例談圓錐曲線的定義的應(yīng)用

山東博興第二中學(xué)周曉玲

在解題中,有的學(xué)生能自覺地根據(jù)問題的特點(diǎn)應(yīng)用公式, 定理, 法則; 但對(duì)數(shù)學(xué)定義往往未加重視,以至不能及時(shí)地發(fā)現(xiàn)一些促進(jìn)問題迅速獲解的隱含條件,造成舍近求遠(yuǎn),舍簡(jiǎn)求繁的情況. 因此合理應(yīng)用定義是尋求解題捷徑的一種重要方法。圓錐曲線的定義反映了圓錐曲線的本質(zhì)特征， 揭示了曲線存在的條件及其包含的幾何性質(zhì)，靈活運(yùn)用性質(zhì)，靈活運(yùn)用圓錐曲線的定義常常會(huì)給解題帶來(lái)極大方便。下面以圓錐曲線為例，通過幾道題來(lái)談?wù)?span>圓錐曲線的定義在幾個(gè)方面的應(yīng)用。

一、判斷曲線類型

例 1，在正方體ABCD-A¹B¹C¹D¹中,點(diǎn)P是側(cè)面DC¹的動(dòng)點(diǎn)，若P到DC直線與直線A¹D¹的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是(   )

A. 雙曲線  B. 圓   C. 橢圓  D. 拋物線

說明：利用拋物線的定義“到定點(diǎn)與定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線”，在對(duì)圖形稍作分析，既可判斷出動(dòng)點(diǎn)P的估計(jì)所在的曲線是拋物線。

變式練習(xí)

例2：已知圓C:(x+3)²+y²=100及圓內(nèi)一點(diǎn)P（3，0），則過點(diǎn)P且與已知圓內(nèi)切的圓的圓心M的軌跡是（  ）

A. 雙曲線   B. 雙曲線一支  C. 橢圓   D.圓

分析:（1）圓C的半徑與圓心坐標(biāo)可定。

         （2）兩圓內(nèi)切可得：外圓半徑＝內(nèi)圓半徑＋連心距。

    （3）動(dòng)點(diǎn)M滿足的等量關(guān)系：| MC | + | MP | = 10＞| PC |

    （4）由定義可確定動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為以P、C為焦點(diǎn)的橢圓。故選C項(xiàng)。

二、最值問題

例 3：已知： F₁、F₂是雙曲線x²-y²/3=1的左、右焦點(diǎn)，M(6,6)是雙曲線內(nèi)部的一點(diǎn)， P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，求︱PM︱+︱PF₂︱的最小值。

分析：直接把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入，︱PM︱+︱PF₂︱的最小值不容易求出，而和式“︱PM︱+︱PF₂︱”與雙曲線定義形式不符，故考慮是否可設(shè)法轉(zhuǎn)化為“差”的形式，進(jìn)而利用雙曲線定義。

解：如圖，連接PF₁,MF₁,由F₁、F₂是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，M(6,6)是雙曲線內(nèi)部的一點(diǎn)， P是雙曲線x²-y²/3=1右支上的一點(diǎn)，F₁(-2,0)、F₂(2,0)

∴︱MF₁︱=10，︱PF₁︱+︱PF₁︱=2.

∵︱PM︱≥︱MF₁︱-︱PF₁︱

∴︱PM︱+︱PF₂︱≥︱MF₁︱-︱PF₁︱+︱PF₂︱=10-（︱PF₁︱+︱PF₂︱）=8.

說明：本題運(yùn)用雙曲線的定義解題，通過數(shù)形結(jié)合，不僅能抓住問題的本質(zhì)，還能避開復(fù)雜的運(yùn)算，使問題巧妙獲解。

變式1：設(shè)P是拋物線y²=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F拋物線的焦點(diǎn)，若B(3,2),求︱PB︱+︱PF︱的最小值。

說明：此題利用拋物線的定義，將拋物線的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離進(jìn)行互換，從而構(gòu)造出“兩點(diǎn)間線段距離最短”，使問題獲解。

變式2：F₂是橢圓x²/4+y²/3=1的右焦點(diǎn)，若定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1)，則在橢圓上使2|MF₂|+|MA|的值最小點(diǎn)M的坐標(biāo)為      ,其最小值為      。

分析:由雙曲線的第二定義得：2|MF₂|=d, 2|MF₂|+|MA|=d+|MA|≥d_1, d₁=A(1,1)到右準(zhǔn)線x=4的距離

三、求焦點(diǎn)三角形的面積

例4：設(shè)F₁、F₂是雙曲線x²/4-y²=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足

∠F₁PF₂=90°，則的面積是多少？

分析：由題意知△F₁PF₂為直角三角形，

|PF₂|²+|PF₁|² =|F₁F₂|²=20，

結(jié)合雙曲線的定義，可得

(|PF₂|-|PF₁|)² =4a²=16，進(jìn)而問題得解。

變式：設(shè)O為拋物線的頂點(diǎn)，F為拋物線的焦點(diǎn)且PQ為過焦點(diǎn)的弦，若|OF| =a, |PQ|=b，求△OPQ的面積。

說明：將焦點(diǎn)弦分成兩段，利用定義將焦點(diǎn)弦長(zhǎng)用兩端點(diǎn)橫坐標(biāo)表示，結(jié)合方程，利用韋達(dá)定理是常見的基本技能。本題計(jì)算三角形面積的技巧是拋物線中經(jīng)常用到的技巧方法，必須掌握。

