古希臘的數(shù)學(xué)成就（下）

4.柏拉圖與歐多克斯的工作

柏拉圖(公元前427～前347)是希臘非常有學(xué)問的人，他早年曾想從事政治活動(dòng)，但是，由于他所信奉的哲學(xué)家蘇格拉底被處死刑，使得柏拉圖對政治心灰意冷。他從小受過很好的教育，具有多方面的才能。

公元前387年，他在雅典辦學(xué)園開始從事教育。學(xué)園對數(shù)學(xué)，特別是幾何學(xué)十分重視。據(jù)說，學(xué)園門口掛有"非幾何學(xué)家不得入內(nèi)"的牌子，也有說牌子上寫的是"不懂幾何者不得入"。總而言之，幾何學(xué)是這個(gè)學(xué)派的主要研究內(nèi)容。

柏拉圖曾從幾何學(xué)的角度，構(gòu)造了一個(gè)宇宙模型。他認(rèn)為要靠數(shù)學(xué)來了解自然。盡管他本人不是數(shù)學(xué)家，但他倡導(dǎo)對立體幾何的研究。特別是，柏拉圖作為第一個(gè)把嚴(yán)密推理法則加以系統(tǒng)化的人，十分關(guān)心數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，在他的學(xué)園教學(xué)中堅(jiān)持準(zhǔn)確的定義和演繹的證明。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對點(diǎn)的定義是：點(diǎn)是有位置的單位，柏拉圖認(rèn)為畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對點(diǎn)的定義不夠明確，而另立定義：點(diǎn)是直線的開端。

柏拉圖關(guān)心推理過程的方法論，有兩類推理方法被認(rèn)為是他的學(xué)派的貢獻(xiàn)。第一類是分析方法，用這種方法時(shí)，先假定要證明的結(jié)果是對的，然后由此推出一些結(jié)論，直至推出已知的真理或與已知真理相矛盾的結(jié)論。如果由待證命題推出已知真理，那么只要把推理的步驟倒過來，就可以做出證明；如果由待證命題推出與已知真理相矛盾的結(jié)果，就證明待證命題是錯(cuò)的。第二類是歸謬法，用這種方法時(shí)，也是先假定要證明的結(jié)果是對的，只不過由此能夠得出與要證明的結(jié)果相矛盾的結(jié)論，這就證明待證結(jié)果是謬誤的。柏拉圖認(rèn)為數(shù)學(xué)采用分析推理方法是十分自然的事，他說："研究幾何和算術(shù)之類學(xué)問的人，首先要在這一學(xué)科里認(rèn)定奇數(shù)和偶數(shù)、各類圖形、三類角以及諸如此類的東西，把它們當(dāng)成大家都承認(rèn)的公設(shè)，認(rèn)為不必再為自己和別人作出什么說明，誰都明白。然后他們由此出發(fā)，通過一系列的邏輯推論，最后達(dá)到他們所要證明的結(jié)論。"至少可以說，柏拉圖學(xué)派使數(shù)學(xué)，特別是幾何學(xué)具有了明確的思維方式。從這個(gè)意義上說，柏拉圖學(xué)派為古希臘最負(fù)盛名的歐幾里德幾何學(xué)奠定了基礎(chǔ)。

柏拉圖學(xué)派的歐多克斯是成果頗豐的數(shù)學(xué)家，他的一個(gè)重要貢獻(xiàn)是建立一個(gè)純粹幾何性的比例理論。歐多克斯引入"量"的概念，用來表示可以連續(xù)變化的線段、角、面積、體積等。量與數(shù)是不同的，數(shù)是跳躍的，如從1到2到3等等；而量則是連續(xù)變化的，歐多克斯引入的量是不指定數(shù)值的。然后，他定義了兩個(gè)量的比，相等的比彼此是成比例關(guān)系的，這樣，就把可公度比與不可公度比都包括在內(nèi)了。歐多克斯對線段的長度、角的大小以及其它的量和量之比，都不給出數(shù)值，就是為了避免出現(xiàn)無理數(shù)(不可公度比）。這對幾何學(xué)的發(fā)展起到了積極的推動(dòng)作用，例如泰勒斯提出的相似三角形的對應(yīng)邊成比例的命題，就是在歐多克斯的比例理論建立以后才被證明的。但是，歐多克斯的比例理論實(shí)際上是硬性將數(shù)與幾何分開，雖然是通過建立比例理論使幾何學(xué)能夠處理不可公度問題了，卻避開了代數(shù)和無理數(shù)，從而造成希臘人在運(yùn)算能力上的不足，與幾何學(xué)的高度發(fā)展形成鮮明的對照。

