如何在二維圖形與乘法公式之間建立聯(lián)系是教學(xué)中需要突破的難點(diǎn),事實(shí)上學(xué)生是有學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的，小學(xué)階段學(xué)生已經(jīng)知道用公式刻畫圖形面積，比如正方形的面積是邊長的平方,長方形的面積是相鄰兩邊的乘積，用面積將圖形與代數(shù)間建立關(guān)聯(lián),這是幾何與代數(shù)之間進(jìn)行相互表征的萌芽。但是小學(xué)局限于最簡單的圖形，初中的圖形和公式更復(fù)雜，這是關(guān)鍵差異也是難點(diǎn)所在。怎樣自然而然地突破難點(diǎn)，發(fā)展能力呢? 需要從整體視角認(rèn)識(shí)圖形與代數(shù)的聯(lián)系，在學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提供思維的腳手架，將幾何圖形從一維上升到二維，相應(yīng)的將代數(shù)結(jié)構(gòu)從整式上升到整式乘法，層層遞進(jìn)地在文字、圖形、符號(hào)之間建立起聯(lián)系。——摘自《以乘法公式教學(xué)為載體培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)習(xí)能力》如圖，我們可以用下面的圖形對(duì)整式乘法進(jìn)行表征。分別將等式的左邊看成一個(gè)長方形，等式的右邊看作若干個(gè)長方形之和，則可以通過拼圖的方式對(duì)下列公式進(jìn)行幾何表征。在拼圖的時(shí)候?qū)τ谡街g的減法可以采取圖形的覆蓋進(jìn)行表示。對(duì)于等式1，可以借助下圖的視頻進(jìn)行表征，同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)用兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，可以驗(yàn)證一些整式乘法的等式。 如果令a=m，b=m，則下列等式就變形為三個(gè)乘法公式的形式了。完全平方公式的幾何表征可以類比整式乘法幾何表征中的(1)和(2)，此時(shí)所需的圖形變?yōu)閮蓚€(gè)邊長分別為a和b的正方形以及兩個(gè)形狀相同面積為ab的長方形。對(duì)于完全平方公式，完全可以借鑒上述的拼圖方式進(jìn)行證明：在完成了上述的一系列拼圖過程后，學(xué)生可以體會(huì)到拼圖所需的正方形和長方形的數(shù)量和形狀其實(shí)與展開后的整式中的各單項(xiàng)式相關(guān)。比如對(duì)于完全平方和公式：要拼成一個(gè)邊長為(a+b)的正方形，則其展開后的項(xiàng)為a^2、2ab、b^2，則需要1張邊長為a的正方形、2張長為a寬為b的長方形和1張邊長為b的正方形。因此通過類比，可以嘗試解決下列問題：同時(shí)對(duì)于完全平方公式的引入可以參照下列的數(shù)學(xué)史：平方差公式的幾何表征可以類比整式乘法幾何表征中的(3)進(jìn)行拼接。但是由于公式形式的特殊性：等式的右邊可以看作邊長是a和b的正方形的面積差（即可以看作邊長是a的正方形剪去邊長是b的正方形的剩余部分)，但是等式左邊的(a+b)(a-b)如何表示？方法1：將剩余部分按如圖所示的方式進(jìn)行拼接：左圖中的綠色長方形寬為b，長為(a-b)，通過拼接后，就得到一個(gè)長為a+b、寬為a-b的長方形。方法2：將剩余部分沿正方形的一條對(duì)角線剪開，則剩余的兩個(gè)梯形可以按照下圖所示拼成一個(gè)長方形、梯形和平行四邊形，這三個(gè)圖形的面積恰好可以用(a+b)(a-b)表示。
方法3：借鑒整式乘法(3)的方式拼接，此處的拼接與前兩者的拼接略有不同：需要4個(gè)圖形，分別是1張邊長為a的正方形、2張長為a寬為b的長方形和1張邊長為b的正方形。用驗(yàn)證完全平方公式的拼圖紙片也可以驗(yàn)證平方差公式。在完成了上述的拼圖推導(dǎo)后，可以再用下述的練習(xí)進(jìn)行鞏固強(qiáng)化。特別地，對(duì)于第(3)問的拼圖，如何拼出左邊的式子是問題解決的關(guān)鍵，需要拼出一個(gè)邊長為(a+b)的正方形，此時(shí)大正方形的內(nèi)部就是一個(gè)邊長為(a-b)的小正方形。第(4)問從二維到三維的推導(dǎo)是有一定難度的，需要沿用類比的思想進(jìn)行解決。對(duì)于本題而言，等式的右邊可以看作正方形B的面積減去正方形A的面積，再減去正方形C的面積，而等式的右邊相當(dāng)于是一個(gè)邊長為(n-m-p)的正方形，在作圖的時(shí)候可以參照下圖：可以借助生成式人工智能輔助生成圖形拼圖的交互式學(xué)件：
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