專(zhuān)題：破解數(shù)學(xué)客觀題

客觀題活而不難,其特征表現(xiàn)在以下5點(diǎn):

1.考察思維難度

2.考察數(shù)形結(jié)合

3.知識(shí)再生性問(wèn)題(突出公式和定理得記憶)

4.計(jì)算量大,技巧要求高

5.競(jìng)賽思想的題型呈增加趨勢(shì)

七招破解數(shù)學(xué)客觀題

（一）抓住本質(zhì)，回歸定義。

（二）定性分析，多想少算。

（三）大膽假設(shè)估算，快速定奪。

（四）運(yùn)用特例求解，以點(diǎn)代面。

（五）靈活應(yīng)對(duì)，巧解開(kāi)放性題。

（六）嚴(yán)防粗心大意，謹(jǐn)防易錯(cuò)警醒題。

（七）沉著冷靜，隨機(jī)應(yīng)變做好創(chuàng)新題

友情提示：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較好，分?jǐn)?shù)在125分以上的同學(xué)，填空題、選擇題共同的時(shí)間應(yīng)控制在45分鐘左右，稍長(zhǎng)一點(diǎn)也可以，但最好不要超過(guò)一小時(shí)。如果模擬分?jǐn)?shù)在90分左右的同學(xué)，時(shí)間應(yīng)該在一小時(shí)左右。

專(zhuān)題：破解數(shù)學(xué)客觀題--填空題

.考點(diǎn)闡釋1．填空題詮釋  填空題是數(shù)學(xué)高考的三種基本題型之一

填空題又叫填充題，是將一個(gè)數(shù)學(xué)真命題，寫(xiě)成其中缺少一些語(yǔ)句的不完整形式，要求學(xué)生在指定的空位上，將缺少的語(yǔ)句填寫(xiě)清楚、準(zhǔn)確。它是一個(gè)不完整的陳述句形式，填寫(xiě)的可以是一個(gè)詞語(yǔ)、數(shù)字、符號(hào)、數(shù)學(xué)語(yǔ)句等；

填空題是一類(lèi)古老的題型，近幾年來(lái)它又重新煥發(fā)出新的青春，成為高考中創(chuàng)新型試題與開(kāi)放型試題的“試驗(yàn)田”。因此，填空題在試卷上新題紛呈，百花齊放，但失分率較高，是高考考生成績(jī)區(qū)分的標(biāo)志，需要各位同學(xué)認(rèn)真應(yīng)對(duì)。

填空題主要有兩類(lèi)：一類(lèi)是定量的，一類(lèi)是定性的。填空題大多是定量的，近幾年才出現(xiàn)定性型的具有多重選擇性的填空題，當(dāng)然以上二者兼而有之的混合型填空題近年也嶄露頭角。

填空題缺少選擇支的信息，故解答題的求解思路可以原封不動(dòng)地移植到填空題上。但填空題既不用說(shuō)明理由，又無(wú)須書(shū)寫(xiě)過(guò)程，因而解選擇題的有關(guān)策略、方法有時(shí)也適合于填空題。

填空題大多能在課本中找到原型和背景，故可以化歸為我們熟知的題目或基本題型。填空題不需過(guò)程，不設(shè)中間分，更易失分，因而在解答過(guò)程中應(yīng)力求準(zhǔn)確無(wú)誤。

填空題的解答要求：①對(duì)于計(jì)算型填空題要運(yùn)算到底，結(jié)果要規(guī)范；②填空題所填結(jié)果要完整，不可缺少一些限制條件；③填空題所填結(jié)論要符合高中數(shù)學(xué)教材要求。

解答填空題平均每小題3分鐘，一般控制在15-18分鐘左右。

填空題不要求學(xué)生書(shū)寫(xiě)推理或者演算的過(guò)程，只要求直接填寫(xiě)結(jié)果，它和選擇題一樣，能夠在短時(shí)間內(nèi)作答，因而可加大高考試卷卷面的知識(shí)容量，同時(shí)也可以考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解、數(shù)量問(wèn)題的計(jì)算解決能力和推理論證能力。

2．解答填空題的基本原則是“小題不能大做”，解題的策略是“巧做”。填空題解題策略

傳統(tǒng)型填空題：

（1）直接求解法

直接求解法是直接從題設(shè)出發(fā)，抓住命題的特征，利用定義、性質(zhì)、定理、公式等，經(jīng)過(guò)變形、推理、計(jì)算、判斷而得結(jié)果。這是解填空題時(shí)常用的基本方法；

