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也稱圓錐曲線或圓錐截線，是直圓錐面的兩腔被一平面所截而得的曲線。當(dāng)截面不通過錐面的頂點(diǎn)時(shí)，曲線可能是圓、橢圓、雙曲線、拋物線。當(dāng)截面通過錐面的頂點(diǎn)時(shí)，曲線退縮成一點(diǎn)、一直線或二相交直線。在截面上的直角坐標(biāo)系(x,y)之下,這些曲線的方程是x,y的二元二次方程：  。若截面不通過錐面的頂點(diǎn)，令截面與錐面軸線所成的角為θ,錐面的半頂角為α，則當(dāng) 時(shí)，所截曲線為圓；當(dāng) 時(shí)，截面與錐面的所有母線都相交,所截曲線為橢圓；當(dāng)θ=α時(shí)，截面與錐面的一條母線平行，所截曲線為拋物線；當(dāng)0≤θ<α時(shí),截面與錐面的兩條母線平行，所截曲線為雙曲線。 焦點(diǎn)與準(zhǔn)線 如果圓錐曲線不是圓，則在圓錐曲線所在的平面上存在一定點(diǎn)和一定直線，使得圓錐曲線上任何一點(diǎn)到該定點(diǎn)和定直線的距離之比為常數(shù)，這個(gè)定點(diǎn)稱為圓錐曲線的焦點(diǎn)，定直線稱為圓錐曲線的準(zhǔn)線。為了得到焦點(diǎn)與準(zhǔn)線，只需作一個(gè)球面內(nèi)切于圓錐面并同時(shí)與圓錐曲線所在的平面σ相切。設(shè)球面與平面σ相切于點(diǎn)F，球面與圓錐面相切于一個(gè)圓,這個(gè)圓所在的平面為ω，ω 與σ相交于直線l，則點(diǎn)F，就是焦點(diǎn)，直線l就是準(zhǔn)線（圖1）。  二次曲線圖冊(cè) 二次曲線圖冊(cè)。其中θ,α都與P在曲線上的位置無關(guān)，所以是常數(shù)。這個(gè)常數(shù)稱為圓錐曲線的離心率，記為e。當(dāng)截線是橢圓時(shí)，e<1；當(dāng)截線是雙曲線時(shí)，e>1；當(dāng)截線是拋物線時(shí)，e=1。對(duì)于橢圓或雙曲線，存在兩個(gè)合于以上要求的球面，因此橢圓或雙曲線都有兩個(gè)焦點(diǎn)與兩條準(zhǔn)線。每個(gè)焦點(diǎn)與其相應(yīng)的準(zhǔn)線都有上述性質(zhì)。拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn)與一條準(zhǔn)線。若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2。如圖2所示的球面與圓錐面相切的圓為C1,C2。這時(shí)對(duì)于橢圓上任意一點(diǎn)P，令通過P的母線OP（O為圓錐面的頂點(diǎn)）與C1、C2的交點(diǎn)分別為A、B。則P到F1的距離｜PF1｜與P到F2的距離｜PF2｜之和為｜PF1｜ ｜PF2｜=｜PA｜ ｜PB｜=｜AB｜。這里｜AB｜是常數(shù),它與點(diǎn)P在橢圓上的位置無關(guān)。這說明了橢圓焦點(diǎn)的一個(gè)重要性質(zhì)，即橢圓上任何一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為常數(shù)。類似地，關(guān)于雙曲線的焦點(diǎn)有性質(zhì)：雙曲線上任何一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)。 圓錐曲線的定義 可以根據(jù)圓錐曲線的上述焦點(diǎn)、準(zhǔn)線性質(zhì)給出圓錐曲線的定義。三種圓錐曲線的統(tǒng)一定義是：在平面內(nèi),設(shè)動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)F（稱為焦點(diǎn)）與一定直線l（稱為準(zhǔn)線）的距離之比等于常數(shù),根據(jù)此常數(shù)小于1、大于1或等于1,此動(dòng)點(diǎn)的軌跡分別稱為橢圓、雙曲線或拋物線。