一個(gè)全面的數(shù)學(xué)框架將皺紋模式視為幾何問題的優(yōu)雅解。

作者：Stephen Ornes 2022-9-22

譯者：zzllrr小樂 2022-9-25

2018 年在密歇根大學(xué)的一次演講開始幾分鐘后，伊恩·托巴斯科（Ian Tobasco）拿起一張大紙，把它揉成一個(gè)看似無序的混亂球。他把它舉起來讓觀眾看，捏了幾下，然后又?jǐn)傞_。

“我得到了大量的褶皺，這就是謎團(tuán)，”他說?！笆鞘裁磸牧硪粋€(gè)更有序的模式中選擇了這個(gè)模式？”

然后，他舉起第二張大紙——這張紙預(yù)先折疊成著名的平行四邊形折紙圖案，稱為三浦折紙（Miura-origami，日本人三浦公亮在1980年發(fā)明，靈感來源是蜻蜓的翅膀和樹葉的紋路，譯者注，據(jù)知乎Tish）——然后將其壓平。他說，他在每張紙上使用的力大致相同，但結(jié)果卻大不相同。三浦折紙被整齊地劃分為幾何區(qū)域；皺巴巴的球是一團(tuán)鋸齒狀的線條。

“你會(huì)感覺到，”他指著皺巴巴的紙上零散排列的折痕說，“這只是個(gè)隨機(jī)無序版本。” 他指了指整潔有序的三浦折紙。“但我們還沒有確定這是否屬實(shí)?！?/p>

建立這種聯(lián)系需要建立彈性模式的通用數(shù)學(xué)規(guī)則。托巴斯科多年來一直在研究這個(gè)問題，研究描述薄彈性材料的方程式——通過試圖彈回其原始形狀來響應(yīng)變形的材料。用力戳一個(gè)氣球，就會(huì)形成放射狀皺紋的星爆圖案；移開你的手指，它們會(huì)再次變得平滑。擠壓一個(gè)皺巴巴的紙球，當(dāng)你松開它時(shí)它會(huì)膨脹（盡管它不會(huì)完全不皺）。工程師和物理學(xué)家已經(jīng)研究了這些模式在特定情況下是如何出現(xiàn)的，但對(duì)數(shù)學(xué)家來說，這些實(shí)際結(jié)果提出了一個(gè)更基本的問題：一般來說，是否有可能理解是什么選擇了這一種模式而不是另一種？

2021 年 1 月，托巴斯科發(fā)表了一篇論文 https://link./article/10.1007/s00205-020-01566-8 ，肯定地回答了這個(gè)問題——至少在將光滑、彎曲、有彈性的片材壓平的情況下（這種情況為探索這個(gè)問題提供了明確的方法）。他的方程式預(yù)測看似隨機(jī)的皺紋如何包含“有序”域，而具有重復(fù)的、可識(shí)別的模式。他與人合寫了一篇論文，上個(gè)月發(fā)表，https://www./articles/s41567-022-01672-2 （另可參見今日新材料公眾號(hào)文章：《研究前沿：Nature Physics-超可拉伸的褶皺膜材料》，譯者注）展示了一種新的物理理論，它以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)為基礎(chǔ)，可以預(yù)測現(xiàn)實(shí)場景中的模式。

值得注意的是，托巴斯科的工作表明，皺紋，在許多方面，可以被視為幾何問題的解?！斑@是一篇美妙的數(shù)學(xué)分析，”德國波恩大學(xué)豪斯多夫數(shù)學(xué)中心的斯特凡·穆勒 ( Stefan Müller ) 說。

它首次優(yōu)雅地闡述了這一普遍現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)規(guī)則——以及一種新的理解?！斑@里數(shù)學(xué)的作用不是證明物理學(xué)家已經(jīng)做出的猜想，”紐約大學(xué)庫朗研究所的數(shù)學(xué)家、托巴斯科的研究生院導(dǎo)師羅伯特·科恩（Robert Kohn）說，“而是提供一個(gè)以前沒有系統(tǒng)解釋的理論?！?/p>

大踏步走

發(fā)展皺紋和彈性模式理論的目標(biāo)是一個(gè)古老的目標(biāo)。1894 年，在《自然》雜志的一篇評(píng)論中，數(shù)學(xué)家喬治·格林希爾（George Greenhill）指出了理論家（“我們要思考什么？”）和他們可以弄清楚的有用應(yīng)用（“我們要做什么？”）之間的區(qū)別。

在 19 世紀(jì)和 20 世紀(jì)，科學(xué)家們?cè)诤笳叻矫嫒〉昧撕艽筮M(jìn)展，研究了與正在變形的特定物體的皺紋有關(guān)的問題。早期的例子包括為航海船只鍛造光滑、彎曲的金屬板的問題，以及試圖將山脈的形成與地殼的加熱聯(lián)系起來。

