學(xué)而不思則罔?

最近，有同學(xué)向我求助：在學(xué)習(xí)平方差公式和完全平方公式時(shí)，容易混淆，從而導(dǎo)致有些計(jì)算出現(xiàn)錯(cuò)誤，該怎么辦？

有時(shí)候出現(xiàn)這種情況，可能是因?yàn)槲覀儗W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法有待改善。部分同學(xué)在初次接觸一個(gè)定義、性質(zhì)和定理時(shí)，比較急于利用結(jié)論來(lái)做題，缺少對(duì)概念本身的理解和深入思考，導(dǎo)致迷惑混淆！兩千多年前孔子就勸誡這類學(xué)生：學(xué)而不思則罔！

那么，我們?cè)诔醮螌W(xué)習(xí)一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念時(shí)，我們首先應(yīng)該思考哪些問題呢？

我們應(yīng)該嘗試去了解數(shù)學(xué)語(yǔ)言的三種形態(tài)：符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言。三種形態(tài)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言各有其優(yōu)越性，符號(hào)語(yǔ)言指意簡(jiǎn)明，文字語(yǔ)言表達(dá)嚴(yán)密，圖形語(yǔ)言表現(xiàn)直觀！初學(xué)一個(gè)數(shù)學(xué)概念時(shí)，我們要能夠?qū)⑷N語(yǔ)言形態(tài)進(jìn)行轉(zhuǎn)化！

讓我們用這三種語(yǔ)言來(lái)回顧一下整式乘法的相關(guān)公式吧！

一、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式

文字語(yǔ)言：?jiǎn)雾?xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。

符號(hào)語(yǔ)言：（ma）.（nb）=(mn)ab

圖形語(yǔ)言：

分析：我們可以把它看成一個(gè)長(zhǎng)為nb,寬為ma的長(zhǎng)方形，也可以看成mn個(gè)小長(zhǎng)方形，由面積相等得：（ma）.（nb）=(mn)ab！

二、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式

文字語(yǔ)言：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，再把所得的積相加。

符號(hào)語(yǔ)言：a(b+c+d)=ab+ac+ad

圖形語(yǔ)言：

分析：我們可以把它看成一個(gè)長(zhǎng)為（b+c+d),寬為a的長(zhǎng)方形，也可以看成3個(gè)小長(zhǎng)方形，由面積相等得：a(b+c+d)=ab+ac+ad!

三、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式

文字語(yǔ)言：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再把所得的積相加。

符號(hào)語(yǔ)言：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

圖形語(yǔ)言：

分析：我們可以把它看成一個(gè)長(zhǎng)為（a+b),寬為(c+d)的長(zhǎng)方形，也可以看成4個(gè)小長(zhǎng)方形，由面積相等得：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

四、完全平方公式

文字語(yǔ)言：兩數(shù)和（差）的平方，等于它們的平方和加上（減去）它們乘積的兩倍。

符號(hào)語(yǔ)言：

圖形語(yǔ)言：

分析：我們可以把圖1看成一個(gè)長(zhǎng)為（a+b),寬為(a+b)的長(zhǎng)方形，也可以看成4個(gè)小長(zhǎng)方形，由面積相等得(1);我們把圖2邊長(zhǎng)為（a-b)的正方形，可以轉(zhuǎn)化成邊長(zhǎng)為a的正方形減去兩個(gè)面積為ab的正方形，再加上邊長(zhǎng)為b的正方形，可得（2）。

五、平方差公式

文字語(yǔ)言：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。

符號(hào)語(yǔ)言：

圖形語(yǔ)言：

分析：我們可以把左側(cè)圖形轉(zhuǎn)化為右側(cè)圖形，由面積相等得:(a+b)(a-b)=a^2-b^2

六、立方差公式

文字語(yǔ)言：兩數(shù)的平方和加上兩數(shù)的積再乘以兩數(shù)的差，所得到的積就等于兩數(shù)的立方差。

符號(hào)語(yǔ)言：

圖形語(yǔ)言：

分析：由面積相等得a^3-b^3=a^2(a-b)+b^2(a-b)+ab(a-b)=(a-b)(a^2+ab+b^2)!

七、連續(xù)n個(gè)自然數(shù)立方和公式（n>0）

文字語(yǔ)言：前n個(gè)自然數(shù)的立方和，等于前n個(gè)自然之和的平方。

符號(hào)語(yǔ)言：

圖形語(yǔ)言：

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數(shù)學(xué)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)組成部分，有效的數(shù)學(xué)交流的通用語(yǔ)言，既是數(shù)學(xué)思維的載體，又是數(shù)學(xué)思維的體現(xiàn)！

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