丘成桐（美國(guó)哈佛大學(xué)）

（在中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院的演講2005年11月12日）

遠(yuǎn)古時(shí)代

在古代的社會(huì)，人類(lèi)已經(jīng)懂得丈量土地，觀察星體的運(yùn)行，和感嘆時(shí)間的消逝，因此產(chǎn)生了時(shí)空的概念。

中國(guó)哲學(xué)家

易經(jīng)：“太極生兩儀，兩儀生四象。”

莊子：“天地雖大，其化均也。”

孔子：“逝者如斯夫，不舍晝夜。”

屈原：“日月安屬，列星安陳？”

李白：“夫天地者，萬(wàn)物之逆旅，光陰者，百代之過(guò)客。”

可見(jiàn)古人不斷地在探討時(shí)空。我現(xiàn)在從幾何學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看時(shí)空的歷史。

希臘哲學(xué)家

柏拉圖和古希臘諸賢視幾何為大自然的一部份，幾何成為描述大自然的主要工具。但是他們認(rèn)為空間是靜止不動(dòng)，平坦而無(wú)起伏的。這種見(jiàn)解持續(xù)了二十多個(gè)世紀(jì)，大致與幾何認(rèn)知上的局限性有關(guān)。

希臘哲學(xué)家崇尚推理，希望從數(shù)學(xué)的美中找到自然界的真理，所以他們對(duì)時(shí)空的了解比任何古文化都來(lái)得先進(jìn)。

Elie Cartan(1869-1951，偉大的幾何學(xué)家)

“對(duì)比其它科學(xué)而言，數(shù)學(xué)的發(fā)展更依賴于一層復(fù)一層的抽象。為了避免犯錯(cuò)，數(shù)學(xué)家必須抓住問(wèn)題和對(duì)象的精義，并把它們篩選出來(lái)。”

“正確的推理無(wú)疑非常要緊，但更關(guān)鍵的是找到骨節(jié)眼上的問(wèn)題。必須具有正確的直覺(jué)，才能夠選對(duì)最根本的問(wèn)題。解決這些問(wèn)題，對(duì)科學(xué)的整體發(fā)展，具有舉足輕重的作用。”

幾何學(xué)

基本的問(wèn)題來(lái)自大自然，并由問(wèn)題本身的和諧典麗所啟迪。

希臘幾何學(xué)家最先利用公理化來(lái)處理數(shù)學(xué)。

只有引入一系列公理，我們才能對(duì)大自然的規(guī)律有清晰的了解，并為其奧妙而贊嘆。

歐幾里得幾何學(xué)

歐幾里得（公元前330年-前275年）系統(tǒng)地研究了有關(guān)直線、平面、圓和球的幾何性質(zhì)。

最基本的定理：

1. 畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理）；

2. 任一三角形的內(nèi)角和皆為180?。

歐氏幾何對(duì)后世的影響

后人稱(chēng)頌畢達(dá)哥拉斯定理，說(shuō)它是平面幾何中最重要的定理。迄今為止，在大部分有意義的幾何空間中，都要求這條定理在無(wú)窮小的情形下成立。

三角形內(nèi)角和為180?，本質(zhì)上是說(shuō)平面是平坦不具有曲率的。Legendre首先指出它等價(jià)于下面所給出的命題。

歐氏第五公理

一直線與其它二直線相交后，假設(shè)其同側(cè)二內(nèi)角和少于二直角，則沿此側(cè)面延長(zhǎng)此二直線，它們必會(huì)在某處相交。

第五公理證明的失敗

下面是一些嘗試用歐氏其它公理去證明第五公理的人：

Ptolemy (90-168)，Prolos (410-485)，Nasir al din al Tusi (1201-1274)，Levi ben Gerson (1288-1344)，Cataldi (1548-1626)，Giovanni Alfonso Borelli (1608-1679)，Giordano Vitale (1633-1711)，John Wallis (1616-1703)，Gerolamo Saccheri (1667-1733)，Johann Heinrich Lambert (1728-1777)，Adrien Marie Legendre (1752-1833)。

雙曲幾何

最后，高斯、Bolyai和羅巴切夫斯基不約而同地發(fā)明了雙曲幾何-曲率為負(fù)常數(shù)的空間。相傳高斯曾測(cè)量在Harz山脈中由Inselberg、Brocken和Hoher三地形成的三角形，看看其內(nèi)角和是否等于180?。