最近，數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家擴(kuò)大了將理論與對(duì)各種起皺情況、幾何形狀和材料的觀察聯(lián)系起來的努力?！斑@已經(jīng)持續(xù)了大約 10 年，我們首先進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，然后試圖找到理解它們的理論，”牛津大學(xué)的數(shù)學(xué)家Dominic Vella說。“直到最近，我們才開始有了正確的認(rèn)識(shí)?！?/p>

伊恩·托巴斯科（Ian Tobasco）提出了一種理論，該理論以數(shù)學(xué)方式描述了曲面被壓平時(shí)出現(xiàn)的各種皺紋。Petra Lein 供圖

有一些令人興奮的里程碑。2015 年，麻省理工學(xué)院的機(jī)械工程師 Pedro Reis描述了在癟陷硅球上形成的幾何圖案的物理規(guī)律。他的工作將這些皺紋與彈性材料內(nèi)外層的厚度聯(lián)系起來。Reis 還指出，皺紋可能會(huì)提供設(shè)計(jì)新機(jī)械行為的機(jī)會(huì)，而不是被視為缺陷。然后在 2017 年，Vella領(lǐng)導(dǎo)分析了彈性薄膜在壓力下的起皺不穩(wěn)定性，https:///doi/full/10.1098/rsta.2016.0330 描述了皺紋數(shù)量如何根據(jù)初始戳點(diǎn)的深度和其他具體細(xì)節(jié)而變化。

但這些發(fā)展仍然只解決了部分問題。為了更一般地理解皺紋是如何形成的，需要一種不同的方法。托巴斯科將是推動(dòng)它前進(jìn)的人。

追隨好奇心

當(dāng)他年輕的時(shí)候，托巴斯科認(rèn)為他會(huì)進(jìn)入航空航天工程。他于 2011 年畢業(yè)于密歇根大學(xué)，獲得該領(lǐng)域的學(xué)士學(xué)位，但那時(shí)他已經(jīng)開始深入思考數(shù)學(xué)推理和物理系統(tǒng)。他獲得了數(shù)學(xué)博士學(xué)位，但他責(zé)怪現(xiàn)在雪城大學(xué)的物理學(xué)家喬伊·保爾森（Joey Paulsen）讓他走上了皺紋的特定道路。

在保爾森職業(yè)生涯的早期，在研究不尋常材料的特性時(shí)，他學(xué)會(huì)了使用一種稱為旋涂（spin coating）的技術(shù)制造和分析超薄聚合物薄膜。首先，他會(huì)制造一種特殊的液體材料，其中含有微量溶解的聚合物；然后他將材料放在旋轉(zhuǎn)板上。大部分液體會(huì)蒸發(fā)，而聚合物在凝固之前會(huì)擴(kuò)散到均勻的厚度。在雪城大學(xué)擁有自己的實(shí)驗(yàn)室后，保爾森學(xué)會(huì)了如何利用旋涂技術(shù)來制造彎曲的薄膜——比如超薄的龜殼。

有一天，他將其中一些彎曲的薄膜放在靜止的水面上，并拍攝了它們是如何沉降在水面上的?！斑@純粹是出于好奇，”他說。這些照片在 2017 年與保爾森的一次非正式會(huì)議上引起了托巴斯科的注意。

“他們表明你可以得到這些隨機(jī)無序的皺紋模式——當(dāng)你做了兩次實(shí)驗(yàn)時(shí)，你得到了兩種不同的模式，”托巴斯科說，他現(xiàn)在是芝加哥伊利諾伊大學(xué)的助理教授?！拔蚁肟纯次沂欠窨梢詮膹椥灾刑岢鲆恍┛赏茖?dǎo)的方法[來預(yù)測那些模式]，它結(jié)合了外殼的形狀。而且模型不會(huì)因殼而異?！?/p>

起皺圖案是能量最少的配置。也就是說，隨著薄膜沉積在平坦的表面上，它會(huì)變形，直到找到皺紋的排列，無論是否無序，這需要最少的能量來維持?！澳憧梢酝ㄟ^[模式]顯現(xiàn)時(shí)存儲(chǔ)的能量來組織模式，”托巴斯科說。

在該指導(dǎo)原則的指導(dǎo)下，他分離出薄膜的一些特征，這些特征被證明是選擇其圖案的特征，包括一種稱為高斯曲率（Gaussian curvature）的形狀度量。具有正高斯曲率的表面會(huì)遠(yuǎn)離自身彎曲，就像球的外部一樣。相反，負(fù)曲率的表面是馬鞍形的，就像一片薯片：如果你朝一個(gè)方向走，你會(huì)往上走，但如果你朝另一個(gè)方向走，你就會(huì)往下走。

托巴斯科發(fā)現(xiàn)正高斯曲率區(qū)域產(chǎn)生一種有序和無序區(qū)域的排列，而負(fù)曲率區(qū)域產(chǎn)生其他類型。“詳細(xì)的幾何形狀并不那么重要，”Vella 說?！斑@真的只取決于高斯曲率的符號(hào)。”

