與常系數(shù)遞推式相比，變系數(shù)遞推式的解法更為靈活。

一、一階遞推式

對于一階遞推式，雖然有公式求，但使用起來并不方便，不如用如下解法更好。

1. 猜想歸納法

例1. 數(shù)列前n項的和為，已知，寫出，并求關(guān)于n的表達式。

解：時，，可得且，故可猜想。

以下不難用數(shù)學(xué)歸納法證之（略）。

2. 不動點法

若遞推式存在不動點，則可借助不動點構(gòu)造新數(shù)列求解。

例2. 已知，求。

解：令（不動點），原數(shù)列化為

從而。

3. 等價轉(zhuǎn)換法

可考慮將變系數(shù)遞推式轉(zhuǎn)化為常系數(shù)遞推式來解。

例3. 解遞推式，其中。

解：令，則原數(shù)列化為

    ①

其中，①式的特征根為且①的特解為，代入①中得

，得，故①的通解為

，由得。

所以，

從而。

即。

例4. 解遞推式

解：原式變?yōu)?/span>

      ①

令，則①化為

所以

二、二階遞推式

對于二階遞推式

   （1）

若滿足下列情形，可用特殊方法解。

1. 降價法

當(dāng)（1）可化為，其中，，可用遞推法解。

例5. 設(shè)，對一切自然數(shù)n有，求所有能被11整除的值。

解：令原數(shù)列化為

令，原數(shù)列又化為，所以，所以

，由此得

，當(dāng)時，因為能被11整除，故也能被11整除，所以所求答案為，和。

例6. 已知，求。

解：由

，原數(shù)列可化為

從而，所以。

例7. 已知。

解：由

，原數(shù)列可化為

。所以

，設(shè)，用累加法可得

。

所以

2. 化為常系數(shù)遞推式

例8. 解遞推式，求。

解：原數(shù)列即

，

可化為   ①

設(shè)，則①化為

或        ②

或令，則②又可化為，即，解得。

所以。

從而。

例9. 求方程的通項，。

解：原方程即為

令，則①又可化為

        ②

②的特征方程為，其特征根為

。

②的解為，又

從而，

所以

。

三、分式遞推式

對于分式遞推式，若，可用倒數(shù)法化為表示的數(shù)列來解。

例10. 已知滿足

，求通項。

解：將原式兩邊取倒數(shù)化為

故為等比數(shù)列，首項是，公比是，所以，解得。

類似地對也可同法解之。

四、高考綜合題分析

用上述所講方法來考察高考中的綜合題有關(guān)變系數(shù)遞推式的解法是十分有益的，下面分析如下。

例11. 數(shù)列滿足

，（I）用數(shù)學(xué)歸納法證明；（II）已知不等式對成立，證明：，其中…

分析：本題遞推式屬于，用數(shù)學(xué)歸納法可很方便地解決（I），而第（II）部份為利用題設(shè)中，需將放大（利用然后尋找對應(yīng)數(shù)列的不動點來構(gòu)造新數(shù)列便可計算出的上界。

解：（I）略。

（II）用數(shù)學(xué)歸納法易證，故。利用的不動點，可令，上述不等式可化為。

所以，從2到n求和可得

從而，即，故，顯然，，從而有都成立。

例12. 已知數(shù)列滿足，

（I）求數(shù)列的通項公式；

（II）若數(shù)列滿足，證明是等差數(shù)列；

（III）證明

分析：本題第一部分用不動點法很方便，第二部分利用（I）結(jié)論得變系數(shù)遞推式后可用階差法、不動點法或猜想歸納法之一便可解之，第三部分應(yīng)用放縮法可證之。

解：（I）由。

（II）解法1（階差法），由已知得

所以  ①

又，②

得，

可得  ③

且，④

得

所以為等差數(shù)列。

解法2（不動點法）

解法1中③的不動點為，③可化為

由③令，得，所以，所以為常數(shù)數(shù)列，即為等差數(shù)列。

（III）首先

所以。

又求和可得

。

所以