1696年6月約翰·伯努利以最速降線問題向歐洲數(shù)學(xué)界發(fā)起挑戰(zhàn)，在只考慮重力的作用的情況下，不計(jì)摩擦力，一質(zhì)點(diǎn)在豎直面從A點(diǎn)沿某條曲線到B點(diǎn)，問怎樣的曲線能使所走的時(shí)間最短？

首先建立坐標(biāo)系和方程，設(shè)水平向右為x軸正方向，設(shè)豎直向下y軸為正方向，設(shè)曲線方程為 y=y(x)，下落過程中，小球重力勢(shì)能不斷轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，于是

 以dx為變換量，在dx變換內(nèi)小球運(yùn)行距離 

所以小球在軌道上運(yùn)行一段弧長所需的時(shí)間，也就是ds的時(shí)間為： 

于是整個(gè)過程所花的時(shí)間： 

這個(gè)問題用傳統(tǒng)的方法難以解決，可以類比于最短時(shí)間原理（費(fèi)馬定理）來解決：一束光從A點(diǎn)傳播到B點(diǎn)總是沿著盡可能快的路徑（唯一一條），從最短距離原理可以導(dǎo)出反射定理，如下圖所示，從空氣中的A點(diǎn)到達(dá)水下的B點(diǎn)，因?yàn)樗俣炔煌?，要想最短時(shí)間到達(dá)，需要滿足斯涅爾定律。

類似于斯涅爾定律，小球從高處下降時(shí)，每段速度均不同，采用類比的思想，可以將高度等分很多段，當(dāng)段數(shù)很大時(shí)，這段內(nèi)的速度可以認(rèn)為是相等的，則

約翰·伯努利宣稱自己已得到問題的解答并將挑戰(zhàn)時(shí)限定為六個(gè)月，但在此期間他沒有收到任何回復(fù)。應(yīng)萊布尼茨的要求，挑戰(zhàn)時(shí)間公開延長了一年半。1697年1月29日，當(dāng)艾薩克·牛頓回到家時(shí)，發(fā)現(xiàn)約翰·伯努利寫給他的一封信，信中以最速降線問題向他發(fā)起挑戰(zhàn)。牛頓僅用一個(gè)晚上就解決了這個(gè)問題，并匿名發(fā)表在哲學(xué)匯刊上。伯努利讀到牛頓的答案后，立刻認(rèn)出了它的作者，并驚呼“從爪印認(rèn)出了獅子”。 

約翰·伯努利和牛頓最終的答案就是擺線，即滾動(dòng)的輪子邊緣上的一點(diǎn)所描述的形狀，如上圖所示。 

后來歐拉對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行了深入分析，并發(fā)展出泛函代數(shù)這一數(shù)學(xué)分支，他將函數(shù)視為變量，可以將進(jìn)行微分，將最速降問題抽象成純數(shù)學(xué)問題：當(dāng)積分

取極值時(shí)，函數(shù)y(x)應(yīng)具有何種形式？

為了和數(shù)的變化——微分區(qū)別，用希臘字母δ表示。y變化時(shí)，泛函J也相應(yīng)改變。改變量為： 

采用微分變換公式，容易證明y(x) 應(yīng)滿足歐拉方程：

容易看出該方程和拉格朗日方程具有相同的形式： 

其中L=T?V,是體系的動(dòng)能與勢(shì)能的差，稱為拉格朗日量。

這兩個(gè)方程是不同的人，在不同的時(shí)代，為解決完全不同的問題，而推出的具有完全不同意義的兩個(gè)方程。但很明顯，兩個(gè)方程具有一模一樣的數(shù)學(xué)形式。這是巧合嗎？是的?；谶@一巧合，哈密頓提出：既然滿足歐拉方程的函數(shù)

取極值，那么對(duì)應(yīng)拉格朗日方程，也一定有積分取極值。這個(gè)拉氏量在時(shí)間上的積分就是哈密頓作用量。上面分析說明：力學(xué)體系從時(shí)刻t1到時(shí)刻t2，t的一切可能在運(yùn)動(dòng)之中，只有使哈密頓作用量取極值的運(yùn)動(dòng)，才是實(shí)際發(fā)生的運(yùn)動(dòng)。這就是最小能量原理。從最小能量原理可以推出拉格朗日方程，但發(fā)現(xiàn)的時(shí)間，卻是拉式方程在先，哈氏原理在后。

最小能量原理原理在理論力學(xué)中非常重要，主要原因和意義如下:

