第7章 圓錐曲線的度量性質(zhì)

107.直徑與中心

按照前一章介紹后，我們自然會期望：通過平面中引進(jìn)無窮遠(yuǎn)元素，來獲得二階曲線的度量性質(zhì)。利用無窮遠(yuǎn)元素來引入極點和極線的理論，我們有以下定義：

無窮遠(yuǎn)點的極線稱為圓錐曲線的直徑，而無窮遠(yuǎn)直線的極點稱為圓錐曲線的中心。

 圖107-1 中心O為無窮遠(yuǎn)直線的極點，

 直徑TT’是PP’方向無窮遠(yuǎn)點的極線，

通過直徑TT’方向無窮遠(yuǎn)點的所有弦被直徑PP’平分

108. 相關(guān)的幾個定理

根據(jù)極點和極線的調(diào)和性質(zhì)，讀者自己容易證明下列定理：

中心平分通過它的所有的弦(§39)；

每條直徑穿過中心；

通過同一個無窮遠(yuǎn)點的所有弦(即一組平行弦中的每一條)被以該無窮遠(yuǎn)點為極線的直徑所平分。

109.共軛直徑

我們在§100中，把兩條直線稱為關(guān)于圓錐曲線的相互共軛的直線，如果其中任意一條線通過另一條的極點。關(guān)于圓錐曲線的共軛直線，我們有下列定理：

任意直徑平分所有與其共軛的直徑平行的的弦（§39）；

任一直徑兩個端點的切線為平行線，且平行于其共軛直徑；

平行于外切平行四邊形邊的兩個直徑為共軛直徑。

這些定理也是很容易完成的練習(xí)。

110.圓錐曲線的分類

圓錐曲線可以根據(jù)它們和無窮遠(yuǎn)直線的關(guān)系分類。如果圓錐曲線與無窮遠(yuǎn)直線有二交點，則它是雙曲線；如果它沒有一個點位于無窮遠(yuǎn)直線上，則它是橢圓；如果它與無窮遠(yuǎn)直線有一個點相合，即相切，則它是拋物線。

 圖110-1圓錐曲線根據(jù)它與無窮遠(yuǎn)直線的交點數(shù)分類

111.漸近線

在雙曲線中，中心位于曲線的外部(§101)，參看圖113-1中O點，從曲線中心向曲線所作的兩條切線與曲線在兩個不同的無窮遠(yuǎn)點相切，而兩條切線本身在中心相交。這兩條切線稱曲線的漸近線。而橢圓和拋物線都沒有漸近線。

112.有關(guān)的幾個定理

拋物線的中心為一無窮遠(yuǎn)點，因此它的所有直徑是平行的。因切線的極點就是切點。

拋物線的一系列的平行弦的中點的軌跡是直徑，而它的中心線的方向?qū)λ邢盗械钠叫邢叶际窍嗤摹?

橢圓的中心在曲線之內(nèi)部。

113.關(guān)于漸近線的定理

在§89中，我們已把下面這一定理作為Brianchon定理的一個推論而得到：

外切于圓錐曲線的三角形的三個頂點與對邊上的切點的連線交于同一點。

當(dāng)時考察切線的圓錐曲線是橢圓?，F(xiàn)在我們來考察雙曲線。雙曲線是有心曲線。通過中心O的直線都稱直徑。雙曲線與無窮遠(yuǎn)直線有兩個交點，雙曲線的兩條漸近線就是它的兩個無窮遠(yuǎn)點的切線。如果我們再作任意第三條切線，則它將與原來的兩條切線（漸近線）生成兩個交點，設(shè)它們分別為A和B (參看圖113-1)。則中心與A,B三點形成一個外切于雙曲線三角OAB。按照剛提到的定理可知：通過A平行于OB的直線、通過B平行與OA的直線、以及通過切線AB切點P的直線OP，三線交于一個共同點C。但因OACB是一平行四邊形，故其對角線相互平分，由此知PA = PB。這樣我們得到下面的定理：
    由雙曲線的兩條漸近線切割任意第三條切線而成的線段AB被該切線的切點P所平分。

圖113-1　 AB為過雙曲線任一點P的切線，則PA = PB

114. 漸近線和共軛直徑

如果在上圖中，我們通過中心O作一直線OQ平行與AB，則OQ與OP一樣，都是直徑。因OQ與P點的切線平行，而P點是OP和曲線的交點，故OP和OQ是一對共軛直徑。又因A，P，B以及AB的無窮遠(yuǎn)點是四調(diào)和點，我們得到下述有關(guān)雙曲線的定理：

雙曲線的共軛直徑關(guān)于其漸近線調(diào)和共軛。

115.由雙曲線及其漸近線切割的弦

平行于直徑OQ的弦A"B"被共軛的直徑OP的平分于P’點。設(shè)弦與漸近線交于點A"和B"，則點A’、P’、B’和無窮遠(yuǎn)點是四調(diào)和點，由此P’是A’B’中點。而A’A" = B’B"，我們有下列定理：
    雙曲線的所有弦被雙曲線和它的漸近線切割出來的線段的長度相等。

