如果說數(shù)量的本質(zhì)是“多和少”的話，那么在歐幾里得幾何中，線段的本質(zhì)就是“長(zhǎng)和短”。

包括柏拉圖和他的學(xué)生歐多克斯在內(nèi)的古希臘學(xué)者，希望用幾何的方法來解決代數(shù)的問題，從而避免無理數(shù)帶來的尷尬。利用作圖，古希臘的學(xué)者們對(duì)形如√ 2這樣的無理數(shù)給出了合理的解釋，從而對(duì)線段的形式進(jìn)行了擴(kuò)充。我們可以證明，通過“尺規(guī)作圖”得到的數(shù)至多是代數(shù)數(shù)，于是我們有理由對(duì)實(shí)數(shù)理論中的戴德金分割提出質(zhì)疑。

古希臘人用幾何的方法解釋了形如√ 2這樣的無理數(shù)，就認(rèn)為幾何學(xué)比代數(shù)學(xué)更加符合邏輯，因而也更加合理。其實(shí)，用幾何解釋代數(shù)的能力是相當(dāng)有限的。借助幾何作圖的方法可以討論代數(shù)問題，反之，借助代數(shù)的方法也可以討論幾何作圖問題。三等分角問題的解決，顯示出用代數(shù)方法處理幾何作圖問題的威力。

古希臘的學(xué)者重視幾何遠(yuǎn)遠(yuǎn)勝于重視代數(shù)，其主要原因是幾何學(xué)能夠形成讓人信服的邏輯體系，而那個(gè)時(shí)代的代數(shù)學(xué)則是完全憑借經(jīng)驗(yàn)的。比如，當(dāng)時(shí)的學(xué)者以畢達(dá)哥拉斯為代表，普遍認(rèn)為可以用整數(shù)來表達(dá)世界的萬物，也就是說，他們能夠接受分?jǐn)?shù)形式的表達(dá)，可是當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)√ 2不能表達(dá)為分?jǐn)?shù)時(shí)，就更加認(rèn)為代數(shù)是不合邏輯的，是不可理喻的，并稱這樣的數(shù)為無理數(shù)。另一方面，一些學(xué)者包括柏拉圖和他的學(xué)生歐多克斯，希望用幾何的方法來解決代數(shù)的問題，從而避免無理數(shù)帶來的尷尬，這樣的研究后來被稱為幾何代數(shù)。如前面所說，許多學(xué)者認(rèn)為，歐幾里得《原理》的第5卷就是總結(jié)了歐多克斯的工作。

在這一講，從古希臘學(xué)者如何用幾何來解釋代數(shù)的工作開始，我們來回顧數(shù)學(xué)沿著這個(gè)思路發(fā)展的情況。用幾何解釋代數(shù)的基本論理工具是幾何作圖，也可能與此有關(guān)，《原理》的五個(gè)公設(shè)中的前三個(gè)公設(shè)都是關(guān)于幾何作圖的。另一方面，也是因?yàn)檫@些公設(shè)，歐幾里得給出了幾何作圖的限制，即作圖的工具只能是無刻度的直尺和圓規(guī)。后來人們稱這樣的作圖方法為“尺規(guī)作圖”，這些仍然是初中幾何教學(xué)的重要內(nèi)容。