大部分?jǐn)?shù)學(xué)理論的發(fā)現(xiàn)其實(shí)都是源自于生活，或者人們遇到的一個(gè)難題，有人根據(jù)這個(gè)難題并提煉出一個(gè)模型來(lái)，人們得以在純數(shù)學(xué)的領(lǐng)域進(jìn)行研究，并最終誕生了許多偉大的成果。比如概率論，就是來(lái)自于賭徒們提出的尖酸問(wèn)題。

一個(gè)賭徒獲勝的概率是p,另外一個(gè)賭徒獲勝概率是1-p，A,B 兩人在賭場(chǎng)里賭博，A、B 各自的獲勝概率是p,q=1-p,兩人約定：若 A 贏的局?jǐn)?shù) X>np , 則A付給賭場(chǎng) X-np 元；若X < np ,則B付給賭場(chǎng)np-X元。 問(wèn)賭場(chǎng)掙錢的期望值是多少。

這里的數(shù)學(xué)期望這個(gè)概念很重要，也不是那么難理解。舉個(gè)例子，我們都知道擲硬幣正面朝上的概率是1/2，那么如果每次擲硬幣的都仿佛有個(gè)約定的規(guī)則在“制約”著出現(xiàn)的結(jié)果，假如我們擲10次之后呢？可能5次正面5次反面最符合我們的預(yù)期，當(dāng)然實(shí)際上不可能會(huì)這么巧合，剛好是5正5反。但是這個(gè)結(jié)果表達(dá)了我們對(duì)于這個(gè)概率事件的期待值，于是這里的出現(xiàn)正面的數(shù)學(xué)期望就是5次了。

賭徒把問(wèn)了數(shù)學(xué)家棣莫弗，這個(gè)數(shù)學(xué)家雖然不是很有名，名字也有點(diǎn)刁鉆古怪.但是你應(yīng)該用到過(guò)他的數(shù)學(xué)成果，復(fù)數(shù)和三角函數(shù)之間的橋梁——棣莫弗公式正是這位仁兄的代表作，同時(shí)他也是一位概率論方面的大師。我們現(xiàn)在很容易看出來(lái)，賭徒的問(wèn)題是一個(gè)簡(jiǎn)單的二項(xiàng)分布，這里就不再做二項(xiàng)分布的科普了。簡(jiǎn)單說(shuō)下，就是一個(gè)概率事件中，只有兩種結(jié)果，并且結(jié)果互斥，我們分析的就是這兩種情況的期望值。棣莫弗很快求出來(lái)這個(gè)二項(xiàng)概率是：

實(shí)際問(wèn)題上，如果我們真的要去求期望，那么n只能是個(gè)有限整數(shù)，盡管這個(gè)n可以變得很大。于是一個(gè)自然而然的問(wèn)題就出現(xiàn)了，假如我們實(shí)驗(yàn)無(wú)數(shù)次，這里的概率又會(huì)是什么樣子呢？棣莫弗再接再厲，并且結(jié)合了同時(shí)期數(shù)學(xué)家斯特林的成果，成功地求出來(lái)這個(gè)密度函數(shù)：

這個(gè)式子就是大家熟悉的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布公式，雖然中學(xué)時(shí)期的所有數(shù)學(xué)教材里都會(huì)提到正太公式，考試上也是熱門，但是對(duì)于這個(gè)公式的來(lái)源以及重大意義卻從來(lái)不提?？赡苡械睦蠋熒险n的時(shí)候會(huì)跟學(xué)生們強(qiáng)調(diào)這個(gè)概率分布很重要，但是沒(méi)有形象的案例來(lái)做支撐，總是讓人覺(jué)得莫名其妙。棣莫弗得出的這個(gè)分布函數(shù)也是正態(tài)分布第一次出現(xiàn)在人類的數(shù)學(xué)成果里。雖然棣莫弗第一個(gè)得出了這個(gè)密度分布函數(shù)，但是他并沒(méi)有對(duì)這個(gè)分布再進(jìn)行深入研究，棣莫弗本質(zhì)上并不是一個(gè)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)家，他認(rèn)為這只是一種看起來(lái)優(yōu)美的概率分布曲線。他完全沒(méi)有想到這個(gè)分布與誤差分析有什么關(guān)系。

