徑矢(矢徑)
在直角坐標(biāo)系中由原點(diǎn)o到任意點(diǎn)P的點(diǎn)矢=o，稱為點(diǎn)P在坐標(biāo)系中的徑矢。
設(shè)徑矢在坐標(biāo)軸上的投影分別為：ax、ay、az，則徑矢坐標(biāo)式為=ax+ay+az，其模為。若徑矢與坐標(biāo)軸之間的夾角分別為α、β、γ則a=cos-1(ax/||)；β=cos-1(ay/||) ；γ=cos-1(az/||)。單位徑矢在坐標(biāo)軸上的分量分別為cos α、cos β、cos γ (見圖4-4)。

矢量的數(shù)積(標(biāo)積、內(nèi)積、點(diǎn)積)
矢量和矢量的數(shù)積是純量，定義為：·=||||cosθ=abcosθ，θ為矢量、之夾角（圖4-5）。設(shè)兩矢量的分量分別為ax、ay、az ；bx、by、bz ，則兩矢量的夾角為 ，由定義可知 2=2=2=1， ·=·=·=0，兩矢量相互垂直的充要條件是它們的數(shù)積為零。

矢量的矢積(外積、X積)
矢量和矢量的矢積為矢量，定義為：×=||||sinθ，θ為、之夾角，為垂直、所在平面Σ的單位矢量（圖4-6）。×=-× ，其坐標(biāo)式為

由定義知 ×=×=×=0，×=，×=，×=兩矢量平行的充要條件是它們的矢量積為零。

矢量混合積
矢量和矢量求矢積后再和第三個矢量求數(shù)積稱混合積，混合積是純量，若已知矢量的坐標(biāo)分量，則、、的混合積為：

由定義知（、、）=（，，）=（，，）=-（，，）=-（，，）=-（，，）。底矢的混合積恒等于1；三個矢量、、共面的充要條件是它們的混合積等于零。

三重失積
矢量、、的三重矢積定義為（×）×=（·）·-（·）·。三重失積是矢量。

矢量回轉(zhuǎn)定義式
矢量繞回轉(zhuǎn)軸 轉(zhuǎn)過向角θ（圖4-7），得新矢量，新舊矢量之間的關(guān)系式，=（θ）稱矢量回轉(zhuǎn)定義式。式中θ為有向角，逆時針為正；表示回轉(zhuǎn)符號。定義式的展開式為：=cosθ(1-cosθ)·（ω·）· +sinθ·(×)。

拉格朗日恒等式
四個矢量、、、之間的關(guān)系式：（×）·（×）=（·）（·）-（·）（·）稱拉格朗日恒等式。

基本矢
設(shè)曲線Γ在P0點(diǎn)處的切矢為，這時⊥（“·”表示對弧長求導(dǎo)），若在P0處k≠0，則沿一條法線方向，這條法線稱曲線Γ在P0點(diǎn)處的主法矢，在曲線Γ上k≠0的非逗留點(diǎn)P0處，令 =×，稱為P0點(diǎn)處的副法矢，于是符合右手定則又互相垂直的三個單位矢量、、稱曲線Γ在P0點(diǎn)處的基本矢。三個基本矢分別組成了法面、密切面、從切面，如圖（4-8）所示。

曲線的基本公式
令、、為曲線在P點(diǎn)處的基本矢，于是在P點(diǎn)處可寫出如下關(guān)系式：

這些關(guān)系式稱曲線的基本公式，式中k為曲率，τ為撓率。

曲線的切矢
若已知曲線Γ：=（t)t1≤t≤t2為連續(xù)曲線，則曲線P0點(diǎn)處的切矢定義為：如′(t)≠0，保證曲線Γ在P0點(diǎn)處切線存在，而′(t0)代表這條切線方向，則稱′(t0)為曲線Γ在P0點(diǎn)處的切矢(圖4-9)。