（2）特殊值法

當(dāng)填空題有暗示，結(jié)論唯一或其值為定值時(shí)，我們可以取一些特殊值來(lái)確定這個(gè)“定值”，特別適用于題目的條件是從一般性的角度給出的問(wèn)題；

（3）數(shù)形結(jié)合法

由于填空題不必寫(xiě)出論證過(guò)程，因而可以畫(huà)出輔助圖形進(jìn)行分析并幫助解答；

（4）等價(jià)轉(zhuǎn)化法

將所給的命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為另一種容易理解的語(yǔ)言或容易求解的模式；

（5）升華公式法

在解填空題時(shí)，常由升華的公式解答，使之起點(diǎn)高、速度快、準(zhǔn)確率高；

（6）特征分析法

有些問(wèn)題看似非常復(fù)雜，一旦挖掘出其隱含的數(shù)量或位置等特征，此問(wèn)題就能迎刃而解；

（7）歸納猜想法

由于填空題不要求推證過(guò)程，因此，我們也可用歸納、猜想得出結(jié)論；

開(kāi)放型填空題

（1）多選型填空題

    多選型填空題是指：給出若干個(gè)命題或結(jié)論，要求從中選出所有滿(mǎn)足題意的命題或結(jié)論。這類(lèi)題不論多選還是少選都是不能得分的。因此，要求同學(xué)們有扎實(shí)的基本功，而舉反例是否定一個(gè)命題的最有效方法；

（2）探索型填空題

 探索型填空題是指：從給定的題設(shè)中探究其相應(yīng)的結(jié)論，或從題目的要求中探究其必須具備的相應(yīng)條件；

（3）新定義型填空題

即定義新情景，給出一定容量的新信息（考生未見(jiàn)過(guò)），要求考生依據(jù)新信息進(jìn)行解題。這樣必須緊扣新信息的意義，學(xué)會(huì)語(yǔ)言的翻譯、新舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化，便可使問(wèn)題順利獲解；

（4）組合型填空題

組合型填空題是指：給出若干個(gè)論斷要求考生將其重新組合，使其構(gòu)成符合題意的命題。解題時(shí)，要求考生對(duì)知識(shí)點(diǎn)間的關(guān)系有一個(gè)透徹的理解和掌握，準(zhǔn)確地闡述自己的觀點(diǎn)，理清思路，進(jìn)而完成組合順序；

3．填空題減少失分的方法

（1）回顧檢驗(yàn)：填空題解答之后再回顧，即再審題，這是最起碼的一個(gè)環(huán)節(jié)，可以避免審題上帶來(lái)的某些明顯的錯(cuò)誤；

（2）賦值檢驗(yàn)：若答案是無(wú)限的、一般性結(jié)論時(shí)，可賦予一個(gè)或幾個(gè)特殊值進(jìn)行檢驗(yàn)，以避免知識(shí)性錯(cuò)誤；

（3）逆代檢驗(yàn)：若答案是有限的、具體的數(shù)據(jù)時(shí)，可逐一代入進(jìn)行檢驗(yàn)，以避免因擴(kuò)大自變量的允許值范圍而產(chǎn)生增解致錯(cuò)；

（4）估算檢驗(yàn)：當(dāng)解題過(guò)程中是否等價(jià)變形難以把握時(shí)，可用估算的方法進(jìn)行檢驗(yàn)，以避免忽視充要條件而產(chǎn)生邏輯性錯(cuò)誤；

（5）作圖檢驗(yàn)：當(dāng)問(wèn)題具有幾何背景時(shí)，可通過(guò)作圖進(jìn)行檢驗(yàn)，以避免一些脫離事實(shí)而主觀意想的錯(cuò)誤；

（6）多種檢驗(yàn)：一種方法解答之后，再用其它方法解之，看它們的結(jié)果是否一致，從而可避免單一的方法造成的策略性錯(cuò)誤；

（7）靜態(tài)檢驗(yàn)：當(dāng)問(wèn)題處在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)但結(jié)果是定值時(shí)，可取其特殊的靜止?fàn)顟B(tài)進(jìn)行檢驗(yàn)，以避免非智力因素引起的心理性錯(cuò)誤。

