【原】2025年9(10)月部分學(xué)校階段測(cè)試壓軸題解析(一)

妍小青 2025-10-13 發(fā)布于上海

展開(kāi)全文

平行型基本圖形背景下的綜合問(wèn)題

解法分析：本題是梯形背景下與平行型相關(guān)的綜合問(wèn)題，主要涉及證明線段平行、求某個(gè)角的銳角三角比、求三角形的面積。

首先分析圖中基本圖形：根據(jù)AE//BC，有一組AE-BC-X型基本圖形，根據(jù)BO=2OE，可以確定這組基本圖形線段間的數(shù)量關(guān)系。

本題的第(1)問(wèn)是證明OF//DC，要證明線段平行，則需要證明這組線段所在的比例線段對(duì)應(yīng)成比例，即構(gòu)造平行型基本圖形。本題選用其中一種方法，就是延長(zhǎng)BE、CD交于點(diǎn)P。因此，構(gòu)造出了DE-BC-A型基本圖形及OF-CD-A型基本圖形，通過(guò)證明BO:OP=BF:CF，即可證明OF//DC。

本題的第(2)問(wèn)根據(jù)已知條件中的等積式可以先證明△OFG∽△OFC，進(jìn)而通過(guò)導(dǎo)角，可以進(jìn)一步證明△FGC∽△FDC，通過(guò)借助兩組平行型基本圖形，可以得到FC、FG、FD之間的數(shù)量關(guān)系。

由于要求∠DCB的余弦值，因此需要過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線，通過(guò)計(jì)算可知，∠DFC=∠DCF，結(jié)合DF、CF的數(shù)量關(guān)系，即可求解。

本題的第(3)問(wèn)是等腰三角形的存在性問(wèn)題，需要分類(lèi)討論，本題的關(guān)鍵是需要求出FC邊上的高，可以借助FG與DG之間的比例關(guān)系求解FC邊上的高，問(wèn)題的解決突破口就轉(zhuǎn)化為AB的長(zhǎng)度，根據(jù)圖中線段間的比例關(guān)系，借助勾股定理求解。

問(wèn)題變式1

解法分析：可以發(fā)現(xiàn)變式問(wèn)題的題設(shè)和結(jié)論與上一道練習(xí)正好交換，因此可以沿用上一道題的思路和方法進(jìn)行解決。

首先分析圖中基本圖形：根據(jù)AE//BC，有一組AE-BC-A型基本圖形，根據(jù)BF=2EF，可以確定這組基本圖形線段間的數(shù)量關(guān)系；還有一組AD-CG-X型基本圖形，但是要先證明G為BC中點(diǎn)，才可以得到線段間的比例關(guān)系型。

根據(jù)GF//CD，有一組GF-CD-X型基本圖形，這組基本圖形線段間的數(shù)量關(guān)系依托DP:CG的值，才能確定剩余的線段的比例關(guān)系。

本題的第(1)問(wèn)要證明點(diǎn)G為BC中點(diǎn)，根據(jù)前面的分析，要證明G為BC的中點(diǎn)，需要添加輔助線，因此依托GF//CD，通過(guò)延長(zhǎng)BE、CD交于點(diǎn)Q，多次利用圖中的平行型基本圖形，最后借助GF-CP-A型基本圖形進(jìn)行證明。

本題第(2)問(wèn)的題設(shè)給出了△FGP∽△FGC，通過(guò)角之間的大小關(guān)系，可以得到∠FGP=∠FCG，再利用FG//CD，得到∠FGP=∠GDC，從而證明得到△CGP∽△DGC，利用共邊共角型相似基本圖形，得到一組等積式。除此以外，還需要利用AD-CG-X型基本圖形，確定DP和GP之間的比例關(guān)系，進(jìn)而代入等積式中求解。

本題第(3)問(wèn)是是求△PCG的面積，這個(gè)三角形的底CG=2，因此問(wèn)題就，因此問(wèn)題就在與如何求CG邊上的高PK。通過(guò)借助AD//CG，反向延長(zhǎng)KP至點(diǎn)N。因此要求PK的長(zhǎng)，就在與需要知道①NK的長(zhǎng)度(即AB的長(zhǎng)度)；②求出PK:NK的值。

對(duì)于②依托AD-CG-X型基本圖形，可以求出DP:PG的值，進(jìn)而再利用NK-GK-A型圖求出PK:NK的值；對(duì)于①利用另一已知條件(∠EDP與∠AFE互補(bǔ))，延長(zhǎng)GD、BE交于點(diǎn)M，構(gòu)造相似三角形△AFE和△EDM(先需要利用DE-BG-A型圖證明EM=BE)，進(jìn)而利用線段間的比例關(guān)系求出EM(BE)的長(zhǎng)度，再利用勾股定理求出AB長(zhǎng)度，進(jìn)而求出PK的長(zhǎng)度。

問(wèn)題變式2:2024上海中考25題

喜歡你就關(guān)注我