阿波羅尼烏斯與《圓錐曲線》

阿波羅尼烏斯(約公元前262～前190)是與歐幾里得、阿基米德齊名的大數(shù)學(xué)家，他們?nèi)吮环Q為亞歷山大前期的數(shù)學(xué)三大家。阿波羅尼烏斯在青年時代曾跟歐幾里得的門人學(xué)習(xí)過幾何學(xué)，以后就留在亞歷山大城與當(dāng)?shù)氐臄?shù)學(xué)家們合作研究，使他成名的工作是他關(guān)于圓錐曲線理論方面的建樹。在阿波羅尼烏斯之前，很早就有人研究圓錐曲線了，歐幾里得和阿基米德也都寫過這方面的書。但是，阿波羅尼烏斯還是做出了他獨特的貢獻。由于他曾接受過歐幾里得幾何學(xué)的訓(xùn)練，因此他按照歐幾里得的方法和精神寫出了經(jīng)典之作《圓錐曲線》。在這本書中，他綜合前人的成就，去粗取精，并加進了自己獨到的創(chuàng)見材料，使圓錐曲線理論系統(tǒng)化。后人對此給予了高度評價，"除了綜合前人的成就之外，還含有非常獨到的創(chuàng)見材料，而且寫得巧妙靈活，組織得很出色。按成就來說，它是這樣一個巍然屹立的豐碑，以致后代學(xué)者至少從幾何上幾乎不能再對這個問題有新的發(fā)言權(quán)。這確實可以看成是古典希臘幾何的登峰造極之作。"

《圓錐曲線》一書的內(nèi)容分為8篇，共計有487個命題，可惜的是第8篇已經(jīng)失傳。

第1篇給出了圓錐曲線的定義并討論了它的性質(zhì)。阿波羅尼烏斯推廣了梅奈克莫斯的方法，第一個依據(jù)同一個圓錐的不同截面，分別研究了橢圓、拋物線和雙曲線。在他之前，梅奈克莫斯等人是分別以三種不同的圓錐，即銳角圓錐、直角圓錐和鈍角圓錐的同一截面，來發(fā)現(xiàn)和研究圓錐曲線的。橢圓(原名虧曲線）、拋物線(原名齊曲線）和雙曲線(原名超曲線）的名稱就是阿波羅尼烏斯引入的，取代了梅奈克莫斯的銳角圓錐曲線、直圓錐曲線和鈍角圓錐曲線之稱，他還是第一個發(fā)現(xiàn)雙曲線有兩支的人。在阿波羅尼烏斯研究這些圓錐曲線的性質(zhì)時，他還引入了共軛直徑的概念?？疾鞕E圓中與FG平行的一組弦，這些弦的中點都在一直線AB上，AB則被稱圓錐曲線的直徑。阿波羅尼烏斯證明了若過AB的中點C作直線DE平行于FG，則DE將平分所有平行于AB的弦，DE就叫做AB的共軛直徑。對雙曲線，AB的共軛直徑DE被定義為AB與雙曲線的正焦弦的比例中項，它與雙曲線并不相交，如對拋物線，由于它的任一直徑總是平行于對稱軸，而平行于直徑的每根弦都是無限長，因此，拋物線沒有共軛直徑。阿波羅尼烏斯通過直徑及共軛直徑來描述圓錐曲線的一些性質(zhì)，可以認(rèn)為這里已含有坐標(biāo)的思想萌芽。

第2篇首先描述了雙曲線漸近線的性質(zhì)，阿波羅尼烏斯不僅指出雙曲線漸近線的存在，而且還指出在定的長度。在這一篇，阿波羅尼烏斯還說明了如何求圓錐曲線的直徑以及有心圓錐曲線的中心和軸的方法。最后，阿波羅尼烏斯給出了怎樣做滿足給定條件的圓錐曲線的切線。

第3篇首先論述了關(guān)于圓錐曲線的切線與直徑所成圖的面積定理，接著又論述了極點和極線的所謂調(diào)和性質(zhì)。但這一篇沒有講到拋物線的焦點，也沒有講到圓錐曲線的焦點一準(zhǔn)線的性質(zhì)。據(jù)說，歐幾里得已經(jīng)知道這些知識。

第4篇講述了極線的其他性質(zhì)，還討論了圓錐曲線相交的問題。

第5篇論述了從一特定點到圓錐曲線所能作的最長線和最短線。阿波羅尼烏斯先以有心圓椎曲線長軸上或拋物線軸上的特殊點為例，作出這些點到曲線的最大距離與最小距離。然后他又證明了，如果O是圓錐曲線內(nèi)的任一點，OP是由O到圓錐曲線的極大距離或極小距離，則在P處垂直于OP的直線是P點的切線；又如O′是圓錐曲線外OP延長線上的任一點，則O′P是從O′到圓錐曲線的極小線。這些極小線或極大線就是現(xiàn)今所說的法線。在這一篇里，阿波羅尼烏斯還考察了任一圓錐曲線的法線性質(zhì)以及相關(guān)的作圖和計算。第5篇被看作是阿波羅尼烏斯的刻意之作，是全書最富獨創(chuàng)性的部分。

第6篇講述全等圓錐曲線、相似圓錐曲線以及圓錐曲線弓形的問題。

第7篇講述有心圓錐曲線兩共軛直徑的性質(zhì)，并將這些性質(zhì)和軸的相應(yīng)性質(zhì)加以比較。

阿波羅尼烏斯對圓錐曲線的創(chuàng)造性研究及理論的系統(tǒng)化工作是極有價值的，特別是對后來天文學(xué)、力學(xué)的發(fā)展起到了積極的作用。對此，英國科學(xué)家貝爾納高度評價道："他的工作如此的完備，所以幾乎二千年后，開普勒和牛頓可以原封不動地搬用，來推導(dǎo)行星軌道的性質(zhì)。"

阿波羅尼烏斯除了《圓錐曲線》這部巨著之外，還有其它一些數(shù)學(xué)著作。其中二本書中，各有一個對后世有較大影響的問題。一個是在《論切觸》這本書中，阿波羅尼烏斯討論了作一個圓與三個給定圓相切的問題，這在當(dāng)時算是一個比較難的問題，以致成為一道歷史名題，稱之為"阿波羅尼烏斯問題"。這個問題引起許多數(shù)學(xué)家的注意，像韋達、歐拉和牛頓這樣著名的數(shù)學(xué)家都給出過這個問題的解。另一個是在《平面軌跡》這本書中，阿波羅尼烏斯給了一個定理："如果A和B是兩個固定點，K是一個給定的常數(shù)，則使AP／BP＝K的點P的軌跡是一個圓(如果K≠1)或是一條直線(如果K＝1)。這個定理中的圓，在有些教科書中被稱為"阿波羅尼烏斯圓"。