事情得從一個(gè)看似平平無奇的問題說起：

“我測了一堆數(shù)據(jù)，結(jié)果全都不準(zhǔn)，咋辦？”

這不是你交實(shí)驗(yàn)報(bào)告前的內(nèi)心吶喊，而是200多年前天文學(xué)家的真實(shí)煩惱。 當(dāng)時(shí)沒有GPS、沒有計(jì)算器，連Excel都沒得罵，但科學(xué)家們已經(jīng)要靠觀測星星來算地球在哪、彗星往哪飛……問題來了：

他們發(fā)現(xiàn)：無論怎么測，數(shù)據(jù)總在“亂抖”。 好像老天爺一邊給你答案，一邊眨眼睛說：“逗你玩呢～”

于是人類開始思考一個(gè)哲學(xué)級(jí)問題：

怎么從一堆互相打架的測量值里，找出最靠譜的那條'真理之路’？

這場追尋“真相”的大戲，就此拉開帷幕。

第一幕：法國才子登場，豪言“我來擬合宇宙！”

1795年左右，法國（浪漫國度，數(shù)學(xué)不浪）阿德里安-馬里·勒讓德（Adrien-Marie Legendre）,一位低調(diào)但業(yè)務(wù)能力炸裂的數(shù)學(xué)家。

阿德里安-馬里·勒讓德

他正在研究彗星軌道——這活兒就像用幾張模糊照片還原一個(gè)高速飆車的電驢去向，難！

面對(duì)滿紙雜亂的數(shù)據(jù)點(diǎn)，他靈光一閃：

“要不咱別糾結(jié)哪個(gè)點(diǎn)對(duì)哪個(gè)點(diǎn)錯(cuò)，干脆找一條線，讓所有點(diǎn)到它的'偏差平方和’最??？” ——也就是：不讓任何一點(diǎn)過分離譜，大家集體妥協(xié)，求個(gè)'最小后悔值’?！?/p>

最小二乘

于是，他提出了后來震驚世界的方法：

最小二乘

他還非常認(rèn)真地把這方法寫進(jìn)了1805年出版的一本小冊子，名字直白得令人發(fā)笑：

《關(guān)于測定彗星軌道的新方法附錄》 ——聽起來像極了“家常菜做法分享”。

可問題是…… 書剛印完，他就發(fā)現(xiàn)：自己好像不是第一個(gè)想到的人！

第二幕：高斯突然跳出：“這事我五年前就干過！”

沒錯(cuò)，另一位重量級(jí)選手出場了—— 卡爾·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss），數(shù)學(xué)界的“六邊形戰(zhàn)士”：會(huì)物理、懂天文、能算星軌，順手還推翻了幾何學(xué)。

卡爾·弗里德里?！じ咚?/p>

他在1794年（比勒讓德還早一年！）就說自己用最小二乘法預(yù)測了小行星谷神星的軌道，精準(zhǔn)到令人懷疑他會(huì)魔法。

但問題是——

高斯啥時(shí)候說的？五年后。

有論文嗎？沒有。

證據(jù)呢？他說：“我腦子記得?！?/p>

這操作堪稱科學(xué)史上的經(jīng)典嘴炮：

“我不是沒發(fā)論文，我是懶得發(fā)。” （然后繼續(xù)喝茶）

于是學(xué)術(shù)圈炸鍋了： 到底是勒讓德首創(chuàng)？還是高斯早慧但拖稿成性？

兩位大佬互不相讓，差點(diǎn)掀起“法德數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭”。

最后結(jié)論是：

? 勒讓德：第一個(gè)公開發(fā)表最小二乘法的人（功勞實(shí)錘）

? 高斯：可能第一個(gè)使用它的人（腦洞先行）

所以這事兒就像你發(fā)明了個(gè)APP，剛上線，隔壁學(xué)霸站出來說：“哎，這個(gè)想法我初中草稿本上就有了……”

第三幕：誤差理論上線，統(tǒng)計(jì)學(xué)正式封神

最小二乘法一開始只是個(gè)“擬合技巧”，但高斯不服氣，他非要給它找個(gè)“身份證”——

于是他搬出了正態(tài)分布（也叫高斯分布）：

正太分布

點(diǎn)擊鏈接可直接操作正態(tài)分布：Calculator Suite - GeoGebra

“如果誤差是隨機(jī)的、對(duì)稱的、小錯(cuò)誤多、大錯(cuò)誤少——那最小二乘法不僅是經(jīng)驗(yàn)技巧，更是概率意義上最合理的估計(jì)方式！”

一句話總結(jié)：

當(dāng)誤差服從正態(tài)分布時(shí)，最小二乘 = 最大概率逼近真相。

這就像是給最小二乘法披上了“科學(xué)圣衣”—— 從此它不再是“拍腦袋取平均”，而是有理論支撐的統(tǒng)計(jì)基石。

小插曲：法國人拉普拉斯（又一位大佬）也獨(dú)立給出了類似證明，三人組直接湊齊“最小二乘鐵三角”。

名字由來：為什么叫“最小二乘”？

這個(gè)名字聽上去像是餐廳里的黑暗料理，其實(shí)很接地氣：

• “二乘” = 平方（x2 叫“二乘”）
• “最小” = 我們要讓它最小

我們不是簡單加誤差（+3 和 -3 抵消變成0，假裝完美），而是先把每個(gè)誤差平方（避免正負(fù)抵消），再加起來，然后讓這個(gè)總和最小。

比如：

• 誤差1：+2 → 平方 = 4
• 誤差2：-1 → 平方 = 1
• 總“懲罰值” = 5

你要做的？調(diào)參數(shù)，讓這個(gè)“平方和”盡可能小！

所以最小二乘 = 數(shù)學(xué)界的“不能犯錯(cuò)太多，誰錯(cuò)得多罰誰”制度。

它改變了什么？

今天，最小二乘法已經(jīng)滲透到你生活的方方面面：

• 老師畫趨勢線：?? 用最小二乘
• 回歸分析跑模型：?? 底層還是它
• 機(jī)器學(xué)習(xí)入門課：第一天就教你這玩意兒
• 甚至連你刷抖音推薦視頻，背后都藏著它的影子（高級(jí)版而已）

可以說：

沒有最小二乘法，就沒有現(xiàn)代數(shù)據(jù)分析。 它是統(tǒng)計(jì)學(xué)的“第一道光”，照亮了從混亂中尋找規(guī)律的道路。

彩蛋：這場發(fā)明權(quán)之爭的結(jié)局？

• 勒讓德一直耿耿于懷，覺得自己被高斯“蹭了功勞”。
• 高斯名聲太大，很多人只記得他。
• 但歷史最終公正：現(xiàn)在學(xué)術(shù)界公認(rèn)——
• 勒讓德是第一個(gè)發(fā)表者，應(yīng)享有命名優(yōu)先權(quán)。

如今，有些教材干脆寫成：“勒讓德–高斯方法”， ——相當(dāng)于頒獎(jiǎng)詞寫著：“創(chuàng)意來自法國，包裝來自德國，掌聲大家一起拿?！?/p>

最后總結(jié)：一句話記住最小二乘法

當(dāng)你面對(duì)一團(tuán)亂麻的數(shù)據(jù)時(shí)，最小二乘法告訴你： 別吵了，咱們折中一下，誰也別太離譜，一起靠近那條最溫柔的直線。

它不是神諭，卻讓人類第一次學(xué)會(huì)了—— 在不確定的世界里，用數(shù)學(xué)溫柔地逼近真相。

故事講完，掌聲送給那個(gè)敢于“算平方”的勇氣。