填空題是一種傳統(tǒng)的題型，也是高考試卷中又一常見(jiàn)題型。近幾年高考，都有一定數(shù)量的填空題，且穩(wěn)定了4個(gè)小題左右，每題4分，共16分，約占全卷總分的11％。

出題點(diǎn)多在：簡(jiǎn)單難度的填空題為分段函數(shù)求值、導(dǎo)數(shù)和定積分的求解以及簡(jiǎn)單的三角、數(shù)列問(wèn)題；中等難度的填空題為三角、數(shù)列、解析幾何、立體幾何的求值問(wèn)題；難度較大的填空題為考察合情推理的開(kāi)放題；

@試題精析

題型1：傳統(tǒng)解法之直接求解法：直接從題設(shè)條件出發(fā)，經(jīng)一系列變形、推理、計(jì)算，得出結(jié)論。

  注意：由于填空題不需要解題過(guò)程，因而可以省去某些步驟，大跨度前進(jìn)，可配合心算、速算，力求快速，避免“小題大做”

例18：（2007年北京某區(qū)二模）過(guò)拋物線 的焦點(diǎn) 作垂直于 軸的直線，交拋物線于   兩點(diǎn)，則以 為圓心   為直徑的圓方程是________________  

這道題主要是利用拋物線的定義，直接可以算出圓的半徑，從而完成圓的方程。

例8（2007年北京理）       

高考數(shù)學(xué)主要是考查學(xué)生對(duì)基本概念、基本公式的應(yīng)用，也考查學(xué)生的一些基本技能和技巧。

例1、滿(mǎn)足條件 的集合M的個(gè)數(shù)為       8       。

例2  （2007年四川）下面有五個(gè)命題：

下面有五個(gè)命題：

①函數(shù)y=sin4x-cos4x的最小正周期是 .

②終邊在y軸上的角的集合是{a|a= |.

③在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象有三個(gè)公共點(diǎn).④把函數(shù)

⑤函數(shù)

其中真命題的序號(hào)是           （寫(xiě)出所言  ）

解答：① ，正確；②錯(cuò)誤；③ ， 和 在第一象限無(wú)交點(diǎn)，錯(cuò)誤；④正確；⑤錯(cuò)誤．故選①④．

【點(diǎn)評(píng)】  本題通過(guò)五個(gè)小題全面考查三角函數(shù)的有關(guān)概念、圖象、性質(zhì)的基礎(chǔ)知識(shí). 三角函數(shù)的概念，在今年的高考中，主要是以選擇、填空的形式出現(xiàn)，每套試卷都有不同程度的考查.

例3（2007年安徽）函數(shù) 的圖象為C：

①    圖象 關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng);

②    ②函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)是增函數(shù);

③由 的圖象向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到圖象 .

   以上三個(gè)論斷中正確論斷的個(gè)數(shù)為

  （A）0             （B）1            （C）2        （D）3

解答 C  ①圖象 關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng)，當(dāng)k=1時(shí)，圖象C關(guān)于 對(duì)稱(chēng)；①正確；②x∈ 時(shí)， ∈(－ ， )，∴ 函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)是增函數(shù)；②正確；③由 的圖象向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到 ，得不到圖象，③錯(cuò)誤；∴ 正確的結(jié)論有2個(gè)，選C.

【點(diǎn)評(píng)】  本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)及三角函數(shù)圖象的平移變換.

例4．在函數(shù) a、b、c成等比數(shù)列且 ，則f(x)有最____大___值且該值為_(kāi)__-3____；

解析：因?yàn)閍、b、c成等比數(shù)列，可設(shè)b=aq， ，則 ，

     例5. 已知向量 ，若 與 垂直，則實(shí)數(shù)k等于______________；

解析：因?yàn)?，

題型2：傳統(tǒng)解法之特值法當(dāng)，填空題暗示結(jié)論唯一或其值為定值時(shí)，可取特例求解。

例5（湖北卷）設(shè)等比數(shù)列 的公比為q，前n項(xiàng)和為S-n，若Sn+1,S-n，Sn+2成等差數(shù)列，則q的值為     -2          .