Klein模型和非歐幾何的產(chǎn)生

F. Klein創(chuàng)造了一種解析的方法，通過(guò)賦予在單位圓盤(pán)上任意兩點(diǎn)的某種距離，給出雙曲幾何的一個(gè)模型，后人稱(chēng)之為Klein模型。至此，人們終于證明了歐氏第五公理不可以由其它公理推導(dǎo)出來(lái)。

雙曲幾何給出第一個(gè)抽象而與歐氏不一樣的空間，影響到黎曼的工作。

陳氏類(lèi)

高斯發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和減去180?后與曲率和三角形面積的乘積相等，高斯把這個(gè)性質(zhì)推廣成為一條有關(guān)曲率的積分公式。高斯-Bonnet公式在現(xiàn)代 幾何和拓?fù)鋵W(xué)中非常重要。我的老師陳省身先生將它推廣到高維空間，而最后發(fā)展成陳氏類(lèi)，這個(gè)發(fā)展為近代時(shí)空創(chuàng)造了宏觀的看法。

在近代的弦學(xué)中，時(shí)空的質(zhì)子數(shù)目與陳氏類(lèi)有關(guān)。
 
微積分之始

如果幾何的對(duì)象僅僅是平面和球面，那便太局限了。當(dāng)人們了解到如何利用無(wú)窮近似的方法去構(gòu)造彎曲的幾何對(duì)象時(shí)，情況便大大不同了。阿基米德（公元前 287-前212）首先用這種方法來(lái)計(jì)算界于拋物線和直線之間的區(qū)域的面積。這種做法為多個(gè)世紀(jì)后，牛頓和萊布尼茲發(fā)明微積分埋下種子。

事實(shí)上，阿基米德幾乎已經(jīng)創(chuàng)立了微積分，但是當(dāng)時(shí)的物理和天文背景尚未成熟，所以沒(méi)有迫切的需要去建立這項(xiàng)巨大的工作。

圓錐截面理論

Apollonius提出圓錐截面的理論，Hipparchus和托勒密利用了這套理論來(lái)發(fā)展行星運(yùn)動(dòng)的本輪模型。雖然這個(gè)模型并不正確，但圓錐曲 面的理論卻對(duì)后世開(kāi)普勒著名的行星運(yùn)動(dòng)定律具有深遠(yuǎn)的影響。我們必須注意到，是Hipparchus首先利用幾何學(xué)及三角學(xué)，把天文學(xué)從一大堆雜亂無(wú)章的 數(shù)據(jù)資料，轉(zhuǎn)化成一門(mén)精確的觀測(cè)科學(xué)，而托勒密則創(chuàng)建了太陽(yáng)系的地心說(shuō)。

開(kāi)普勒定律

開(kāi)普勒和伽利略均對(duì)行星運(yùn)動(dòng)的資料深深著迷。利用Brahe多年來(lái)收集的大量精確資料,并通過(guò)巨細(xì)無(wú)遺的數(shù)據(jù)分析，開(kāi)普勒終于算出行星的軌道是橢圓的。

Brahe的觀測(cè)是以地球?yàn)閰⒖键c(diǎn)的一大堆數(shù)字。開(kāi)普勒為了要將它們改換成為以太陽(yáng)為參考中心的運(yùn)動(dòng)軌跡，長(zhǎng)年累月地用到算術(shù)及三角。

解析幾何

要等到費(fèi)馬（1629）和笛卡兒（1637）引入坐標(biāo)系統(tǒng)后，人們才能用代數(shù)的方式來(lái)表示運(yùn)動(dòng)軌跡。

笛卡兒（1596-1650）：“我已鐵定了心，揚(yáng)棄抽象的幾何學(xué)，它探討的問(wèn)題，除了能夠鍛煉頭腦外，就沒(méi)有什么用處。代而之我要研究那些以解釋大自然現(xiàn)象為目標(biāo)的幾何。”

由此可見(jiàn)，笛卡兒的解析幾何研究受到物理學(xué)的影響。

解析幾何的應(yīng)用

在笛卡兒的坐標(biāo)系統(tǒng)中，直線是由線性函數(shù)定義的，而圓錐截面則由二次函數(shù)決定。利用這種代數(shù)的方式，開(kāi)普勒的行星運(yùn)動(dòng)定律就變得一清二楚了。

坐標(biāo)系統(tǒng)