1. 最小能量原理將經(jīng)典力學(xué)的動(dòng)力學(xué)與能動(dòng)學(xué)統(tǒng)一起來,建立了經(jīng)典力學(xué)最基本的變分原理。

2. 根據(jù)最小能量原理,系統(tǒng)在允許的所有可能軌跡中,真實(shí)軌跡使最小能量動(dòng)作量Stationary,即使其第一變分為零。

3. 最小能量原理不僅可用于定量推導(dǎo)力學(xué)方程組,而且包含了經(jīng)典力學(xué)定律的深層物理內(nèi)涵。

4. 它表明系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)平衡狀態(tài)隨時(shí)間的變化滿足最小功原理,這個(gè)原理具有很強(qiáng)的廣度。

5. 最小能量原理是量子力學(xué)、廣義相對(duì)論等更高水平理論的基礎(chǔ),也是經(jīng)典力學(xué)的基礎(chǔ)框架。

6. 很多微分方程如拉格朗日方程組和哈密頓方程組,都可以直接從最小能量原理推導(dǎo)得到。

總之，最小能量原理從根本上統(tǒng)一了經(jīng)典力學(xué)的能動(dòng)關(guān)系和變分原理，給出力學(xué)運(yùn)動(dòng)的最小作用路線理論基礎(chǔ)，在理論力學(xué)中具有極其重要的地位。

今年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者約翰·霍普菲爾德(John Hopfield)創(chuàng)建了一種聯(lián)想存儲(chǔ)器，可以存儲(chǔ)和重建圖像以及數(shù)據(jù)中其他類型的模式。Hopfield網(wǎng)絡(luò)可以存儲(chǔ)模式并具有重新創(chuàng)建它們的方法。當(dāng)給網(wǎng)絡(luò)一個(gè)不完整或輕微扭曲的模式時(shí)，該方法可以找到最相似的存儲(chǔ)模式。

Hopfield網(wǎng)絡(luò)旨在為人類的聯(lián)想記憶功能建一個(gè)簡單的模型。什么是聯(lián)想記憶？舉個(gè)例子，比如說現(xiàn)在讓你回憶高中的時(shí)候發(fā)生過的一些事情，可能會(huì)比較困難，但假如讓你回到高中的教室，聽一些當(dāng)年的音樂，就可以大大幫助你的回憶。也就是說，你的大腦里實(shí)際上存儲(chǔ)著大量的長期記憶，但你并不能完全隨心所欲地檢索你的記憶，尤其是對(duì)一些塵封已久的記憶來說，需要一些輔助信息來引導(dǎo)你通過聯(lián)想找回記憶。

在神經(jīng)科學(xué)中，我們通常認(rèn)為大腦的狀態(tài)完全由每一個(gè)神經(jīng)元的firing rate（放電率，即膜電壓每秒超過幾次閾值）決定。比如說一個(gè)人的大腦有N個(gè)神經(jīng)元負(fù)責(zé)記憶相關(guān)，那么每個(gè)神經(jīng)元都有一根代表自己firing rate的坐標(biāo)軸，記憶腦區(qū)每一時(shí)刻的狀態(tài)都可以用這N維空間中的一個(gè)點(diǎn)來表示。

于是，聯(lián)想記憶功能可以被抽象為下圖這般的神經(jīng)動(dòng)力學(xué)：空間中任何一個(gè)點(diǎn)都代表大腦可能的一個(gè)狀態(tài)，每一個(gè)吸引子（黑點(diǎn)）編碼了一份記憶，同時(shí)這些吸引子把整個(gè)空間劃分成了各自的吸引域，如果大腦狀態(tài)落進(jìn)了某個(gè)吸引域就相當(dāng)于是擁有了一些輔助信息，之后會(huì)被吸引到相應(yīng)的吸引子那里，這個(gè)吸引的過程就是聯(lián)想或者說找回記憶（memory retrieval，pattern completion）的過程。

所以，勢(shì)能函數(shù)每一個(gè)local minimum（極小值點(diǎn)）都構(gòu)成一個(gè)吸引子，可以編碼一份記憶。而勢(shì)能函數(shù)的具體landscape完全由突觸性質(zhì)決定，這對(duì)應(yīng)的科學(xué)事實(shí)即為：長期記憶存儲(chǔ)在突觸網(wǎng)絡(luò)之中。意味著，所謂的回憶起某件事，就是大腦某個(gè)腦區(qū)回到了當(dāng)時(shí)記憶/感覺時(shí)的狀態(tài)，而回憶的過程，即是向勢(shì)能極小值點(diǎn)滑下的過程。