例6．設(shè)a>b>1，則 的大小關(guān)系是______________；

    解析：考慮到三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是確定的，不妨令： ， ；

    例7．設(shè) 是公比為q的等比數(shù)列， 是它的前n項(xiàng)和，若 是等差數(shù)列，則q=______________；

    解析：因?yàn)榉橇愕某?shù)列 是公比為1的等比數(shù)列，且前n項(xiàng)和數(shù)列{nc}是公差為c的等差數(shù)列，可知q=1；

例8．橢圓 的焦點(diǎn)為 ，點(diǎn)P為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) 為鈍角時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是_______________________；

解析：設(shè)P(x，y)，則當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為 ，由此可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo) 。

又當(dāng)P在x軸上時(shí)， ，點(diǎn)P在y軸上時(shí)， 為鈍角，由此可得點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是： ；

題型3：傳統(tǒng)解法之?dāng)?shù)形結(jié)合法：借助于圖形進(jìn)行直觀分析，并輔之以簡(jiǎn)單計(jì)算得出結(jié)論。

例9、設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件： ，則z＝3x＋2y的最大值是＿＿5＿＿。

例10．若函數(shù) 上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a、b的取值范圍是___________________；

    解析：由已知可畫(huà)出下圖，符合題設(shè)，故a>0且 。

題型4：傳統(tǒng)解法之等價(jià)轉(zhuǎn)化法

例10．二次函數(shù) 的部分對(duì)應(yīng)值如下表，則不等式 的解集是_______________；

     解析：由已知， 可轉(zhuǎn)化為y=a（x+2）（x－3）；

題型5：傳統(tǒng)解法之特征分析法

    例11．已知函數(shù) ，那么 =______________。

    解析：本題特征是： ，故原式 。

題型6：傳統(tǒng)解法之歸納猜想法

    例12. 設(shè) 是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且 （n=1，2，3，……），則它的通項(xiàng)公式是 ________________。

    解析：因?yàn)?，所以 ，而 ，則 。

    ，

。

例13 方程 ____________。（結(jié)果精確到0.1）

解析：由已知， 。而 ，又結(jié)果需要精確到0.1，所以當(dāng)x=2.6時(shí)， ，故填 。

題型7：開(kāi)放型填空題之多選型填空題

例14．若干個(gè)能唯一確定一個(gè)數(shù)列的量稱(chēng)為該數(shù)列的“基量”。 是公比為q的無(wú)窮等比數(shù)列，下列“基量”為_(kāi)________組；

    （1） ；（2） ；（3） ；（4）q與 （n為大于1的整數(shù)， 為 的前n項(xiàng)和）

    解析：因 與q確定，則唯一確定一個(gè)數(shù)列，對(duì)（1） 確定，即 確定，即 ；對(duì)（2）當(dāng) 時(shí)，有 ，q=2這兩個(gè)數(shù)列；對(duì)（3）當(dāng)n為奇數(shù)， 時(shí)， 相等；對(duì)（4）q確定， 是唯一的。故填（1）（4）。

題型8：開(kāi)放型填空題之探索型填空題

    例15．若兩個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為5cm、4cm、3cm，把它們兩個(gè)全等的面重合在一起組成大長(zhǎng)方體，則大長(zhǎng)方體的對(duì)角線最大為_(kāi)_______cm。

    解析：當(dāng)大長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為5cm、4cm、6cm時(shí)，其對(duì)角線長(zhǎng)為 cm。

    當(dāng)大長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為5cm、8cm、3cm時(shí)，其對(duì)角線長(zhǎng)為 cm。

    當(dāng)大長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為10cm、4cm、3cm時(shí)，其對(duì)角線長(zhǎng)為 cm。

綜上，大長(zhǎng)方體的對(duì)角線最大為 cm。

題型9：開(kāi)放型填空題之新定義型填空題

例16．定義“等和數(shù)列”，在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。

    已知數(shù)列 是等和數(shù)列且 ，公和為5，那么 的值為_(kāi)______，且這個(gè)數(shù)列前21項(xiàng)和 的值為_(kāi)____________。

    解：由定義及已知，該數(shù)列為{2，3，2，3，……}，所以 。

題型10：開(kāi)放型填空題之組合型填空題

    例17． 是兩個(gè)不同的平面，m、n是平面 之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷：（1） ，（2） ，（3） ，（4） 。以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題________     _；

    解析：通過(guò)線面關(guān)系，不難得出正確的命題有：

題型11：填空題檢驗(yàn)方法

回顧檢驗(yàn)