開(kāi)普勒第二定律

笛卡兒發(fā)明了解析幾何，可說(shuō)是幾何學(xué)上的一大突破。他引進(jìn)坐標(biāo)系統(tǒng)來(lái)描述幾何圖形，幾何和代數(shù)因此結(jié)合起來(lái)了。坐標(biāo)系統(tǒng)讓我們繞過(guò)歐氏公理來(lái)研究幾何圖形，它也領(lǐng)導(dǎo)我們進(jìn)入了高維空間。

微積分

萊布尼茲(1646-1716)和牛頓(1642-1727)各自獨(dú)立地發(fā)明了微積分。

萊布尼茲：“上帝算，天地生。”

萊布尼茲

萊布尼茲的工作既是代數(shù)的也是分析的。他利用圖像的辦法，并引入優(yōu)越的符號(hào)，他為微積分創(chuàng)造了一個(gè)完整的數(shù)學(xué)架構(gòu)。

萊布尼茲于1677發(fā)表了他的結(jié)果，比牛頓發(fā)明微積分晚了整整十年。但牛頓的工作，只在少數(shù)數(shù)學(xué)家及科學(xué)家中流傳。兩者不同的做法最后導(dǎo)致優(yōu)先權(quán)的大爭(zhēng)辯。

牛頓

利用解析幾何和微積分，牛頓及其他天文學(xué)家對(duì)天體的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了巨細(xì)無(wú)遺的計(jì)算。天體的運(yùn)動(dòng)是透過(guò)歐氏空間的整體坐標(biāo)系統(tǒng)來(lái)描述的，在那里空間是靜止的，而時(shí)間則獨(dú)立于空間之外。

太陽(yáng)系

牛頓力學(xué)

物理的真實(shí)性屬于經(jīng)驗(yàn)的范疇?？茖W(xué)的目的是尋找這種真實(shí)性背后的規(guī)律及合理性。

牛頓把大量的物理現(xiàn)象用同一個(gè)理論框架統(tǒng)一起來(lái)。牛頓定律是有關(guān)運(yùn)動(dòng)的。但運(yùn)動(dòng)在哪里進(jìn)行呢？那便是空間。

絕對(duì)空間

牛頓宣稱(chēng)他的時(shí)空是絕對(duì)的、靜止的。它為宇宙提供一個(gè)剛性的、永恒不變的舞臺(tái)。

牛頓：“對(duì)內(nèi)對(duì)外而言，絕對(duì)空間都是相似及不動(dòng)的。”

牛頓利用一個(gè)旋轉(zhuǎn)水桶的實(shí)驗(yàn)，來(lái)說(shuō)明絕對(duì)空間的存在性，而慣性坐標(biāo)便是在絕對(duì)空間中靜止的坐標(biāo)。

微積分的豐收時(shí)期

萊布尼茲對(duì)牛頓絕對(duì)空間的概念提出異議。

微積分和牛頓力學(xué)的偉大勝利，使物理學(xué)家及數(shù)學(xué)家忙于利用微積分這個(gè)新的工具去發(fā)展新的學(xué)問(wèn)，直到十九世紀(jì)才對(duì)時(shí)空有基本性的改變。在這時(shí)期中，對(duì)幾何學(xué)有重大貢獻(xiàn)的是歐拉（1707-1783），他是絕對(duì)空間概念的忠實(shí)信徒。

高斯與黎曼幾何

古典的幾何學(xué)者在討論三維空間中的曲面時(shí)，他們留意到曲面上每一點(diǎn)的曲率，都有兩個(gè)不同的選擇。比如在一個(gè)圓柱面上，一個(gè)方向是沿其橫切的圓，另一個(gè)則是沿垂直線。

高斯在1827年發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)曲率的乘積具有驚人的屬性。當(dāng)我們令曲面在空間變型，只要它沒(méi)有拉長(zhǎng)縮短，這個(gè)積是不變的！后世稱(chēng)這個(gè)積為高斯曲率。

內(nèi)蘊(yùn)幾何

高斯把這條定理寫(xiě)入《曲面通論》一書(shū)中。他指出必須把曲面的內(nèi)在性質(zhì)，即身處曲面內(nèi)扁小甲蟲(chóng)所經(jīng)驗(yàn)的屬性，與其外在的，即依賴于曲面如何置于空間的性質(zhì)區(qū)分開(kāi)來(lái)，而只有內(nèi)在性質(zhì)，才值得“幾何學(xué)家焚膏繼晷，兀兀窮年地上下求索”。后世稱(chēng)研究這些性質(zhì)的學(xué)問(wèn)為內(nèi)蘊(yùn)幾何。

