11.2  多元函數(shù)微分法在幾何上的應(yīng)用

11.2.1 空間曲線的切線與法平面

    設(shè)均是可導(dǎo)函數(shù)，空間曲線

上一點(diǎn)處的切線方程與法平面方程，可按下面的方法得出：設(shè)

, 在處給增量，于是有

記所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為．則割線方程為

或                        

令，得點(diǎn)處的切線方程：

．

從而，過點(diǎn)曲線的法平面方程為：

．

    定義11.2.1.  若曲線：上每一點(diǎn)存在切線，則稱曲線是光滑曲線．

用一般方程組給出的空間曲線上一點(diǎn)處，曲線切線與法平面的求法關(guān)鍵是求切線的方向數(shù)．假設(shè)上述方程組所確定的曲線

為：

將方程組兩端對(duì)求導(dǎo)，有

若，則

從而，切線方程為：

或

法平面方程為：

．

11.2.2曲面的切平面與法線

設(shè)是曲面:上一定點(diǎn)，如果在點(diǎn)對(duì)三變量都存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，并且 ,,

不全為零．則曲面上經(jīng)過的一切光滑曲線在處的切線都在如下平面上：

這時(shí)我們稱平面π為曲面Σ在的切平面，且

稱為曲線Σ在的法矢量；經(jīng)過以法矢量為方向矢量的直線稱為曲面Σ在的法線．

    事實(shí)上，設(shè)是曲面Σ上經(jīng)過點(diǎn)的任一光滑曲線，其中：．即在鄰域內(nèi)，有

從而

令，得

所以

從而，曲面Σ上過的切線方程為

在平面π上．

定理11.2.1  如果不全為零，且．則

是曲面在點(diǎn)處的切平面的法矢量，也是點(diǎn)的法線的方向矢量，即點(diǎn)處的切平面方程為

法線方程為

典型例題：

例11.2.1 求光滑曲線在點(diǎn)的切線與法平面方程．

    解 因時(shí)，對(duì)應(yīng)曲線上點(diǎn)，所以曲線在的切線的方向數(shù)為：

故曲線在的切線方程為

法平面方程為      

即                       ．

例11.2.2  求曲線在點(diǎn)(1,0,1)的切線及法平面方程．

    解  曲線可表為它在(1,0,1)處切線的方向數(shù)為：

所以(1,0,1)處的切線為    

法平面為           

即                        ．

例11.2.3  求曲線在點(diǎn)(1,-2,1)處的切線及法平面方程．

    解：對(duì)曲線的方程組兩端求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，得

從而有

于是得

故曲線在(1,-2,1)的切線方程為

法平面方程為                   ．

例11.2.4  求球面在點(diǎn)(1,2,3)處的切平面及法線方程．

    解  設(shè)，于是有

從而，切平面為

法線方程為

．