由于考試時(shí)時(shí)間緊張，有些學(xué)生做題只顧速度快，不注意題目的條件，錯(cuò)看漏看條件從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。避免這樣的錯(cuò)誤要求同學(xué)們平時(shí)解題時(shí)養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣和解題后再回顧審視題目反思的習(xí)慣。

若題目求的是方程的解、參數(shù)值等有限的、具體的數(shù)據(jù)時(shí)，可逐一代入進(jìn)行檢驗(yàn)，以避免因擴(kuò)大自變量的允許值范圍而產(chǎn)生增解致誤。

例1（2006遼寧高考題）方程 的解為        ．

錯(cuò)解：由條件得（x—1）（x+1）=4，解得：  

檢驗(yàn)：把 代入原方程檢驗(yàn)知x= 時(shí)對(duì)數(shù)沒(méi)有意義，舍去。故原方程的解是：

例18．滿(mǎn)足條件 且 的角 的集合 _____     ___。

錯(cuò)解： 或 。

檢驗(yàn)：根據(jù)題意，答案中的 不滿(mǎn)足條件 ，應(yīng)改為 ；其次角 的取值要用集合表示。故正確答案為{ }；

（1）    賦值檢驗(yàn)

若答案是無(wú)限的、一般性結(jié)論時(shí)，可賦予一個(gè)或幾個(gè)特殊值進(jìn)行檢驗(yàn)，以避免知識(shí)性錯(cuò)誤。

例2（2004全國(guó)卷）已知數(shù)列{an}，滿(mǎn)足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，則{an}的通項(xiàng)

            1,           n=1,

      an=               ,n≥2.

錯(cuò)解：由an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)    與

-----①得     

故   得 ！

檢驗(yàn)：當(dāng)n=2時(shí)a2=a1=1知解法有誤，實(shí)際上①式僅對(duì)于 成立。從而 ，得 ?。?）。所以正確的答案是： ?。?）。

例3（06江蘇高考題）對(duì)正整數(shù)n，設(shè)曲線 在x＝2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ，則數(shù)列 的前n項(xiàng)和的公式是　　

正確解答： ，曲線y=xn(1-x)在x=2處的切線的斜率為k=n2n-1-(n+1)2n

切點(diǎn)為（2，-2n）,所以切線方程為y+2n=k(x-2),令x=0得 an=(n+1)2n,令bn= .數(shù)列 的前n項(xiàng)和為2+22+23+…+2n=2n+1-2

檢驗(yàn)：可取n=1，2時(shí)的值驗(yàn)證之。

例19．已知數(shù)列{ }的前 項(xiàng)和為 ，則通項(xiàng)公式 =_________；

錯(cuò)解：

檢驗(yàn)：取 時(shí)，由條件得 ，但由結(jié)論得 。故正確答案為

（3）估算檢驗(yàn)

例20．不等式 的解是___      _______；

錯(cuò)解：兩邊平方得 ，即 ，

解得 ；

檢驗(yàn)：先求定義域得 。若 ，則 ，原不等式成立；若 時(shí)， ，原不等式不成立。故正確答案為 。

（2）    作圖檢驗(yàn)

當(dāng)問(wèn)題具有幾何背景時(shí)，可通過(guò)作圖進(jìn)行檢驗(yàn)，以避免一些主觀意想的錯(cuò)誤。

例4．求過(guò)點(diǎn)P（3，2），且與圓 相切的直線方程。

誤解：設(shè)所求切線方程為 ，即 則圓心（4，1）到此切線的距離等于半徑1，所以  ，

故所求的切線方程為y=2

檢驗(yàn)：作出圖形可以看出過(guò)一點(diǎn)作圓的切線應(yīng)該是兩條。為什么上面的解法只求出一條？原因是另一條是x=3，其斜率不存在。上面做法先設(shè)直線的斜率存在，第一步就把直線x=3排除了。正確的答案是：y=2 或x=3 .