高斯曲率決定曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何

從球面剪取一片曲面，其高斯曲率為正常數(shù)。反過(guò)來(lái)說(shuō)，局部而言，任何具正常曲率的曲面都可以等距地映射成球面的一部分。

類(lèi)似地，從雙曲曲面剪取的一片，其高斯曲率恒等于―1，而反過(guò)來(lái)說(shuō)曲率等于―1的曲面與雙面曲面局部相等。雙曲曲面曾在討論歐氏第五公理時(shí)論及。

高斯對(duì)幾何的深思

高斯顯然因他的定理興奮不已。但他并沒(méi)有認(rèn)為人們對(duì)空間已認(rèn)識(shí)透徹。

高斯：“我愈來(lái)愈相信，人類(lèi)的理性并不能證明或理解幾何的必要性。也許后世能對(duì)空間的本質(zhì)有新的洞見(jiàn)，但目前這卻是不可能的事。”

物理學(xué)的影響

高斯：“當(dāng)下我們不能把幾何與本質(zhì)是先驗(yàn)的算術(shù)相提并論，只適宜將它與力學(xué)并列。”

抽象空間（現(xiàn)代幾何學(xué)的誕生）

高斯研究的是二維曲面內(nèi)的幾何，高維流形的內(nèi)蘊(yùn)幾何是由黎曼提出的。他在他的教授就職演說(shuō)《建構(gòu)幾何學(xué)的假設(shè)》中，利用尺度的無(wú)限小形式，引入了抽 象空間，在那里高斯曲率有了明確的涵義。這是一個(gè)重要的時(shí)刻，人們終于擺脫了平坦的歐氏（線性）空間，而成功創(chuàng)造一個(gè)自我生存的“內(nèi)蘊(yùn)”空間了。

黎曼在1852年的就職演說(shuō)

在無(wú)窮小區(qū)域內(nèi)幾何諸假設(shè)是否真確，與空間尺度關(guān)系的本質(zhì)有關(guān) …。

要回答這個(gè)問(wèn)題，就必須從這些現(xiàn)象的有關(guān)概念入手。這些源于經(jīng)驗(yàn)的概念，是先由牛頓所奠基，并且透過(guò)它們所不能解釋的事實(shí)而改動(dòng)，漸臻完備 …。

如此這般，我們便離開(kāi)了幾何，進(jìn)入另一門(mén)科學(xué)，即物理的領(lǐng)域了。

黎曼幾何

黎曼的新發(fā)現(xiàn)從根本上改變了數(shù)學(xué)家對(duì)幾何的看法。從此以后，幾何學(xué)家研究的空間不再依賴于歐氏空間，我們獨(dú)立地討論抽象空間的幾何了。他的后繼者 Christoffel、Ricci、Levi-Civita和Beltrami開(kāi)拓了流形上的微積分和張量分析等研究。不過(guò)對(duì)絕大多數(shù)人而言，這些高維 抽象空間要不是枯燥無(wú)味，就是跟大自然風(fēng)馬牛不相及。

狹義相對(duì)論的背景

第一個(gè)對(duì)牛頓絕對(duì)空間提出具建設(shè)性質(zhì)疑的是奧地利學(xué)者馬赫。他認(rèn)為慣性坐標(biāo)受到地球和其它天體的影響。這項(xiàng)假設(shè)被稱(chēng)為馬赫原理。

一個(gè)極為重要的事實(shí)卻是麥克斯韋發(fā)現(xiàn)光乃是電磁波，其速度與慣性坐標(biāo)無(wú)關(guān)，恒為常數(shù)。不久又發(fā)現(xiàn)了麥?zhǔn)想姶欧匠倘菁{洛倫茲變換為對(duì)稱(chēng)群。

時(shí)空一體

愛(ài)因斯坦于1905年提出狹義相對(duì)論。其中一個(gè)重要的環(huán)節(jié)乃是：空間和時(shí)間藉著洛倫茲變換融合起來(lái)了。

Minkowski（1908）：“從今以后，單獨(dú)的空間和單獨(dú)的時(shí)間都將逐漸消失在陰影之中，唯有兩者的融合才能保持獨(dú)立的存在。”

廣義相對(duì)論：愛(ài)因斯坦的時(shí)空

狹義相對(duì)論認(rèn)為，任何信息的傳遞不能超過(guò)光速，這與牛頓力學(xué)“兩個(gè)物體之間的引力作用在瞬間傳遞，即以無(wú)窮大的速度傳遞”的觀點(diǎn)相矛盾。