116.定理的應(yīng)用

.這一定理，當(dāng)已知一點和雙曲線的兩條漸近線時，就可用來構(gòu)作雙曲線的現(xiàn)成手段。

117.由二條漸近線和一條切線形成的三角形

對于圓錐曲線的外切四邊形，Brianchon定理給出了下面的推論 (§88)：

兩對對頂點的連線，和兩組對邊切線的切點的連線，四線交于同一點。

現(xiàn)把這一結(jié)論用于雙曲線，我們利用它已有的兩條現(xiàn)成的切線，即以無窮遠(yuǎn)點為切點的兩條漸近線切線，再設(shè)AB和CD是另外兩條切線（見圖117-1）。這兩條切線與漸近線切線交于ABCD四點，這四點形成了雙曲線的一個外切四邊形。這個外切四邊形的兩個切點是有限平面內(nèi)的非無窮點P和Q，而另外兩個切點則分別是兩個漸近線的無窮遠(yuǎn)切點。

我們把B和D看作該外切四邊形的一對頂點，A和C為另一對頂點，則作為對頂點的連線AC、BD以及作為對邊切點的連線PQ，是前面引用定理中的三條線，第四條線是連接兩條漸近線的兩個無窮遠(yuǎn)點的無窮遠(yuǎn)直線。這樣的四條線按上述定理應(yīng)交于同一點，由于無窮遠(yuǎn)直線的所有點都在無窮遠(yuǎn)處，所以這個交點也只可能是無窮遠(yuǎn)點。但這也就是說，我們證明了AC，BD，與PQ三線為平行線。

由此即可看出，三角形ABC和ADC有相等的面積，且三角形AOB和COD也是如此。因切線AB可以固定，而切線CD可以任意選擇；因此我們有：

由雙曲線任意一條切線和二條漸近線形成的三角形的面積為一固定常數(shù)。

圖117-1 AB與CD為切線，則三角形OAB與OCD面積相等

118.用漸近線來表示一個雙曲線的方程

在上圖中，通過切線AB的切點P作兩條直線，分別平行于兩條漸近線，使它們與兩條漸近線組成一個平行四邊形。設(shè)該平行四邊形的兩組對邊的長分別為x與y。

因P是AB中點，x是OA的一半，y是OB的一半，故以x，y為鄰邊的平行四邊形的面積是三角形AOB的面積的一半，且由前一小節(jié)的討論可知，是一常量。但因它的面積為xysinα，其中α是兩個漸近線之間的固定夾角。由此推出，xy的乘積也是一常量；因x和y是P點的以漸近線為參考軸的放射坐標(biāo)值，這樣，我們得到下面的定理：

在以漸近線為軸的坐標(biāo)系中，雙曲線的方程為xy = 常數(shù)。

這一性質(zhì)和解析幾何中討論的雙曲線的曲線性質(zhì)相一致。

119.拋物線方程

在§110中我們已經(jīng)定義，拋物線是以無窮遠(yuǎn)直線為切線的圓錐曲線?，F(xiàn)在來推導(dǎo)它的方程。

作曲線的任意兩條切線，它們交于A，與曲線的切點分別為B和C。這兩條切線與無窮遠(yuǎn)切線（§110）一起，組成了拋物線的一個外切三邊形。通過B作直線平行于AC，通過C作直線平行于AB, 設(shè)兩條直線交于D，則AD是一條直徑。

圖119-1　推導(dǎo)拋物線的方程

現(xiàn)設(shè)AD與曲線交于P, 與弦BC交于Q，則P是AQ的中點，Q是BC中點，因此，直徑AD平分所有平行于BC的弦。特別，AD通過平行于BC的弦的切線的切點P。

再在Ｏ點作一切線，交AB于B'，交AC于C'。那么，這三條切線與無窮遠(yuǎn)切線一起，組成了拋物線的一個外切四邊形。根據(jù)Brianchon應(yīng)用于外切四邊形的定理（§88），可知以下三條線：直線BC，通過B'與AC平行的直線B'D'，通過C'與AB平行的直線C'D'，共同交于一點D'。同樣，根據(jù)三角形BB'D'與BAC的相似性，我們可得：對于切線B'C'的各種可能位置，都有下面的關(guān)系式：

