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前言：

    距離上次發(fā)文章，也快有半個(gè)月的時(shí)間了，這半個(gè)月的時(shí)間里又在學(xué)習(xí)機(jī)器學(xué)習(xí)的道路上摸索著前進(jìn)，積累了一點(diǎn)心得，以后會(huì)慢慢的寫(xiě)寫(xiě)這些心得。寫(xiě)文章是促進(jìn)自己對(duì)知識(shí)認(rèn)識(shí)的一個(gè)好方法，看書(shū)的時(shí)候往往不是非常細(xì)，所以有些公式、知識(shí)點(diǎn)什么的就一帶而過(guò)，里面的一些具體意義就不容易理解了。而寫(xiě)文章，特別是寫(xiě)科普性的文章，需要對(duì)里面的具體意義弄明白，甚至還要能舉出更生動(dòng)的例子，這是一個(gè)挑戰(zhàn)。為了寫(xiě)文章，往往需要把之前自己認(rèn)為看明白的內(nèi)容重新理解一下。

    機(jī)器學(xué)習(xí)可不是一個(gè)完全的技術(shù)性的東西，之前和部門(mén)老大在outing的時(shí)候一直在聊這個(gè)問(wèn)題，機(jī)器學(xué)習(xí)絕對(duì)不是一個(gè)一個(gè)孤立的算法堆砌起來(lái)的，想要像看《算法導(dǎo)論》這樣看機(jī)器學(xué)習(xí)是個(gè)不可取的方法，機(jī)器學(xué)習(xí)里面有幾個(gè)東西一直貫穿全書(shū)，比如說(shuō)數(shù)據(jù)的分布、最大似然（以及求極值的幾個(gè)方法，不過(guò)這個(gè)比較數(shù)學(xué)了），偏差、方差的權(quán)衡，還有特征選擇，模型選擇，混合模型等等知識(shí)，這些知識(shí)像磚頭、水泥一樣構(gòu)成了機(jī)器學(xué)習(xí)里面的一個(gè)個(gè)的算法。想要真正學(xué)好這些算法，一定要靜下心來(lái)將這些基礎(chǔ)知識(shí)弄清楚，才能夠真正理解、實(shí)現(xiàn)好各種機(jī)器學(xué)習(xí)算法。

    今天的主題是線性回歸，也會(huì)提一下偏差、方差的均衡這個(gè)主題。

線性回歸定義：

    在上一個(gè)主題中，也是一個(gè)與回歸相關(guān)的，不過(guò)上一節(jié)更側(cè)重于梯度這個(gè)概念，這一節(jié)更側(cè)重于回歸本身與偏差和方差的概念。

    回歸最簡(jiǎn)單的定義是，給出一個(gè)點(diǎn)集D，用一個(gè)函數(shù)去擬合這個(gè)點(diǎn)集，并且使得點(diǎn)集與擬合函數(shù)間的誤差最小。

        上圖所示，給出一個(gè)點(diǎn)集(x,y), 需要用一個(gè)函數(shù)去擬合這個(gè)點(diǎn)集，藍(lán)色的點(diǎn)是點(diǎn)集中的點(diǎn)，而紅色的曲線是函數(shù)的曲線，第一張圖是一個(gè)最簡(jiǎn)單的模型，對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y = f(x) = ax + b，這個(gè)就是一個(gè)線性函數(shù)，

    第二張圖是二次曲線，對(duì)應(yīng)的函數(shù)是y = f(x) = ax^2 + b。

    第三張圖我也不知道是什么函數(shù)，瞎畫(huà)的。

    第四張圖可以認(rèn)為是一個(gè)N次曲線，N = M - 1，M是點(diǎn)集中點(diǎn)的個(gè)數(shù)，有一個(gè)定理是，對(duì)于給定的M個(gè)點(diǎn)，我們可以用一個(gè)M - 1次的函數(shù)去完美的經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)集。

    真正的線性回歸，不僅會(huì)考慮使得曲線與給定點(diǎn)集的擬合程度最好，還會(huì)考慮模型最簡(jiǎn)單，這個(gè)話題我們將在本章后面的偏差、方差的權(quán)衡中深入的說(shuō)，另外這個(gè)話題還可以參考我之前的一篇文章：貝葉斯、概率分布與機(jī)器學(xué)習(xí)，里面對(duì)模型復(fù)雜度的問(wèn)題也進(jìn)行了一些討論。