愛(ài)因斯坦寫(xiě)信給Sommerfeld：“我現(xiàn)在正全身心地投入到引力問(wèn)題的研究 …，有一點(diǎn)是肯定的，我這一生從未如此煩惱過(guò)。”

引力場(chǎng)、加速度和幾何學(xué)

引力是力場(chǎng)的一種，它使物體加速。由于狹義相對(duì)論的要求，在與速度平行的方向，速度加快使長(zhǎng)度加長(zhǎng)，在與速度垂直的方向，長(zhǎng)度不變。測(cè)量長(zhǎng)度的尺規(guī)會(huì)在不同的方向和點(diǎn)改變正是黎曼幾何的特點(diǎn)。

等價(jià)原理

在1907年，愛(ài)因斯坦首次提出引力的等價(jià)原理。

愛(ài)因斯坦花了十年的功夫,才把狹義相對(duì)論和牛頓的引力理論結(jié)合起來(lái)。之所以花了這么多時(shí)間,理由之一是他對(duì)數(shù)學(xué)上的抽象空間不大了解。只有當(dāng)他的友人Grossmann指出后,他才明白黎曼張量滿足等價(jià)原理,黎曼曲率的大小可以讓度量拉長(zhǎng)或收縮,這正符合他的需要。

能量守恒定律和Bianchi等式

物理學(xué)中的等價(jià)原理要求引力的定律與坐標(biāo)的選取無(wú)關(guān)，黎曼的曲率正具有這種特性。曲率張量的某種組合稱(chēng)為Ricci張量（由Ricci引入），愛(ài)因 斯坦發(fā)現(xiàn)正是這個(gè)量適合古典的質(zhì)量守恒定律。（Bianchi首先發(fā)現(xiàn)由Ricci張量導(dǎo)出的量滿足守恒律，愛(ài)因斯坦方程要用到這個(gè)事實(shí)。）

總而言之，黎曼的抽象空間，確是可以用于描述引力。Ricci張量描述物質(zhì)分布而黎曼曲率本身描述引力場(chǎng)。

廣義相對(duì)論的誕生

水星近日點(diǎn)的進(jìn)動(dòng)

引力場(chǎng)可以用具有十個(gè)分量的黎曼時(shí)空尺度來(lái)表示。愛(ài)因斯坦在1915年向普魯士科學(xué)學(xué)會(huì)提出的一系列文章中，給出了水星近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)的理論解釋?zhuān)㈩A(yù)言引力場(chǎng)使光線發(fā)生偏移。這些結(jié)果最后總結(jié)于1916年《物理年報(bào)》上的“廣義相對(duì)論基礎(chǔ)”一文中。

廣義相對(duì)論的實(shí)驗(yàn)證明

1919年，Eddington在英國(guó)皇家學(xué)會(huì)宣稱(chēng)愛(ài)氏提出的光線偏移被證實(shí)。

《倫敦泰晤士報(bào)》頭條新聞：科學(xué)上的革命--新的宇宙理論--牛頓的觀念被推翻。

幾何和引力場(chǎng)之不可分

時(shí)空的概念以黎曼幾何為框架表現(xiàn)出來(lái)，可謂天衣無(wú)縫。幾何與引力渾然一體，如膠似漆。引力驅(qū)動(dòng)整個(gè)宇宙，瞬息萬(wàn)變，時(shí)空不再是一潭靜寂的死水了。

當(dāng)天體變動(dòng)時(shí)，時(shí)空的幾何和拓?fù)湟怨獾乃俣茸兓?，這也解決了牛頓引力學(xué)和狹義相對(duì)論的矛盾。

對(duì)稱(chēng)在物理和幾何學(xué)的重要性

除了受到哲學(xué)家馬赫對(duì)相對(duì)時(shí)空看法的影響外，愛(ài)氏還看出對(duì)稱(chēng)觀念的重要性。

麥克斯韋方程具有洛倫茲對(duì)稱(chēng)性，給了愛(ài)因斯坦創(chuàng)造狹義相對(duì)論的靈感。愛(ài)氏可說(shuō)是第一個(gè)看到對(duì)稱(chēng)群在物理學(xué)有舉足輕重地位的物理學(xué)家。狹義相對(duì)論使人們對(duì)洛倫茲群另眼相看。運(yùn)動(dòng)方程離不開(kāi)對(duì)稱(chēng)群，比如說(shuō)，各種守恒律便來(lái)自于物理系統(tǒng)容納各種連續(xù)群為其對(duì)稱(chēng)群。

