè)條件確定參數(shù)值，應(yīng)特別注意：

（1）當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，方程可能有兩種形式，應(yīng)防止遺漏；

（2）已知漸近線的方程bx±ay=0，求雙曲線方程，可設(shè)雙曲線方程為b²x²－a²y²=λ（λ≠0），根據(jù)其他條件確定λ的值若求得λ＞0，則焦點(diǎn)在x軸上，若求得λ＜0，則焦點(diǎn)在y軸上。

2. 由已知雙曲線的方程求基本量，注意首先應(yīng)將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再計(jì)算，并要特別注意焦點(diǎn)位置，防止將焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程寫錯(cuò)。

3. 解題中，應(yīng)重視雙曲線兩種定義的靈活應(yīng)用，以減少運(yùn)算量。

4. 對(duì)概念的理解要準(zhǔn)確到位，注意答案的多種可能性；擅于將幾何關(guān)系與代數(shù)關(guān)系相互轉(zhuǎn)化；把平面解析幾何問題轉(zhuǎn)化為向量、平面幾何、三角函數(shù)、定比分點(diǎn)公式、不等式、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)、復(fù)數(shù)等問題；注意參量的個(gè)數(shù)及轉(zhuǎn)化；養(yǎng)成化簡(jiǎn)整理的習(xí)慣。

【模擬試題】

1. 動(dòng)圓與兩圓和都外切，則動(dòng)圓圓心軌跡是  （    ）

A. 圓              B. 橢圓                 C. 雙曲線                 D. 雙曲線的一支

2. 已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過且垂直于軸的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn)，若是正三角形，那么雙曲線的離心率為 （    ）

    A.             B.                  C. 2                      D. 3

3. 已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P、Q為右支上的兩點(diǎn)，直線PQ過，且傾斜角為，則的值為 （      ）

A.           B. 8                       C.             D. 隨的大小變化

4. 過雙曲線的右焦點(diǎn)作直線交曲線于A、B兩點(diǎn)，若則這樣的直線存在    （     ）

A. 0條                    B. 1條                     C. 2條             D. 3條

5. 直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是   （     ）

A. 0個(gè)                    B. 1個(gè)                    C. 2個(gè)              D. 3個(gè)

6. P為雙曲線上一點(diǎn)，為一個(gè)焦點(diǎn)，以為直徑的圓與圓的位置關(guān)系為       （    ）

A. 內(nèi)切             B. 外切             C. 內(nèi)切或外切         D. 無(wú)公共點(diǎn)或相交

7. 是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足，則的面積為      （    ）

A. 1               B.             C. 2                        D.

8. 雙曲線－=1的漸近線方程是

A. y=±x        B. y=±x            C. y=±x                D. y=±x

9. 過點(diǎn)（2，－2）且與雙曲線－y²=1有公共漸近線的雙曲線方程是

A. －=1                              B. －=1 

C. －=1                              D. －=1

10. 如果雙曲線－＝1上一點(diǎn)P到它的右焦點(diǎn)的距離是8，那么P到它的右準(zhǔn)線距離是

A. 10              B.                 C. 2                 D.  

11. 若橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為_______

12. 雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率為________。

13. 等軸雙曲線的離心率為_________。

14. 已知圓C過雙曲線－=1的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，且圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是____________。

15. 已知雙曲線x²－=1與點(diǎn)P（1，2），過P點(diǎn)作直線l與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，若P為AB中點(diǎn)。

（1）求直線AB的方程；

（2）若Q（1，1），證明不存在以Q為中點(diǎn)的弦。

16. 雙曲線kx²－y²＝1，右焦點(diǎn)為F，斜率大于0的漸近線為l，l與右準(zhǔn)線交于A，FA與左準(zhǔn)線交于B，與雙曲線左支交于C，若B為AC的中點(diǎn)，求雙曲線方程。

【試題答案】

1. D   

       解析：外切條件：

2. B

3. A

解析：用雙曲線定義列方程可解

4. D

解析：x軸時(shí)的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)AB=4最短，為通徑，故交右半支弦長(zhǎng)為4的直線恰有一條；過右焦點(diǎn)交左右兩支的符合要求的直線有兩條。

5. D

解析：（0，5）點(diǎn)為完整雙曲線和橢圓的極值點(diǎn)，故y=5為其切線，當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，直線必與每個(gè)曲線交于兩點(diǎn)。

6. C

解析：用兩圓內(nèi)切或外切的條件判斷

7. A

解析：勾股定理，雙曲線定義聯(lián)立方程組或面積公式。

8. A

解析：由雙曲線方程可得焦點(diǎn)在x軸上，a=2，b=3

∴漸近線方程為y=±x=±x

9. A

解析：可設(shè)所求雙曲線方程為－y²=λ，把（2，－2）點(diǎn)坐標(biāo)代入方程得λ=－2

10. D

解析：利用雙曲線的第二定義知P到右準(zhǔn)線的距離為=8×=

11.

解析：

12.

13.

解析：漸近線垂直，開口開闊與否的分界值。

14.

解析：由雙曲線的幾何性質(zhì)易知圓C過雙曲線同一支上的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，所以圓C的圓心的橫坐標(biāo)為4。故圓心坐標(biāo)為（4，±），易求它到中心的距離為。

  15. （1）解：設(shè)過P（1，2）點(diǎn)的直線AB方程為y－2=k（x－1），

代入雙曲線方程得（2－k²）x²+（2k²－4k）x－（k⁴－4k+6）=0

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x₁+x₂=－，

由已知=x_p=1，∴=2解得k=1

又k=1時(shí)，Δ=16＞0，從而直線AB的方程為x－y+1=0

（2）證明：按同樣方法求得k=2，而當(dāng)k=2時(shí)，Δ＜0，所以這樣的直線不存在

16. 解：由題意k＞0，c=，漸近線方程l為y=x，

準(zhǔn)線方程為x=±，于是A（，），

直線FA的方程為 y=，于是B（－，）

由B是AC中點(diǎn)，則x_C=2x_B－x_A＝－，y_C=2y_B－y_A＝

將x_C、y_C代入方程kx²－y²＝1，得k²c⁴－10kc²＋25＝0

解得k（1+）＝5，則k＝4

所以雙曲線方程為4x²－y²＝1