說(shuō)到這里，高斯的工作在哪里呢？別急，先聽(tīng)高斯同志的又一次神作。

18,19世紀(jì)以來(lái)，天文學(xué)伴隨著人們數(shù)學(xué)工具的支撐，也獲得了空前的發(fā)展，特別是牛頓萬(wàn)有引力定律確定之后，人們第一次可以用數(shù)學(xué)來(lái)精準(zhǔn)地描述地球外面的世界。這里對(duì)于行星軌道的確定尤其如此。

1772年，人們根據(jù)萬(wàn)有引力定律結(jié)合當(dāng)時(shí)的觀測(cè)資料分析認(rèn)為，在火星和木星軌道之間可能存在著一顆尚未被發(fā)現(xiàn)的行星。但是當(dāng)時(shí)的觀測(cè)條件有限，并不能直接去觀測(cè)到。于是就需要間接計(jì)算，然后推測(cè)這個(gè)未知行星可能出現(xiàn)的位置，在那邊等它按時(shí)出現(xiàn)，這個(gè)發(fā)現(xiàn)行星的思路好像看似自然而然，其實(shí)難度很大。

1801年元旦，在西西里巴勒莫學(xué)院的天文學(xué)家朱塞普·皮亞齊，發(fā)現(xiàn)了谷神星，但是這個(gè)星體的軌道卻不像之前的那幾個(gè)傳統(tǒng)行星一樣確定。人們不知道這顆新星是彗星還是行星，這就需要更加精準(zhǔn)的觀測(cè)手段了。然而這顆星體相比于火星來(lái)說(shuō)實(shí)在太過(guò)矮小，以至于稍微靠近大星體立刻就會(huì)被湮沒(méi)，變得不可觀測(cè)。當(dāng)時(shí)的觀測(cè)數(shù)據(jù)很有限，皮亞齊一共觀測(cè)了這顆星體24次，都難以確定其軌道。這是個(gè)困難的問(wèn)題，以至于當(dāng)時(shí)許多天文學(xué)家束手無(wú)策。于是，高斯開(kāi)始了他的表演。

高斯拿到皮亞齊的觀測(cè)數(shù)據(jù)，根據(jù)自己的創(chuàng)立的一種新型的數(shù)據(jù)分析方法，在一個(gè)小時(shí)之內(nèi)就計(jì)算出了這個(gè)星體的軌道數(shù)據(jù)。當(dāng)然為了結(jié)果的可靠，他還是等了檢查了幾個(gè)星期時(shí)間。1801年12月31日，人們?cè)诟咚诡A(yù)言的時(shí)間和軌道上果然發(fā)現(xiàn)了這顆星體。至此人們確定了這顆新星既不是彗星，也不是傳統(tǒng)行星，它是人類發(fā)現(xiàn)的第一顆也是最大的一個(gè)小行星，直徑大約950公里。

此項(xiàng)成果一出，青年高斯的能力又一次讓眾人驚嘆。人們迫切地想要知道高斯如何處理數(shù)據(jù)的方法，但是高斯本人拒絕透露。在他看來(lái)這些都還是一些不太成熟的小技巧，雖然在實(shí)際上有很大用途，但是發(fā)表一個(gè)不成熟的結(jié)論是不太配得上自己身位的，于是高斯的方法被當(dāng)做秘技一樣不傳。直到8年之后的1809年，高斯認(rèn)為此項(xiàng)研究已經(jīng)成熟，于是公布了他的方法，這個(gè)分析工具就是最小二乘法。

最小二乘法的誕生契機(jī)是盡量減小測(cè)量數(shù)據(jù)的累積誤差，并且有一套規(guī)則。

這個(gè)規(guī)則是勒讓德提出來(lái)的，他在1805年第一個(gè)發(fā)布了最小二乘法的論文。

假設(shè)我們從來(lái)都沒(méi)有接觸過(guò)關(guān)于數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面的知識(shí)，現(xiàn)在給我們一個(gè)測(cè)量的任務(wù)：讓你測(cè)量一間教室的長(zhǎng)寬高，并且盡量給出誤差較小的結(jié)果。從經(jīng)驗(yàn)上看，正統(tǒng)的做法是，我們似乎應(yīng)該要在房間的不同位置測(cè)量多組數(shù)據(jù)，然后來(lái)求平均值。這么做，更保險(xiǎn)，會(huì)過(guò)濾掉一些由于偶然誤差造成的嚴(yán)重失真項(xiàng)。并且我們也會(huì)得出一個(gè)經(jīng)驗(yàn)方法， 那就是測(cè)量的數(shù)據(jù)越多，求出來(lái)的算術(shù)平均值就越接近真實(shí)值。