等價(jià)原理要求物理定律與坐標(biāo)的選取無(wú)關(guān)，因此它需要一個(gè)更大的對(duì)稱(chēng)群。為了要容納這樣的對(duì)稱(chēng)性，導(dǎo)致愛(ài)氏提出他的廣義相對(duì)論。

整體對(duì)稱(chēng)和局部對(duì)稱(chēng)

與物理學(xué)相比較，黎曼在創(chuàng)立他的幾何時(shí)，就已經(jīng)要求有意義的幾何性質(zhì)必須與坐標(biāo)選取無(wú)關(guān)了。

其實(shí)數(shù)學(xué)家(S. Lie, F. Klein)早就曉得對(duì)稱(chēng)性對(duì)幾何學(xué)基本結(jié)構(gòu)的重要性。1887年，Klein在有名的Erlangen綱領(lǐng)中便指出，不同的對(duì)稱(chēng)群會(huì)引出不同的幾何。沒(méi) 多久，Cartan便將Klein的觀點(diǎn)與黎曼幾何結(jié)合，創(chuàng)造了在纖維叢上的聯(lián)絡(luò)理論，它把Klein的整體對(duì)稱(chēng)理論和黎曼幾何融為一體。

這種規(guī)范對(duì)稱(chēng)性在幾何和物理中同樣重要。在過(guò)去一個(gè)世紀(jì)，人們對(duì)時(shí)空的結(jié)構(gòu)，都是通過(guò)這種局部對(duì)稱(chēng)性來(lái)研究的。

量子力學(xué)

二十世紀(jì)初量子力學(xué)的偉大發(fā)現(xiàn)，促進(jìn)了我們對(duì)高能物理中基本粒子的了解，也因此對(duì)時(shí)空的結(jié)構(gòu)有了更深入的認(rèn)識(shí)。為了理解這些自然界力量的基本建構(gòu)單 位，我們要利用旋子及規(guī)范場(chǎng)論。這些概念早已由Cartan從群表示理論和幾何的研究中發(fā)現(xiàn)。事實(shí)上，規(guī)范場(chǎng)論源于纖維叢（扭曲空間）的研究，那時(shí)物理學(xué) 家還未對(duì)它產(chǎn)生興趣呢。

Dirac方程用洛倫茲群為對(duì)稱(chēng)，Hermann Weyl則研究電磁場(chǎng)中的可交換規(guī)范場(chǎng)。到1954年，楊振寧和Mills發(fā)展了非交換的規(guī)范場(chǎng)，所有粒子都由對(duì)稱(chēng)群來(lái)控制了。

量子場(chǎng)論對(duì)幾何的影響

量子場(chǎng)論的種種成就也改變了我們對(duì)時(shí)空幾何的認(rèn)識(shí)。舉例來(lái)說(shuō)，Dirac的旋子，Seiberg -Witten的理論都是量子物理的一部分，它們是研究幾何的重要工具，到如今我們?nèi)匀惑@異于它們對(duì)幾何結(jié)構(gòu)的威力。

但是，當(dāng)空間半徑小于普朗克尺度時(shí)，量子力學(xué)和光滑的時(shí)空不能兼容，我們茫然毫無(wú)頭緒。空間是如何構(gòu)成的，還是不甚了了。把引力場(chǎng)量子化是艱巨的任務(wù)，物理學(xué)家為此建立了不少模型。愛(ài)因斯坦生前夢(mèng)想把自然界所有力量統(tǒng)一起來(lái)，現(xiàn)在我們正在沿著這個(gè)方向邁進(jìn)。

弦學(xué)的源起

物理學(xué)家Veneziano發(fā)現(xiàn)，歐拉在二百多年前發(fā)現(xiàn)的某些函數(shù)，可以用來(lái)描述很多強(qiáng)核力產(chǎn)生的現(xiàn)象。不久之后，Nambu，Nielson和 Susskind建議，假如基本粒子是弦而非點(diǎn)時(shí)，我們的確可以從強(qiáng)粒子理論找到歐拉函數(shù)?？墒菑?qiáng)力的理論以后并不循這個(gè)方向發(fā)展，所謂標(biāo)準(zhǔn)模型已經(jīng)足夠 描述強(qiáng)粒子了。