    線性回歸(linear regression)，并非是指的線性函數(shù)，也就是

（為了方便起見(jiàn)，以后向量我就不在上面加箭頭了）

    x0,x1…表示一個(gè)點(diǎn)不同的維度，比如說(shuō)上一節(jié)中提到的，房子的價(jià)錢(qián)是由包括面積、房間的個(gè)數(shù)、房屋的朝向等等因素去決定的。而是用廣義的線性函數(shù)：

     wj是系數(shù)，w就是這個(gè)系數(shù)組成的向量，它影響著不同維度的Φj(x)在回歸函數(shù)中的影響度，比如說(shuō)對(duì)于房屋的售價(jià)來(lái)說(shuō)，房間朝向的w一定比房間面積的w更小。Φ(x)是可以換成不同的函數(shù)，不一定要求Φ(x)=x，這樣的模型我們認(rèn)為是廣義線性模型。

最小二乘法與最大似然：

    這個(gè)話題在此處有一個(gè)很詳細(xì)的討論，我這里主要談?wù)勥@個(gè)問(wèn)題的理解。最小二乘法是線性回歸中一個(gè)最簡(jiǎn)單的方法，它的推導(dǎo)有一個(gè)假設(shè)，就是回歸函數(shù)的估計(jì)值與真實(shí)值間的誤差假設(shè)是一個(gè)高斯分布。這個(gè)用公式來(lái)表示是下面的樣子： ，y(x,w)就是給定了w系數(shù)向量下的回歸函數(shù)的估計(jì)值，而t就是真實(shí)值了，ε表示誤差。我們可以接下來(lái)推出下面的式子：

     這是一個(gè)簡(jiǎn)單的條件概率表達(dá)式，表示在給定了x，w，β的情況下，得到真實(shí)值t的概率，由于ε服從高斯分布，則從估計(jì)值到真實(shí)值間的概率也是高斯分布的，看起來(lái)像下面的樣子：

          貝葉斯、概率分布與機(jī)器學(xué)習(xí)這篇文章中對(duì)分布影響結(jié)果這個(gè)話題討論比較多，可以回過(guò)頭去看看，由于最小二乘法有這樣一個(gè)假設(shè)，則會(huì)導(dǎo)致，如果我們給出的估計(jì)函數(shù)y(x,w)與真實(shí)值t不是高斯分布的，甚至是一個(gè)差距很大的分布，那么算出來(lái)的模型一定是不正確的，當(dāng)給定一個(gè)新的點(diǎn)x’想要求出一個(gè)估計(jì)值y’，與真實(shí)值t’可能就非常的遠(yuǎn)了。

     概率分布是一個(gè)可愛(ài)又可恨的東西，當(dāng)我們能夠準(zhǔn)確的預(yù)知某些數(shù)據(jù)的分布時(shí)，那我們可以做出一個(gè)非常精確的模型去預(yù)測(cè)它，但是在大多數(shù)真實(shí)的應(yīng)用場(chǎng)景中，數(shù)據(jù)的分布是不可知的，我們也很難去用一個(gè)分布、甚至多個(gè)分布的混合去表示數(shù)據(jù)的真實(shí)分布，比如說(shuō)給定了1億篇網(wǎng)頁(yè)，希望用一個(gè)現(xiàn)有的分布（比如說(shuō)混合高斯分布）去匹配里面詞頻的分布，是不可能的。在這種情況下，我們只能得到詞的出現(xiàn)概率，比如p(的)的概率是0.5，也就是一個(gè)網(wǎng)頁(yè)有1/2的概率出現(xiàn)“的”。如果一個(gè)算法，是對(duì)里面的分布進(jìn)行了某些假設(shè)，那么可能這個(gè)算法在真實(shí)的應(yīng)用中就會(huì)表現(xiàn)欠佳。最小二乘法對(duì)于類(lèi)似的一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題，就很無(wú)力了

偏差、方差的權(quán)衡(trade-off)：

    偏差(bias)和方差(variance)是統(tǒng)計(jì)學(xué)的概念，剛進(jìn)公司的時(shí)候，看到每個(gè)人的嘴里隨時(shí)蹦出這兩個(gè)詞，覺(jué)得很可怕。首先得明確的，方差是多個(gè)模型間的比較，而非對(duì)一個(gè)模型而言的，對(duì)于單獨(dú)的一個(gè)模型，比如說(shuō):