法線的規(guī)范方程式
設(shè)X、Y、Z為法線上任意點(diǎn)的坐標(biāo)值，x、y、z為法線上給定點(diǎn)坐標(biāo)值，法線方程為：
 曲面Σ：當(dāng)F=F(x，y，z)時 

曲線的法面
若曲線Γ：=(t) ，在P0點(diǎn)的切線為′(t0)，則垂直于切線的每一條直線都稱為法線，法線所在的平面稱曲線在P0點(diǎn)處的法面(圖4-10)。
設(shè)法面上的流動矢量為，則法面的矢方程為：′(t0)·［-(t0)］=0

曲率
曲線上任意點(diǎn)P處的曲率，表示了曲線在P點(diǎn)處鄰近的彎曲程度，它是一個幾何量。設(shè)P0為曲線上的固定點(diǎn)，P為P0的鄰近點(diǎn)，對應(yīng)弧長分別為s0和s0+Δs，P0和P點(diǎn)處兩切線間的夾角為Δθ（圖4-11），則定義為曲線在P0點(diǎn)處的曲率。若曲線Γ用=r(s)表示，則k==||，若曲線Γ用=(t) 表示，則k=|′×″|/|′|3。

曲率線
曲面Σ上，若一條線的切矢總沿著主方向，則該曲線稱曲面Σ上的一條曲率線。在不含有臍點(diǎn)的曲面上，參數(shù)曲線u、v為曲率線的充要條件是F＝M＝0。

短程曲率
如圖4-12所示，在曲面Σ上，取一條過P點(diǎn)的曲線Γ，并作過P點(diǎn)切面T， 為Γ在P點(diǎn)的切矢， 為P點(diǎn)處曲面Σ的法矢，令= × (見圖4-12)，則曲線Γ上P點(diǎn)處的曲率矢量在上的投影，稱曲線Γ在P點(diǎn)處的短程曲率kgo kg的表達(dá)式為：kg= ·=k·，|kg|=ksinθ，k2=kn2+kg2。

法曲率
設(shè)在曲面Σ上的P點(diǎn)處，任意方向的法截線為，這條法截線在P點(diǎn)處的曲率稱為曲面Σ在P點(diǎn)處沿方向的法曲率。
設(shè)曲面Σ：當(dāng)=(u，v) ，則法曲率
 或 kn=dd/ds2=-d·d/d2

撓率
若P0是曲線Γ上的任意點(diǎn)，P是Γ上P0點(diǎn)的鄰近點(diǎn)，Δθ(Δθ>0)為Γ線上P0點(diǎn)與P點(diǎn)處副法線之夾角，弧長 =|Δs|，定義曲線Γ在P0點(diǎn)處的撓率為（圖4-13）。由此可見一條曲線為平面曲線的充要條件是|τ|=0 ，撓率的計算式為τ=（，，）或 。

短程撓率
在曲面Σ上，在一條異于直線的短程線的P點(diǎn)處，該線切線方向的撓率，稱短程撓率。。短程撓率等于零是主方向的充要條件。亦即曲面上一條曲線為曲率線的充要條件是沿其方向的短程撓率恒等于零。

界法矢
設(shè)P（2）是齒面Σ（2）上的二界共軛點(diǎn)，但不是一類界限點(diǎn)，在P（2）點(diǎn)處齒面Σ（1）的單位法矢0稱為齒面Σ（2）在P（2）點(diǎn)處的界法矢。

漸近方向
在曲面Σ上的P點(diǎn)處，一般沿不同方向有不同的法曲率。特殊的kn=0的方向稱為曲面Σ在P點(diǎn)處的漸近方向。

曲面的直角坐標(biāo)式
若曲面的參數(shù)矢量式為Σ：=(u，v) ，則坐標(biāo)式可寫成：

上式稱曲面的直角坐標(biāo)式(即坐標(biāo)式)。

曲面的切矢
在曲面Σ的切平面π上，經(jīng)過切點(diǎn)P0的每一條直線都和曲面Σ上的一些曲線相切，它們都稱Σ曲面在ρ0的一條切線，而沿這些切線方向的矢量都叫做Σ曲面的切矢。