弦學(xué)的第一次革命

在好長(zhǎng)一段日子里，弦學(xué)幾乎銷(xiāo)聲匿跡，只有Scherk和Schwarz勇敢地提出弦學(xué)應(yīng)該包括強(qiáng)粒子和引力子在內(nèi)。但是真正引起理論物理學(xué)家注意 的是，Green和Schwarz在1984年發(fā)現(xiàn)，當(dāng)弦與引力場(chǎng)相互作用，在包含超對(duì)稱(chēng)的量子化過(guò)程中，規(guī)范群只能在兩個(gè)李群中發(fā)生，時(shí)空的維數(shù)必須為 十，而在這時(shí)，弦學(xué)的量子場(chǎng)論在擾動(dòng)的架構(gòu)下頭幾項(xiàng)是收斂的。

弦學(xué)中時(shí)空的奇異點(diǎn)

值得興奮的是：由弦學(xué)所產(chǎn)生的時(shí)空量子化理論，甚至可以“醫(yī)治”時(shí)空的某些奇異點(diǎn)（這些奇異點(diǎn)的產(chǎn)生是無(wú)可奈何的事實(shí)，我們?cè)诮鈵?ài)氏方程時(shí)發(fā)現(xiàn)它存 在的必然性。但是，一般的物理定律在這些點(diǎn)不再有意義。）舉例來(lái)說(shuō)，黑洞是一種奇異點(diǎn)，但是Greene-Strominger -Morrison所提供的黑洞模型中，證明甚至當(dāng)時(shí)空出現(xiàn)這種奇性點(diǎn)時(shí)，弦理論還是有意義的。

高維時(shí)空

我們觀察到的現(xiàn)實(shí)世界是四維的。故此，我們需要有一個(gè)機(jī)制，把十維減少到四維。這類(lèi)機(jī)制濫觴于Kaluza-Klein的理論，當(dāng)廣義相對(duì)論剛剛面世時(shí)便提出了。當(dāng)時(shí)考慮的，是把四維時(shí)空用圓環(huán)加厚成為五維空間。

Kaluza-Klein模型

一個(gè)好例子是把直線加厚成為圓柱面。當(dāng)柱的橫切面變得很小時(shí)，柱面便變回直線。

Kaluza-Klein考慮在一個(gè)加厚后成為五維時(shí)空的真空狀態(tài)的愛(ài)因斯坦方程。他們指出，這個(gè)五維真空的愛(ài)氏方程等價(jià)于某些四維時(shí)空（帶一個(gè)數(shù) 量場(chǎng)）上的引力和麥?zhǔn)戏匠?。利用這個(gè)辦法，引力場(chǎng)和電磁力便由純引力場(chǎng)統(tǒng)一起來(lái)了。愛(ài)因斯坦相當(dāng)喜歡這個(gè)模型，但這個(gè)附加的數(shù)量場(chǎng)始終沒(méi)有完好的解釋?zhuān)? 得作罷。

時(shí)空的超對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)

在弦理論中，時(shí)空是十維的。仿效Kaluza-Klein的做法，我們把時(shí)空加厚，添進(jìn)內(nèi)在的六個(gè)維數(shù)。為了與現(xiàn)實(shí)世界相容，這些附加的六維空間必須十分細(xì)?。ㄐ陆霈F(xiàn)的膜理論可以容許這個(gè)內(nèi)蘊(yùn)空間不用太?。?。

弦理論學(xué)者相信當(dāng)能量極高時(shí)，玻色子與費(fèi)米子具有某種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這便是所謂“超對(duì)稱(chēng)”。

時(shí)空中要容許這種超對(duì)稱(chēng)，這個(gè)內(nèi)在的六維空間必須滿足某些嚴(yán)苛的條件。

弦論中的(Kaluza-Klein)模型

根據(jù)Candelas、Horowitz、Strominger和Witten的提議，這個(gè)空間可以由有復(fù)結(jié)構(gòu)的真空方程來(lái)構(gòu)造。在1984年，他 們發(fā)現(xiàn)這類(lèi)空間就是我在1976年構(gòu)造的流形。今天，這類(lèi)空間被稱(chēng)為卡拉比-丘空間。由于弦學(xué)家的需求，這廿年來(lái)對(duì)卡-丘空間的研究有長(zhǎng)足的進(jìn)展，人們從 而獲得了不少有關(guān)弦理論及數(shù)學(xué)的有趣結(jié)果。