例21．函數(shù) 的遞增區(qū)間是___________；

錯(cuò)解：（ ）

檢驗(yàn)：

作圖可知正確答案為 與 。

（3）    多種檢驗(yàn)

一種方法解答之后，再用其他方法解之，看它們的結(jié)果是否一致，從而可避免方法單一造成的策略性錯(cuò)誤。

例6、從8名男醫(yī)生和7名女醫(yī)生中，選出4名醫(yī)生組成醫(yī)療隊(duì)。其中至少有一名男醫(yī)生和一名女醫(yī)生，共有多少種不同的選法？

錯(cuò)解：先選出1男1女，再?gòu)氖Ｏ碌?3人中選出2人（男女不限），選法共有： （種）

檢驗(yàn)：法1，按男隊(duì)員（或女隊(duì)員）人數(shù)分為三類(lèi)：一男三女，二男二女，三男一女，選法數(shù)共有：

      法2，15名醫(yī)生中選4名有 種選法，其中全由男醫(yī)生或女醫(yī)生組成的不合要求，合要求的選法總數(shù)為：

  從1，2知答案是：1260 。實(shí)際上錯(cuò)解表面上看沒(méi)有問(wèn)題，仔細(xì)一想有大量重復(fù)。如A、B、C與女a(chǎn)組成醫(yī)療隊(duì)，選A、a，再選B、C；先選B、a，再選A、C；選C、a，再選A、B，都組成同一醫(yī)療隊(duì)，此種解法含有很多重復(fù)。這種分步的標(biāo)準(zhǔn)是不對(duì)的。

例22．若 ，則 的最小值是_________。

錯(cuò)解： ，

檢驗(yàn)：上述錯(cuò)解在于兩次使用重要不等式，等號(hào)不可能同時(shí)取到。換一種解法為：

，

的最小值為16。

（6）極端檢驗(yàn)

當(dāng)難以確定端點(diǎn)處是否成立時(shí)，可直接取其端點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn)，以避免考慮不周全的錯(cuò)誤。

例5、已知關(guān)于x的不等式的解集是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 ----________________.

錯(cuò)解：由 ，解得-2< P >

檢驗(yàn)：若a=-2，則原不等式為-1≥0，解集是空集，滿(mǎn)足題意；若a= ，則原不等式為 ，即 ，解得x= ，不滿(mǎn)足題意。

故正確答案為-2≤a< .

（7）靜態(tài)檢驗(yàn)

例23．在正方體 中，M、N分別為棱 的中點(diǎn)，P為棱 上的任意一點(diǎn)，則直線AM與PN所成的角等于________        ；

錯(cuò)解：亂填一個(gè)角。

檢驗(yàn)：設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn) 重合，則容易證明 ，即AM與PN所成角等于 。由題意知所求角是個(gè)定值，故正確答案為 。

&答題指津

一思維總結(jié)

1．在解答填空題時(shí)，基本要求就是：正確、迅速、合理、簡(jiǎn)捷。一般來(lái)講，每道題都應(yīng)力爭(zhēng)在1～3分鐘內(nèi)完成。填空題只要求填寫(xiě)結(jié)果，每道題填對(duì)了得滿(mǎn)分，填錯(cuò)了得零分，所以，考生在填空題上失分一般比選擇題和解答題嚴(yán)重。我們很有必要探討填空題的解答策略和方法；

解答選擇、填空題的基本策略是準(zhǔn)確、迅速。但填空題要保持填寫(xiě)結(jié)果形式和結(jié)果正確，不像解答題能分步得分，稍有不慎就前功盡棄，為此要加強(qiáng)平時(shí)的積累和總結(jié)。

2．根據(jù)填空時(shí)所填寫(xiě)的內(nèi)容形式，可以將填空題分成兩種類(lèi)型：

一是定量型，要求學(xué)生填寫(xiě)數(shù)值、數(shù)集或數(shù)量關(guān)系，如：方程的解、不等式的解集、函數(shù)的定義域、值域、最大值或最小值、線段長(zhǎng)度、角度大小等等。由于填空題和選擇題相比，缺少選擇支的信息，所以高考題中多數(shù)是以定量型問(wèn)題出現(xiàn)。

二是定性型，要求填寫(xiě)的是具有某種性質(zhì)的對(duì)象或者填寫(xiě)給定的數(shù)學(xué)對(duì)象的某種性質(zhì)，如：給定二次曲線的準(zhǔn)線方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率等等。

填空題是數(shù)學(xué)高考的三種基本題型之一，其求解方法分為：直接運(yùn)算推理法、賦值計(jì)算法、規(guī)律發(fā)現(xiàn)法、數(shù)形互助法等等；

解題時(shí)，要有合理的分析和判斷，要求推理、運(yùn)算的每一步驟都正確無(wú)誤，還要求將答案表達(dá)得準(zhǔn)確、完整。合情推理、優(yōu)化思路、少算多思將是快速、準(zhǔn)確地解答填空題的基本要求。