曲面的切面方程式
曲面P0點(diǎn)處，切線所在平面稱切平面(圖4-14)。設(shè)曲面Σ：=(u，v) ，為切面上任意點(diǎn)P的徑矢，0為P0點(diǎn)的徑矢，則(-，u，v)=0稱切平面方程式，亦即：


曲面的法線
與曲面Σ上P點(diǎn)處的切面相垂直，且通過P點(diǎn)的直線稱曲面在P點(diǎn)處的法線。若曲面Σ：=(u，v) ，則法線矢量式為：
 單位法矢量 。

曲面的參數(shù)矢量式
設(shè)u、v為曲面上的曲紋參數(shù)，并將u、v限制在區(qū)域G內(nèi)(圖4-15)，記作(u，v)∈G，這時曲面的表達(dá)式為Σ：=(u，v)，稱其為曲面的參數(shù)矢量式。

尋常點(diǎn)(正則點(diǎn))
設(shè)曲面Σ：=(u，v)，則u×v≠0的點(diǎn)稱曲面的尋常點(diǎn)，亦稱曲面上的正則點(diǎn)。在該點(diǎn)有確定的法矢。

奇異點(diǎn)
設(shè)曲面Σ：=(u，v)，則曲面上u×v=0的點(diǎn)稱奇異點(diǎn)。

曲面的第一基本量
設(shè)曲面Σ：=(u，v)，其上取曲線Γ：u=u（t），v=v（t），若Γ上沒有奇點(diǎn)，選定參數(shù)t使u′(t)，v ′(t)不同時為零，于是：du=udu+vdv，則ds2=d2=Edu2+Fdudv+Gdv2，稱第一基本齊式，式中E=u2 ，F(xiàn)=uv ，G=v2 ，三個純量稱第一基本量。第一齊式的判別式為：EG-F2=u2v2-(u·v )2，于是D= 或 。

曲面的第二基本量
設(shè)曲面Σ上的任意曲線Γ：u＝u（t），v＝v（t），則稱-d·d=Ldu2+2Mdudv+Ndv2的右側(cè)為曲面的第二基本齊式。稱L=-u·u，M=-u·v，N=-v·v為第二基本量。

主曲率
在曲面Σ上的非臍點(diǎn)P處，沿不同的方向的法曲率是不相等的，稱其中具有最大值和最小值的法曲率為曲面Σ在P點(diǎn)處的主曲率。
設(shè)曲面Σ:=(u，v)則主曲率可由公式：(EG-F2)kn2-(EN-2FM+GL)kn+(LN-M2)=0 求解。

主方向
在曲面Σ上的非臍點(diǎn)處，主曲率所在的切矢方向稱主方向。主方向1和2總是相互垂直的。對于臍點(diǎn)一切方向都是主方向。參數(shù)曲線u、v方向?yàn)橹鞣较虻某湟獥l件是F=M=0，設(shè)曲面Σ：=(u，v)，則Σ上任意點(diǎn)處的主方向可由下式確定：

若k1、k2分別表示Σ上P點(diǎn)處主方向du=0，dv=0的主曲率，于是單位切矢1、2：

1、2、組成正交的右手系1×2= (圖4-16)。

中曲率
曲面Σ：=(u，v)上任意點(diǎn)P處，若主曲率為k1、k2，則定義 為中曲率。

全曲率
曲面Σ：=(u，v)上任意點(diǎn)P處的主曲率為k1、k2，則定義 為全曲率。

梅尼埃定理
設(shè)曲面曲線Γ在任意點(diǎn)P處的主法矢和曲面法線之夾角為θ，若對于·=cosθ≠0的方向，kn=k cosθ，則表明了曲面上，任意沿方向的曲線的曲率k和沿該方向的法曲率kn的關(guān)系，稱kn=k cos θ為梅尼埃(Meusnier)定理。