B'D':BB' = AC : AB

但因B'D'= AC'，故又有

AC': BB' = AC : AB = 常量。

如果另有一切線交AB于B”，交AC于C”,則同樣有

AC” : BB”= AC : BB= 常量。

利用上兩式，根據(jù)等比公式分子分母相減仍為等比，即得

C'C”:B'B” = 常量。

由此可知：

拋物線的兩條漸近線被拋物線的任意兩條切線所切割成的兩個線段的比值為一常量。

現(xiàn)在我們把切點O作為一個坐標(biāo)系統(tǒng)的原點，把通過O的直徑作為坐標(biāo)系統(tǒng)的ｘ軸，切線B'C'作為坐標(biāo)系統(tǒng)的y軸，考察B(x,y)與C(x',y')的兩點的坐標(biāo)值，那么，由于三角形BMD'與CQ'D'的相似性，我們得：

Y:Y' = BD':D'C = BB':AB'。

同樣

Y:Y' = B'D':C'C = AC':C'C。

現(xiàn)在假設(shè)通過A，平行于一條直徑，作一直線與y軸交于K，我們得

AK:OQ' = AC':CC' = y:y',

OM:AK = BB':AB' = y:y',

利用乘法，可得

OM:OQ' = y²:y'²

或

x:x' = y²:y'²

由此得到：

如果把拋物線的一條直徑以及此直徑端點的切線作為一個坐標(biāo)系統(tǒng)的參考軸，則此拋物線上兩個點的橫坐標(biāo)的比值等于它們對應(yīng)縱坐標(biāo)的平方的比值。

最后一個方程可以寫成

y² = 2px，

其中

2p = y'²:x'。

由此可知，這里的拋物線與解析幾何中討論的拋物線的定義和性質(zhì)是一致的。

120.用共軛直徑表示有心圓錐線方程

與拋物線不同的是有心的圓錐曲線，也就是說，有一個中心位于有限平面內(nèi)的圓錐曲線。我們?yōu)檫@類圓錐曲線作四條切線，且有兩條切線為相互平行(圖120-1)，其中一條交其他另兩條切線于A和B，另一條交其他兩條切線于C和D。再設(shè)P和Q是兩條平行切線的切點，R和S是另兩條切線的切點。則AC、BD、PQ和RS四條線全部交于一點W (§88)。由圖可以看出，

PW:WQ = AP:QC = PD:BQ，

或

AP?BQ = PD?QC.

現(xiàn)在假設(shè)DC是一條固定的切線，而AB是一變化的切線，則PD和QC均為常量，我們從以上這個等式，可得

AP?BQ = 常數(shù)。

 

圖120-1 推導(dǎo)有心圓錐曲線的方程（ＭＳ中間點為Ｎ）

根據(jù)PA和BQ在同樣或在相反方向，常數(shù)可以是正或負(fù)。相應(yīng)地我們可寫成

AP?BQ = ± b²

因AD和BC是平行切線，PQ是直徑，而共軛直徑與AD是平行的。PQ的中點是圓錐曲線的中心。我們現(xiàn)在將直徑PQ取為x軸，把與它共軛的直徑作為y軸。連接AQ和BP并通過S作一直線平行與y軸。這三條直線應(yīng)全部交于點N，因為AP, BQ和AB形成了圓錐曲線的外切三角形。設(shè)M是NS與PQ的交點，則，根據(jù)外切三角形的性質(zhì)（見§89），M, N, S以及NS上的且無窮遠(yuǎn)點是四調(diào)和點。由此N是MS中點。如果S的坐標(biāo)為(x,y)，則OM就是x，MS就是y。而MN = y/2?，F(xiàn)在根據(jù)相似三角形PMN和PQB我們可得

BQ:PQ = NM:PM，

再從相似三角形PQA和MQN，得

AP:PQ = MN:MQ，

以上兩式相乘，我們得

±b²/（4a²）= y²/4(a +x)(a - x)，

其中 a=PQ/2

由此，經(jīng)簡化，我們得

x²/a² ± y²/b² = 1,

這一公式根據(jù)b2的極性不同代表了兩種結(jié)果，當(dāng)取正號時代表一個橢圓，當(dāng)為負(fù)時代表雙曲線。

這樣，我們就使二階點列的方程與解析幾何中的二次曲線方程完全等同了起來。

第7章習(xí)題

1. 為一已知圓錐曲線作一弦，它被一已知點P所平分。

2. 證明由一條已知弦所平分的圓錐曲線的所有弦是一拋物線的切線。

3. 已知兩條切線的切點，構(gòu)作一拋物線。

4. 已知三點和直徑的方向，構(gòu)作一拋物線。

5. 通過直線u的極點U作直線u'使它與u成直角。使u繞點P旋轉(zhuǎn)。證明直線u'是一拋物的切線。（直線u和u'稱法共軛，normal conjugates。)

6. 證明下面的作圖法。

[求作] 已知一個圓和它的中心O，通過已知點P，求作一直線與一已知直線q平行。

[作圖]

(1) 作P點的極線p；

(2) 作直線q的極點Q；

(3) 作p與OQ的的交點A；

(4) 作A的極線a。

則a就是所求的通過點P且與直線q平行的直線。