二方法總結(jié)

1. 能夠多角度思考問(wèn)題，靈活選擇方法，是快速準(zhǔn)確地解數(shù)學(xué)填空題的關(guān)鍵。

2．?dāng)?shù)學(xué)填空題，絕大多數(shù)是計(jì)算型(尤其是推理計(jì)算型)和概念(性質(zhì))判斷型的試題，應(yīng)答時(shí)必須按規(guī)則進(jìn)行切實(shí)的計(jì)算或者合乎邏輯的推演和判斷。

3. 解題時(shí)，要有合理的分析和判斷，要求推理、運(yùn)算的每一步驟都正確無(wú)誤，還要求將答案表達(dá)得準(zhǔn)確、完整. 合情推理、優(yōu)化思路、少算多思將是快速、準(zhǔn)確地解答填空題的基本要求.

M08模擬

  1．已知函數(shù) ，那么 +     。

2．若關(guān)于x的方程 有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是                。

3．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若a，b，c成等差

數(shù)列，則                 。

4. （2007·寧夏/海南）設(shè)函數(shù) 為奇函數(shù)，則           .

6．（2007·江西）如圖，在 中，點(diǎn) 是 的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) 的直線分別交直線 、 于不同的兩點(diǎn) ，

若 ，則 的值為            .

   8．若函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng)，則

9． 的展開(kāi)式中 的系數(shù)是

10．若四面體各棱的長(zhǎng)是1或2，且該四面體不是正四面體，則其體積是　　　　　　?。ㄖ恍鑼?xiě)出一個(gè)可能的值）．

11.  如果隨機(jī)變量ξ～N ( ),且P（ ）=0.4，則P（ ）=   

12. 已知集合為 ，它的所有的三個(gè)元素的子集的和是 ，則 ＝            。

13. 橢圓 的焦點(diǎn)為 ，點(diǎn)P為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) 為鈍角時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是_______________________；

14. 若函數(shù) 上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a、b的取值范圍是___________________；

15. 已知 是公差不為零的等差數(shù)列，如果 是 的前n項(xiàng)和，那么

16. 如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形及其內(nèi)切圓，若隨機(jī)向正方形內(nèi)丟一粒豆子，則豆

17. 有些計(jì)算機(jī)對(duì)表達(dá)式的運(yùn)算處理過(guò)程實(shí)行“后綴表達(dá)式”：運(yùn)算符號(hào)緊跟在運(yùn)算對(duì)象的后面，按照從左到右的順序運(yùn)算，如表達(dá)式 ，其運(yùn)算為： ，若計(jì)算機(jī)進(jìn)行運(yùn)算： ，那么使此表達(dá)式有意義的 的范圍為 _____________ ．

  ．

18. 某種汽車(chē)安全行駛的穩(wěn)定性系數(shù)μ隨使用年數(shù)t的變化規(guī)律是μ＝μ0e－λt，其中μ0、λ是正常數(shù)．經(jīng)檢測(cè)，當(dāng)t＝2時(shí)，μ＝0.09μ0，則當(dāng)穩(wěn)定系數(shù)降為0.50μ0時(shí)，該種汽車(chē)的使用年數(shù)為     (結(jié)果精確到1，參考數(shù)據(jù)：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)．

答案

1．已知函數(shù) ，那么 +     。

    提示：計(jì)算之前，應(yīng)認(rèn)真觀察數(shù)式結(jié)構(gòu)特征，因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)決定了解題的方向。

我們從整體考慮： （定值），于是 ， ， ，又 ，  故原式= 。

2．若關(guān)于x的方程 有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是                。

 提示：明確范圍，畫(huà)圖分析。

（運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題）

 易得：

3．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若a，b，c成等差

數(shù)列，則                 。

提示：由題設(shè)可取a=b=c即三角形ABC為等邊三角形，則

        原式= 。   （也可以取a=3，b=4，c=5）

4. （2007·寧夏/海南）設(shè)函數(shù) 為奇函數(shù)，則           .

    提示：由于 是奇函數(shù)，則 ， 。

5． 的值為              。

6．（2007·江西）如圖，在 中，點(diǎn) 是 的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) 的直線分別交直線 、 于不同的兩點(diǎn) ，

若 ，則 的值為            .