如果分別定義,則為：在平面內(nèi),設(shè)動(dòng)點(diǎn)到二定點(diǎn)（稱為焦點(diǎn)）的距離之和等于常數(shù)，則此動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為橢圓；若動(dòng)點(diǎn)到二定點(diǎn)（稱為焦點(diǎn)）的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)，則此動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線。拋物線仍定義為到一定點(diǎn)與一定直線距離相等的動(dòng)點(diǎn)的軌跡。 以上圓錐曲線的兩種定義是等價(jià)的。 圓錐曲線的方程 為了得到圓錐曲線的方程，必須選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。通過圓錐面的軸并垂直于準(zhǔn)線的平面與圓錐曲線所在平面相交于圓錐曲線的軸。圓錐曲線關(guān)于它的軸是對(duì)稱的。從上面的考慮可知，橢圓和雙曲線還必須關(guān)于二焦點(diǎn)連線F1F2的垂直平分線對(duì)稱。這條垂直平分線與圓錐曲線的軸的交點(diǎn)就是圓錐曲線的中心C。因此對(duì)橢圓或雙曲線而言,適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是把圓錐曲線的軸作為x軸,而過中心C的垂線作為y軸的直角坐標(biāo)系。還可以x軸同上面一樣，而y軸是過一個(gè)頂點(diǎn)（軸與曲線的交點(diǎn)）的切線。還可以取圓錐曲線的軸作為極軸的零方向,而一個(gè)焦點(diǎn)作為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系（見坐標(biāo)系）,則對(duì)于三種圓錐曲線都是適合的。對(duì)于雙曲線而言，還可以形成一個(gè)很自然的斜角坐標(biāo)系，這個(gè)坐標(biāo)系的軸就是相交于中心的兩條漸近線。 拋物線方程 取x軸為拋物線的軸， 而y軸為過頂點(diǎn)的切線（圖3）,令拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離為p（稱為拋物線的半?yún)?shù)）,則得到拋物線的頂點(diǎn)型方程
橢圓方程 取x軸與橢圓的軸一致,而y軸與兩個(gè)頂點(diǎn)之間線段V1V2的垂直平分線一致(圖4  )。y軸與橢圓相交于稱為第二對(duì)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)W1與W2。長(zhǎng)度|V1V2|=2α叫做長(zhǎng)軸，長(zhǎng)度｜W1W2｜=2b叫做短軸；則得到橢圓的中心型方程 。這時(shí)橢圓的焦點(diǎn)是F1(X,0),F2(-X,0)，其中，準(zhǔn)線是,,離心率。方程(α>b)也表示橢圓。 雙曲線方程 與橢圓類似地建立坐標(biāo)系，可以得到雙曲線的中心型方程 。雙曲線沒有短半軸,且只有兩個(gè)頂點(diǎn)V1,V2（圖5）。長(zhǎng)度|V1V2|=2α叫做實(shí)軸。 由于兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離大于兩個(gè)頂點(diǎn)間的距離，所以存在由給出的正數(shù)b。2b叫做虛軸。雙曲線的焦點(diǎn)是F1(X,0),F2(-X,0)。準(zhǔn)線是，，離心率。 數(shù)b的意義可以從下面整理過的方程中看出：