他們?cè)鴳岩筛咚骨蕦?duì)起皺很重要，但 Vella 表示，令人驚訝的是領(lǐng)域如此嚴(yán)重地依賴于符號(hào)。更重要的是，托巴斯科的理論也適用于廣泛的彈性材料，而不僅僅是保爾森的形式。“這是一個(gè)很好的幾何結(jié)構(gòu)，可以顯示皺紋出現(xiàn)的位置，”Vella 說?！暗斫馑膩碓凑娴暮苌羁蹋悬c(diǎn)令人驚訝。”

保爾森同意了。“伊恩的理論非常美妙之處是一次性給你整個(gè)模式?！?/p>

現(xiàn)實(shí)生活中的皺紋 

2018 年初，托巴斯科的理論基本確定了——但即使它在紙上有效，他也不能確定它在現(xiàn)實(shí)世界中是否準(zhǔn)確。托巴斯科聯(lián)系了保爾森，詢問他是否有興趣合作?！坝行〇|西馬上就奏效了，”保爾森說?！耙炼鞯囊恍╊A(yù)測，放在實(shí)驗(yàn)圖片之上，我們可以立即看到它們排列整齊。”

在當(dāng)年的工業(yè)和應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)的材料科學(xué)數(shù)學(xué)方面的會(huì)議上，托巴斯科被介紹給賓夕法尼亞大學(xué)的物理學(xué)家卡蒂福里（Eleni Katifori） ，他正在探索受限殼中的皺紋模式問題并建立一個(gè)結(jié)果數(shù)據(jù)庫。這是一個(gè)偶然的時(shí)刻?！拔覀兛梢钥吹?Ian 的工作所解釋的領(lǐng)域[在模擬中]，”她說。這場比賽是不可思議的。即使在他們的第一次討論中，很明顯托巴斯科的理論、保爾森的實(shí)驗(yàn)圖像和卡蒂福里的模擬都描述了相同的現(xiàn)象?！凹词乖谠缙陔A段，當(dāng)我們沒有任何具體的東西時(shí)，我們也可以看到這種聯(lián)系?！?/p>

這種早期的興奮很快引起了質(zhì)疑。這似乎好得令人難以置信。“他是一位數(shù)學(xué)家，他把所有這些東西都變成了無維度的，”保爾森說，他指的是托巴斯科關(guān)于曲率的想法如何可以擴(kuò)展到二維平面材料之外?！拔覀冋娴脑诳赐粋€(gè)系統(tǒng)嗎？它是一致的，但它應(yīng)該一致嗎？”

在接下來的兩年里，三位研究人員對(duì)細(xì)節(jié)進(jìn)行了討論，表明托巴斯科的理論確實(shí)——準(zhǔn)確地——預(yù)測了保爾森在他的實(shí)驗(yàn)中看到的皺紋的排列，以及卡蒂福里在她的計(jì)算機(jī)模型中發(fā)現(xiàn)的皺紋的排列。8 月 25 日，他們?cè)贜ature Physics上發(fā)表了一篇論文 https://www./articles/s41567-022-01672-2 ，展示了這三種方法是如何匯聚在相同的、直接的皺紋幾何排列上的。值得注意的是，他們發(fā)現(xiàn)這些圖案屬于整齊的等腰三角形（ isosceles triangles）家族，這些三角形劃分了有序和無序的領(lǐng)域。此外，結(jié)果不僅限于對(duì)不可能的薄度材料的數(shù)學(xué)抽象，而是解決了多個(gè)數(shù)量級(jí)的厚度問題。

他們的工作還為推廣該理論及其應(yīng)用提供了機(jī)會(huì)?？ǖ俑＠镎f，作為一名物理學(xué)家，她有興趣利用這些預(yù)測來設(shè)計(jì)新材料?！拔蚁肓私馊绾卧O(shè)計(jì)表面，以便它們實(shí)際上將起皺圖案自組織成你想要的東西?！?/p>

另一個(gè)懸而未決的問題是該理論如何普遍適用于不同類型的曲面?！八浅ｊP(guān)注 [高斯曲率] 為正或負(fù)的情況，但在很多情況下，有些區(qū)域是正的，有些是負(fù)的，”Vella 說。

保爾森同意這是一個(gè)令人興奮的可能性，托巴斯科說他正在這個(gè)領(lǐng)域積極工作，并考慮其他形狀的貝殼——比如那些有孔的貝殼。

但保爾森表示，即使就目前而言，這個(gè)理論也是美麗而令人驚訝的。“如果我給你一個(gè)殼和一個(gè)邊界形狀，以及伊恩理論預(yù)測的這套簡單規(guī)則，那么你可以拿一個(gè)圓規(guī)和尺子，畫出基本皺紋，”他說。“它不必以這種方式發(fā)生。這可能是完全令人震驚的?！?/p>

原文鏈接：

https://www./the-new-math-of-wrinkling-patterns-20220922/