    這樣的一個(gè)給定了具體系數(shù)的估計(jì)函數(shù)，是不能說(shuō)f(x)的方差是多少。而偏差可以是單個(gè)數(shù)據(jù)集中的，也可以是多個(gè)數(shù)據(jù)集中的，這個(gè)得看具體的定義。

    方差和偏差一般來(lái)說(shuō)，是從同一個(gè)數(shù)據(jù)集中，用科學(xué)的采樣方法得到幾個(gè)不同的子數(shù)據(jù)集，用這些子數(shù)據(jù)集得到的模型，就可以談他們的方差和偏差的情況了。方差和偏差的變化一般是和模型的復(fù)雜程度成正比的，就像本文一開(kāi)始那四張小圖片一樣，當(dāng)我們一味的追求模型精確匹配，則可能會(huì)導(dǎo)致同一組數(shù)據(jù)訓(xùn)練出不同的模型，它們之間的差異非常大。這就叫做方差，不過(guò)他們的偏差就很小了，如下圖所示：

     上圖的藍(lán)色和綠色的點(diǎn)是表示一個(gè)數(shù)據(jù)集中采樣得到的不同的子數(shù)據(jù)集，我們有兩個(gè)N次的曲線去擬合這些點(diǎn)集，則可以得到兩條曲線（藍(lán)色和深綠色），它們的差異就很大，但是他們本是由同一個(gè)數(shù)據(jù)集生成的，這個(gè)就是模型復(fù)雜造成的方差大。模型越復(fù)雜，偏差就越小，而模型越簡(jiǎn)單，偏差就越大，方差和偏差是按下面的方式進(jìn)行變化的:

     當(dāng)方差和偏差加起來(lái)最優(yōu)的點(diǎn)，就是我們最佳的模型復(fù)雜度。

     用一個(gè)很通俗的例子來(lái)說(shuō)，現(xiàn)在咱們國(guó)家一味的追求GDP，GDP就像是模型的偏差，國(guó)家希望現(xiàn)有的GDP和目標(biāo)的GDP差異盡量的小，但是其中使用了很多復(fù)雜的手段，比如說(shuō)倒賣(mài)土地、強(qiáng)拆等等，這個(gè)增加了模型的復(fù)雜度，也會(huì)使得偏差（居民的收入分配）變大，窮的人越窮(被趕出城市的人與進(jìn)入城市買(mǎi)不起房的人），富的人越富（倒賣(mài)土地的人與賣(mài)房子的人）。其實(shí)本來(lái)模型不需要這么復(fù)雜，能夠讓居民的收入分配與國(guó)家的發(fā)展取得一個(gè)平衡的模型是最好的模型。

    最后還是用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)描述一下偏差和方差：

    E(L)是損失函數(shù)，h(x)表示真實(shí)值的平均，第一部分是與y（模型的估計(jì)函數(shù)）有關(guān)的，這個(gè)部分是由于我們選擇不同的估計(jì)函數(shù)（模型）帶來(lái)的差異，而第二部分是與y無(wú)關(guān)的，這個(gè)部分可以認(rèn)為是模型的固有噪聲。

    對(duì)于上面公式的第一部分，我們可以化成下面的形式：

    這個(gè)部分在PRML的1.5.5推導(dǎo)，前一半是表示偏差，而后一半表示方差，我們可以得出：損失函數(shù)=偏差^2+方差+固有噪音。

    下圖也來(lái)自PRML：

    這是一個(gè)曲線擬合的問(wèn)題，對(duì)同分布的不同的數(shù)據(jù)集進(jìn)行了多次的曲線擬合，左邊表示方差，右邊表示偏差，綠色是真實(shí)值函數(shù)。ln lambda表示模型的復(fù)雜程度，這個(gè)值越小，表示模型的復(fù)雜程度越高，在第一行，大家的復(fù)雜度都很低（每個(gè)人都很窮）的時(shí)候，方差是很小的，但是偏差同樣很小（國(guó)家也很窮），但是到了最后一幅圖，我們可以得到，每個(gè)人的復(fù)雜程度都很高的情況下，不同的函數(shù)就有著天壤之別了（貧富差異大），但是偏差就很小了（國(guó)家很富有）。

預(yù)告：

    接下來(lái)準(zhǔn)備談?wù)劸€性分類(lèi)的一些問(wèn)題，敬請(qǐng)關(guān)注：）