時(shí)，這個(gè)表達(dá)式的極限值是,以這兩極限值作為斜率的兩條直線就是雙曲線的漸近線。只考慮第一象限的情況，從漸近線上的一點(diǎn)(ξ,η)，其中ξ>α，向x軸作一垂線,它與雙曲線相交于點(diǎn)P(x,y)。由于ξ=x，并且從與有y<η。由于從雙曲線方程可以得出 ，在x→時(shí),,所以,或者當(dāng)x→時(shí)，。由此得知x越大，則差 η-y越小。當(dāng)x→時(shí)，雙曲線任意地接近直線。這條直線就是雙曲線的漸近線。從直角邊為α和b及斜邊為X的直角三角形可以求得它對(duì)x軸的傾角。如果把雙曲線的兩條漸近線作為坐標(biāo)軸,則雙曲線的方程是常數(shù)。形如xy＝常數(shù)(≠0)的任何函數(shù)都表示雙曲線。與橢圓的情況類似，方程也表示雙曲線。 方程的一般形式 通過以上圓錐曲線方程的建立，得知任何一種圓錐曲線（拋物線、橢圓、雙曲線）關(guān)于直角坐標(biāo)系的方程都是二元二次方程，因此圓錐曲線可以稱為二次曲線。這一結(jié)論對(duì)于仿射坐標(biāo)系也是成立的。反過來要說明二次曲線的各種可能情況，則需對(duì)一般二元二次方程進(jìn)行討論。兩個(gè)變量x和y的一般二次方程的形式是
，這時(shí)方程化為形式：。這意味著圓錐曲線的軸與坐標(biāo)軸平行了。然后再通過坐標(biāo)系的平移繼續(xù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，平移公式是x′＝x″ ξ，y┡＝y″ η（其中ξ和η 是常數(shù)）。這時(shí)方程化為形式：,對(duì)于這個(gè)方程可以分為兩種情況討論:①如果A≠0且C≠0，選取,,則方程變?yōu)?。當(dāng)N>0時(shí)，此方程所表示的曲線可能是橢圓,可能不存在實(shí)曲線，可能是雙曲線。當(dāng)N=0時(shí)，此方程所表示的曲線可能是一個(gè)點(diǎn)，可能是一對(duì)相交直線。當(dāng)N<0時(shí)，可得到與N>0時(shí)相同的曲線。②如果AC=0，有三種可能性：當(dāng) A=0，C≠0時(shí)，若D≠0，選取ξ,η使得Cη K=0,Cη 2Dξ 2Kη F=0,則方程變?yōu)?img doc360img-src='http://image88.360doc.com/DownloadImg/2015/09/1806/59115536_5.gif' title="二次曲線" alt="二次曲線" src="http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif" data-original="http://a0.att.hudong.com/41/15/01000000000000119081529761541_s.gif" align="absMiddle">，曲線是一拋物線。若D=0,方程是關(guān)于y″的二次方程，因此表示一對(duì)平行直線。當(dāng)A≠0,C=0時(shí),得到與A=0，C≠0時(shí)相同的曲線。當(dāng)A=C=0時(shí)，若D與K不全是零,方程表示一直線。若D=K=0，則F也是零。綜上所述，一般二元二次方程所表示的曲線可以是空集、一點(diǎn)、一條或兩條直線,可以是圓錐曲線。對(duì)于方程αx 2bxy Xy 2dx 2ey ?=0，設(shè)
除坐標(biāo)變換法以外，還可以利用二次曲線方程αx 2bxy Xy 2dx 2ey ? =0系數(shù)的一些函數(shù)來描述二次曲線。經(jīng)過坐標(biāo)變換后，方程的系數(shù)有所改變，但這些函數(shù)的值不變，這些函數(shù)稱為二次曲線的不變量。用到的不變量有：