這個(gè)方法幾乎是保險(xiǎn)的且顯而易見(jiàn)。歷史上的許多測(cè)量學(xué)家們也都是這么做的，好像最后的實(shí)踐表明這種方法的確可以有效地減少系統(tǒng)誤差。但是有個(gè)非常嚴(yán)重的問(wèn)題，那就是人們從來(lái)都沒(méi)有在數(shù)學(xué)理論上證明求算術(shù)平均值可以顯著減少測(cè)量誤差。

高斯的目的就是為了求解一種方法使得，系統(tǒng)累積誤差最小，既然算術(shù)平均值在實(shí)踐中已經(jīng)被證明是有效的，那么我就從這里出發(fā)來(lái)逆推：

這里的估計(jì)值稱作最大似然估計(jì)，高斯天才般地認(rèn)為這里的最大似然估計(jì)就可以取到算術(shù)平均值！

根據(jù)上面式子的分析結(jié)果，就可以求出來(lái)這個(gè)概率分布函數(shù)了。這個(gè)形式，我們?cè)偈煜げ贿^(guò)了。

正態(tài)分布的密度函數(shù)N(0,σ²)就是上述的表現(xiàn)形式。那么前面說(shuō)的最小二乘法跟正態(tài)分布又有啥關(guān)系呢？

這里我們很明顯就看出來(lái)，如果使得這個(gè)概率最大，那么要讓所有的誤差項(xiàng)e²最小，這剛好不就是最小二乘法的定義嘛。因此，正態(tài)分布跟最小二乘法的關(guān)系實(shí)在非比尋常！

由于高斯的杰出工作，正態(tài)分布又叫高斯分布。高斯基于正態(tài)分布給出的最小二乘法，大大拓寬了正態(tài)分布的應(yīng)用，這個(gè)密度函數(shù)在整個(gè)數(shù)理統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域遠(yuǎn)遠(yuǎn)要超過(guò)其他任何分布。實(shí)際上正態(tài)分布也是存在最廣泛的分布，甚至可以沒(méi)有之一！

人群中的身高分布，總是處在中間高度的人數(shù)最多，或高或矮都是極小的一部分人。學(xué)生的考試成績(jī)分布，醫(yī)學(xué)上關(guān)于質(zhì)群體的身高、紅細(xì)胞數(shù)、血紅蛋白量，以及實(shí)驗(yàn)中的隨機(jī)誤差，呈現(xiàn)為正態(tài)或近似正態(tài)分布；

實(shí)際上，有很多人從不同的領(lǐng)域出發(fā)，都推導(dǎo)出了相同的正態(tài)分布密度函數(shù)。除了棣莫弗和高斯以外，赫歇爾在1850年，麥克斯韋在1860年基于誤差的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性推導(dǎo)出密度函數(shù)，他們的方法完全沒(méi)有用到任何概率論的知識(shí)，僅僅是根據(jù)空間不變性就得出來(lái)。1941年，電氣工程師蘭登基于噪聲穩(wěn)定分布的思想也給出了正態(tài)分布密度函數(shù)。信息論創(chuàng)始人香農(nóng)基于最大熵原理也推導(dǎo)出正態(tài)分布函數(shù)。

這些領(lǐng)域基本上毫不相干，甚至有些人用的方法跟概率論都沒(méi)有關(guān)系，但是最終卻得到了完全一致的結(jié)論。這也充分說(shuō)明了，正態(tài)分布是一種廣泛且極其普遍的分布方式。難怪有人贊嘆道：

神說(shuō)，要有正態(tài)分布，就有了正態(tài)分布。

神看正態(tài)分布是好的，就讓隨機(jī)誤差服從了正態(tài)分布。

高斯尊為“數(shù)學(xué)王子”這點(diǎn)毋庸置疑，名下的定理，規(guī)律不計(jì)其數(shù)，但是如果要來(lái)排出最有影響力的一項(xiàng)，很多人都認(rèn)為首選正態(tài)分布。這個(gè)分布成為許多統(tǒng)計(jì)方法的理論基礎(chǔ)，人們?cè)跀?shù)據(jù)檢測(cè)，線性回歸，方差判斷，回歸分析中總是繞不去正態(tài)分布的影子。它就像是分析學(xué)里的微積分一樣，給予著相關(guān)領(lǐng)域內(nèi)所有成就不盡的源泉。