歐多克斯的另一重要貢獻(xiàn)是對窮竭法的發(fā)展。窮竭法通常是以歐多克斯命名的，因?yàn)楹笕苏J(rèn)為歐多克斯盡管不是提出窮竭法思想的第一人，但窮竭法確是在他那里得到補(bǔ)充、完善、發(fā)展和推廣的。歐幾里德《幾何原本》第十篇的第一個(gè)命題就是作為窮竭法基礎(chǔ)的重要引理，這個(gè)引理的意思是：如果從任何量中減去一個(gè)不小于它的一半的部分，再從余下的部分中減去不小于這個(gè)余量一半的部分，等等，到最后將留下一個(gè)小于任何給定的同類量的部分。這個(gè)引理被認(rèn)為是歐多克斯曾經(jīng)證明而由歐幾里德在《幾何原本》中表述出來的。在此基礎(chǔ)上，歐多克斯用窮竭法證明了兩圓面積之比等于其半徑平方之比，兩球體積之比等于其半徑立方之比，棱錐體積是同底同高棱柱體積的1／3，圓錐體積是同底同高圓柱體積的1／3等。

5.亞歷山大前期的算術(shù)和代數(shù)

從畢達(dá)哥拉斯學(xué)派開始，到歐多克斯將數(shù)與量加以區(qū)分，古希臘的數(shù)學(xué)偏重于幾何學(xué)，古希臘的幾何學(xué)產(chǎn)生了巨人和巨著。與幾何學(xué)相比，算術(shù)和代數(shù)的發(fā)展是相當(dāng)緩慢的。

記數(shù)制在亞歷山大前期有了一些發(fā)展，阿基米德和阿波羅尼烏斯發(fā)明了兩種記大數(shù)的方法。阿基米德在《數(shù)砂術(shù)》中，提出了一種寫大數(shù)的方案。他取當(dāng)時(shí)希臘數(shù)學(xué)里最大的數(shù)"萬萬"，即108作為記數(shù)的一個(gè)新單位，由此出發(fā)又可以往下記出一系列大數(shù)，可到1024。這樣不斷增大，可以記下去表示出任意大的數(shù)。阿基米德估計(jì)宇宙間砂粒數(shù)目要小于他能寫的最大數(shù)。阿波羅尼烏斯也有類似的方法，只不過他是取104為一個(gè)記數(shù)單位。但這還沒有能達(dá)到10進(jìn)位的位值制。這一時(shí)期，古希臘的天文學(xué)家則在分?jǐn)?shù)中分母用60進(jìn)制。

在亞歷山大前期的數(shù)學(xué)家之前，古希臘的數(shù)學(xué)家只把分?jǐn)?shù)當(dāng)作整數(shù)之比，實(shí)際的分?jǐn)?shù)只是在商業(yè)上才有意義，那是為了表示錢幣或度量單位的若干部分，這種數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用被排斥在數(shù)學(xué)研究的范圍之外。但是，到了亞歷山大前期，情況有了一些變化。一些數(shù)學(xué)家開始從追求完美而轉(zhuǎn)向注意實(shí)際應(yīng)用，并使這種轉(zhuǎn)變體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的研究中。歐幾里得在《幾何原本》中，對分?jǐn)?shù)給出了定義，但沒有給出運(yùn)算方法。阿基米德在他的《圓的度量》中，對大數(shù)和分?jǐn)?shù)進(jìn)行了運(yùn)算，他得出3的開方很好的近似值。

古希臘代數(shù)著作是純粹用文字形式寫出的，到亞歷山大前期，代數(shù)的重大進(jìn)展是產(chǎn)生了代數(shù)符號。歐幾里得在《幾何原本》中曾用字母表示一類數(shù)，阿基米德在討論運(yùn)動(dòng)時(shí)也曾經(jīng)用字母表示一段時(shí)間或一段距離。但是，他們并未認(rèn)識到字母表示對于代數(shù)進(jìn)一步發(fā)展的重大意義。因此，他們的工作停留在初步和零散的狀況。真正系統(tǒng)地提出代數(shù)符號，那已是公元3世紀(jì)的事了。