圓錐曲線的其他類型方程 對(duì)圓錐曲線還可以建立其他類型的方程，并可以從中看到幾種圓錐曲線之間的聯(lián)系。 頂點(diǎn)型方程 首先定義圓錐曲線的參數(shù)。圓錐曲線的參數(shù)指的是通過焦點(diǎn)且垂直于主軸的弦長(zhǎng)，根據(jù)這個(gè)定義,計(jì)算得拋物線y=2px的參數(shù)為2p,橢圓 的參數(shù)為。雙曲線的參數(shù)為橢圓或雙曲線的參數(shù)也可以記為2p，即對(duì)上述橢圓或雙曲線，。 y=2px就是拋物線的頂點(diǎn)型方程。對(duì)于橢圓或雙曲線，根據(jù)其中心型方程,進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換,再引用離心率e，就得圓錐曲線的一個(gè)公共頂點(diǎn)型方程y＝2px-(1－e)x。對(duì)于橢圓 ,0<e<1;對(duì)于雙曲線；對(duì)于拋物線e=1。應(yīng)該注意,圓的頂點(diǎn)型方程也包括在這個(gè)方程之內(nèi),令p=r與e=0,則得到y=2rx-x這正是圓的方程。 極坐標(biāo)方程 太陽系行星的運(yùn)動(dòng)或人造地球衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)都是圍繞一個(gè)引力中心（太陽或地球）的橢圓運(yùn)動(dòng)，對(duì)于這類運(yùn)動(dòng)，最自然并且最常用的坐標(biāo)系是：以引力中心為極點(diǎn)，以運(yùn)行平面上某一固定方向?yàn)闃O軸方向的極坐標(biāo)系。在各種圓錐曲線里，取焦點(diǎn)為極點(diǎn)，取該焦點(diǎn)到與其相應(yīng)的準(zhǔn)線的方向?yàn)闃O軸方向，則可得到在極坐標(biāo)系中所有圓錐曲線的相同形式的方程
對(duì)于拋物線(e=1)當(dāng)，φ=π 時(shí)，r沒有定義。對(duì)于圓或橢圓（e=0或0<e<1），任何φ都對(duì)應(yīng)惟一r值。對(duì)于雙曲線(e>1)，當(dāng) 時(shí)，即角φ的終邊與漸近線平行時(shí)，r沒有定義。 二級(jí)曲線與二階曲線 曲線作為點(diǎn)的集合，在這個(gè)觀點(diǎn)下，二次曲線也稱為二階曲線。曲線也可以作為直線的集合。直線 ux υy w=0的系數(shù)u,υ,w稱為該直線的齊次坐標(biāo)，坐標(biāo)滿足 ,（其中α、b、с、d、e、?是實(shí)數(shù)且α、b、с不全為零）的直線集合稱為二級(jí)曲線。有時(shí)也把這個(gè)直線集合的包絡(luò)曲線稱為二級(jí)曲線。非退化二階曲線的切線集合構(gòu)成二級(jí)曲線，如果二階曲線的方程是αx 2bxy сy＋2dx＋2ey＋?＝0，則其切線構(gòu)成的二級(jí)曲線方程是 其中 A、B、C、D、K、F分別是α、b、с、d、e、?在里的代數(shù)余子式。 二次曲線既可以看作二階曲線也可以看作二級(jí)曲線。但對(duì)高次代數(shù)曲線，其階數(shù)與級(jí)數(shù)不相同。 從射影的觀點(diǎn)來看，二階曲線可以定義如下：兩個(gè)不同中心S，S′成射影對(duì)應(yīng)的線束S(α1,α2,…)與S′(α ,α,…)的對(duì)應(yīng)直線的交點(diǎn)的集合稱為二階曲線。而二級(jí)曲線則可以定義為兩個(gè)不同底的成射影對(duì)應(yīng)的點(diǎn)列的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的集合。根據(jù)這種定義知：六個(gè)點(diǎn) A1,A2,…,A6屬于同一個(gè)二階曲線的條件是：線束A1(A3,A4,A5,A6)與A2(A3,A4,A5,A6)成射影對(duì)應(yīng),對(duì)偶地可得六條直線屬于同一個(gè)二級(jí)曲線的條件。 參考書目 G.Salmon,A treatise on conic Section, 6th ed., Chelsea,New York,1962. 孫澤瀛著，《解析幾何學(xué)》，高等教育出版社，北京，1958。
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