四、求軌跡方程

定義法求軌跡方程的含義：先由題設(shè)條件，根據(jù)圓錐曲線的定義能確定曲線的形狀后，直接寫出曲線的方程。例如：

例5：已知?jiǎng)訄AP與圓C₁：(x+3)²+y²=4和圓C₂：(x-3)²+y²=9 都外切求:動(dòng)圓圓心P的軌跡方程。

分析：①?gòu)囊阎獥l件可以確定圓C₁、C₂的圓心C₁（-3，0）、C₂（3，0）

與半徑r₁ =2，r₂=3 

② 兩圓外切可得：兩圓半徑和＝圓心距

設(shè)動(dòng)圓半徑r,依題意有 2+ r = |PC₂| , 3 + r =|PC₁|

兩式相減得：|PC₂|-|PC₁|= r₂-r₁=1<|C₁C₂|

      ③由雙曲線定義得：點(diǎn)P的軌跡是C₁ 、C₂以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支。

變式：1、若動(dòng)圓P與圓C₂內(nèi)切，與圓C₁外切，則動(dòng)圓圓心P的軌跡是什么？

2、若動(dòng)圓P與圓C₁內(nèi)切，與圓C₂外切，則動(dòng)圓圓心P的軌跡是什么？

3、若把圓C₁的半徑改為2，那么動(dòng)圓P的軌跡又是什么？

思考：①上述的結(jié)論是否具有一般性？

與兩個(gè)外離的定圓都外切或與其中一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切的圓的圓心的軌跡都是雙曲線的一支？（當(dāng)兩個(gè)定圓不相等時(shí)，結(jié)論是肯定的，當(dāng)兩定圓相等時(shí)，軌跡為兩定圓連心線的中垂線。）

②利用“定義法”求軌跡方程的關(guān)鍵：找出動(dòng)點(diǎn)滿足的等量關(guān)系。

③步驟：依條件列出等量關(guān)系式；由等式的幾何意義，結(jié)合圓錐曲線的定義確定軌跡的形狀；寫出方程。

例6：已知：△ABC的頂點(diǎn)A(0,-4),B(0,4)且4sinB-sinA=3sinC，

求：頂點(diǎn)C的軌跡

分析：∵|AC|-|BC|=3/4,|AB|=6<|AB| ∴頂點(diǎn)C的軌跡是A 、B以為焦點(diǎn)的雙曲線的上支，因A、B、C三點(diǎn)不共線所以不含雙曲線的上支頂點(diǎn).

五、求距離問題       

例7：AB為拋物線y=x²上的動(dòng)弦，且|AB|=a,a為常數(shù)且a≥1，求弦AB的中點(diǎn)M離x軸的最近距離。

變式：橢圓x²/12+y²/3=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁、F_{2 ,} P在橢圓上，若線段PF₁的中點(diǎn)在Y軸上，則|PF₁|是|PF₂|的幾倍。

六、求圓錐曲線離心率

在高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)中，必修Ⅲ學(xué)習(xí)了平面解析幾何初步，即直線與方程，圓與方程。選修1-1與選修2-1都要學(xué)習(xí)圓錐曲線與方程。高中階段對(duì)圓錐曲線的學(xué)習(xí)，只要是結(jié)合已學(xué)過的曲線及其方程的實(shí)例，了解曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。圓錐曲線的來(lái)龍去脈和幾何背景，對(duì)理科學(xué)生了解圓錐曲線的離心率和統(tǒng)一定義。作為教師更應(yīng)該整體把握教材對(duì)圓錐曲線的定義有深刻地認(rèn)識(shí)，可以用圓錐曲線的定義確定圓錐曲線的本質(zhì)特征，揭示曲線存在的條件及其所包含的幾何性質(zhì)。一般地若題目中出現(xiàn)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和或者是距離之差是常數(shù)，可聯(lián)想第一定義；若題目中出現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是常數(shù)或者是出現(xiàn)“準(zhǔn)線”、“焦半徑”、“離心率e”等信息，可以用第二定義求解。不管在橢圓或雙曲線的問題中，若遇與焦半徑有關(guān)的問題，都可以聯(lián)想用第一定義求解，（例如︱PF₁︱·︱PF₂︱=K，K為常數(shù)）十分方便。總之，靈活應(yīng)用圓錐曲線的定義,優(yōu)化解題思路, 從而得到最優(yōu)解