7．已知函數(shù) ，則

提示：　由 ，得 ，應(yīng)填4.

請(qǐng)思考為什么不必求 呢？

8．若函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng)，則

提示:由已知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為 ,得a＝0，而 ，有b＝2，故應(yīng)填2.

9． 的展開(kāi)式中 的系數(shù)是

講解　由 知，所求系數(shù)應(yīng)為 的x項(xiàng)的系數(shù)與 項(xiàng)的系數(shù)的和，即有

故應(yīng)填1008.

10．若四面體各棱的長(zhǎng)是1或2，且該四面體不是正四面體，則其體積是　　　　　　?。ㄖ恍鑼?xiě)出一個(gè)可能的值）．

講解  本題是一道很好的開(kāi)放題，解題的開(kāi)竅點(diǎn)是：每個(gè)面的三條棱是怎樣構(gòu)造的，依據(jù)“三角形中兩邊之和大于第三邊”，就可否定｛1，1，2｝，從而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三種形態(tài)，再由這三類(lèi)面構(gòu)造滿(mǎn)足題設(shè)條件的四面體，最后計(jì)算出這三個(gè)四面體的體積分別為： ,  , ，故應(yīng)填. 、  、  中的一個(gè)即可.

11.  如果隨機(jī)變量ξ～N ( ),且P（ ）=0.4，則P（ ）=   

解析：如果隨機(jī)變量ξ～N ( ),且P（ ）=0.4，

 P（ ）= ，

∴ ， ∴P（ ）= 。

12. 已知集合為 ，它的所有的三個(gè)元素的子集的和是 ，則 ＝            。

解析：因?yàn)榘?任意一個(gè)元素 的三元素集合共 個(gè)，所以在 中，每個(gè)元素都出現(xiàn)了 次，所以

，所以

。

13. 橢圓 的焦點(diǎn)為 ，點(diǎn)P為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) 為鈍角時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是_______________________；

解析：設(shè)P(x，y)，則當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為 ，由此可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo) 。

又當(dāng)P在x軸上時(shí)， ，點(diǎn)P在y軸上時(shí)， 為鈍角，由此可得點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是： ；

14. 若函數(shù) 上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a、b的取值范圍是___________________；

    解析：由已知可畫(huà)出下圖，符合題設(shè)，故a>0且 。

題型4：傳統(tǒng)解法之等價(jià)轉(zhuǎn)化法

15. 已知 是公差不為零的等差數(shù)列，如果 是 的前n項(xiàng)和，那么

    解析：　特別取 ，有 ，于是有

16. 如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形及其內(nèi)切圓，若隨機(jī)向正方形內(nèi)丟一粒豆子，則豆子落入圓內(nèi)的概率是________．

解析：因?yàn)檎叫蔚拿娣e是16，內(nèi)切圓的面積是 ，所以豆子落入圓內(nèi)的概率是 ．

17. 有些計(jì)算機(jī)對(duì)表達(dá)式的運(yùn)算處理過(guò)程實(shí)行“后綴表達(dá)式”：運(yùn)算符號(hào)緊跟在運(yùn)算對(duì)象的后面，按照從左到右的順序運(yùn)算，如表達(dá)式 ，其運(yùn)算為： ，若計(jì)算機(jī)進(jìn)行運(yùn)算： ，那么使此表達(dá)式有意義的 的范圍為 _____________ ．

  　解析：計(jì)算機(jī)進(jìn)行運(yùn)算： 時(shí)，它表示的表達(dá)式是 ，當(dāng)其有意義時(shí)，得 ，解得 ．

18. 某種汽車(chē)安全行駛的穩(wěn)定性系數(shù)μ隨使用年數(shù)t的變化規(guī)律是μ＝μ0e－λt，其中μ0、λ是正常數(shù)．經(jīng)檢測(cè)，當(dāng)t＝2時(shí)，μ＝0.09μ0，則當(dāng)穩(wěn)定系數(shù)降為0.50μ0時(shí)，該種汽車(chē)的使用年數(shù)為     (結(jié)果精確到1，參考數(shù)據(jù)：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)．

   解析：由0.90μ0＝μ0(e－λ)2，得e－λ＝，于是

0.50μ0＝μ0(e－λ)t ()t，

兩邊取常用對(duì)數(shù)，lg，解出t＝＝13.1．