羅德里克方程
在不含有臍點(diǎn)的曲面上，任意點(diǎn)P處d、d為沿著一個主方向的微分，kn表示沿這個主方向的主曲率k1或k2，則式d=-knd稱羅德里克(Rodriques)方程。

歐拉公式
P為曲面Σ：=(u，v)上的一非臍點(diǎn)，且在P點(diǎn)附近，一個整片曲面內(nèi)沒有臍點(diǎn)，選擇參數(shù)曲線u，v為曲率線，φ為主方向到任意切矢的有向角(圖4-17)，則kn=k1cos2φ+k2sin2φ稱歐拉(Euler)公式，它表明了任意方向的法曲率kn和兩個主曲率之間的關(guān)系。

相對漸近方向
曲面Σ（1）、Σ（2）在P點(diǎn)相切觸，在P點(diǎn)處相對法曲率等于零的方向，稱相對漸近方向。

相對曲率
對于“有向平面”上的“有向曲率”引進(jìn)的曲率概念稱相對曲率。

相對主曲率
設(shè)曲面Σ（1）、Σ（2）在P點(diǎn)相切觸。在P點(diǎn)處相對法曲率的最大和最小值稱相對主曲率。其值kn1(12)，kn2(12)=H(12)±R(12)。

相對主方向
設(shè)曲面Σ（1）、Σ（2）在P點(diǎn)相切觸，在P點(diǎn)處相對主曲率所在的方向 1(12)， 2(12)(圖4-18)稱相對主方向。兩相對主方向相互垂直 1(12)⊥2(12)。且-R（1）sin2a+R（2）sin2(φ-φ1)=0。

相對中曲率
給定條件與“相對法曲率”相同，定義：H（12）=H（1）-H（2）為相對中曲率，它等于任意兩個相互垂直方向的相對曲率的平均值。

相對全曲率
設(shè)曲面Σ（1）、Σ（2）在P點(diǎn)相切觸，定義：在切觸點(diǎn)P處相對主曲率k1(12)、k2(12)之積稱曲面Σ（1）、Σ（2）在切觸點(diǎn)P處的相對全曲率。K(12)=k1(12)·k2(12)=H（12）-R（12）。

相對法曲率
設(shè)曲面Σ（1）、Σ（2）在P點(diǎn)相切觸，有相同的單位法矢，任意方向的法曲率分別為kn(1)、kn(2)，定義：kn(12)= kn(1)-kn(2)為相對法曲率。如圖(4-19)所示，φ1、φ分別為 1（1）與1（2）、1（1）與的有向角，于是有：
kn(12)=H（12）+R（1）cos2φ-R（2）cos(φ-φ1)
式中，R（1）、R（2）分別為曲面Σ（1）、Σ（2）在P點(diǎn)處的曲撓圓半徑。

相對短程撓率
曲面Σ（1）、Σ（2）在P點(diǎn)處相切觸，有相同的法矢，、τg(2)分別為兩曲面的短程撓率(見圖4-20)，定義：τg(12)=τg(1)-τg(2)為相對短程撓率。于是τg(12)=-R(1)sin2φ+R(2)sin2(φ-φ1)。R（1）、R（2）為曲撓圓半徑。

貝特朗公式
在曲面Σ上的P點(diǎn)處，1和的夾角為φ，τg=(k2-k1)sinφcosφ稱貝特朗(Bertrand)公式。它表示了主曲率（k1，k2）和短程撓率τg之關(guān)系。若是主方向，則τg=0。

短程線
曲面Σ上短程曲率恒等于零的曲線Γ稱短程線。曲面Σ上的曲線成為短程線的充要條件是，曲線上的主法線處處和曲面法線重合，即：·=0，=±。