卡拉比-丘空間

卡拉比-丘空間有不少的模型。從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，我們對(duì)它們的認(rèn)知頗深。有朝一日，我們希望能透過(guò)這些空間，來(lái)算出某些物理的基本常數(shù)（如質(zhì)量和電 荷）。利用這些空間的連續(xù)演化，我們希望能構(gòu)造出新的宇宙模型或黑洞。這類(lèi)動(dòng)力學(xué)所提供的古典和量子力學(xué)信息，是當(dāng)前熱門(mén)的研究課題。

T-對(duì)偶

卡拉比-丘空間乃是弦理論中真空狀態(tài)的基石，但它不見(jiàn)得是時(shí)空微觀結(jié)構(gòu)的終極形式?？ɡ?丘空間中的T-對(duì)偶是一種重要的對(duì)稱(chēng)性，它顯示時(shí)空的微 觀結(jié)構(gòu)是極度復(fù)雜的。這種對(duì)偶指出，有關(guān)半徑為R的圓周上的量子場(chǎng)論與在半徑為1/R的圓周上的量子場(chǎng)論是相同的。這就是說(shuō)極小的空間和極大的空間同構(gòu)。

這個(gè)對(duì)稱(chēng)引起鏡對(duì)稱(chēng)的觀念，在代數(shù)幾何學(xué)上有極重要的貢獻(xiàn)，事實(shí)上，弦學(xué)中有很多不同種類(lèi)的對(duì)偶，它們是弦學(xué)中最重要的工具。

弦學(xué)的第二次革命

從1984到1995年間，弦學(xué)家發(fā)現(xiàn)了五種不同的弦學(xué)模型，而它們通過(guò)對(duì)偶有一定的聯(lián)系。到1995年，Witten建議一個(gè)全新的理論叫做M- 理論，它要求時(shí)空為11維，同時(shí)可以包括所有已知的弦學(xué)模型在內(nèi)。接著，Polchinski提出了膜的理論，弦學(xué)逐漸進(jìn)入更深一層，而幾何性質(zhì)更為美 妙。

在量子深淵中的時(shí)空

我們對(duì)時(shí)空的看法還在不斷的演化之中。我們看到矩陣模式的創(chuàng)造，也看到Vafa量子時(shí)空泡沫的觀念。也許在量子深淵中，時(shí)空的觀念不再是我們現(xiàn)在想象的形式。無(wú)論如何，幾何與物理的結(jié)合，渾然天成，實(shí)在能激動(dòng)人心。

Schwarz：“弦學(xué)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是如此的美妙，又有這么多神奇的性質(zhì)，它必定會(huì)導(dǎo)出某種深刻的東西。”

時(shí)空的奇異點(diǎn)

物理學(xué)家和幾何學(xué)家都想了解由愛(ài)氏方程出現(xiàn)的時(shí)空奇異點(diǎn)問(wèn)題，大爆炸和黑洞都是奇異點(diǎn)。奇異點(diǎn)可以定義為：在無(wú)論用多大的尺度去放大這些點(diǎn)的鄰近領(lǐng)域，它與歐氏空間都不一樣。

物理學(xué)家企圖從量子化的觀點(diǎn)來(lái)處理奇異點(diǎn)。幾何學(xué)家則從方程入手，希望了解量子化前的時(shí)空?，F(xiàn)在來(lái)談?wù)勥@幾年來(lái)幾何學(xué)最重要的進(jìn)展。

三維空間的結(jié)構(gòu)

從幾何的觀點(diǎn)來(lái)了解時(shí)空，我們可以說(shuō)它的進(jìn)展一日千里，我們對(duì)三維和四維空間的了解已經(jīng)今非昔比。在三維空間的工作尤其劃時(shí)代的，是我的朋友 Hamilton先生在廿五年前提出的方程式，它提供一個(gè)變動(dòng)幾何結(jié)構(gòu)的機(jī)制。在這個(gè)機(jī)制下，我們也看到空間拓?fù)涞淖兓瑥亩o出三維空間的全部結(jié)構(gòu)，我 們也逐漸了解奇異點(diǎn)在三維空間的結(jié)構(gòu)。

四維空間和幾何學(xué)

最近，Perelman可能將Hamilton的工作全部完成，我的朋友、學(xué)生和我在整個(gè)發(fā)展過(guò)程中有相當(dāng)?shù)呢暙I(xiàn)，可謂與有榮焉。四維空間的結(jié)構(gòu)比 三維空間復(fù)雜得多，Donaldson的工作只釋出其中一部份的信息。幾何學(xué)中新的想法生生不息，這是一個(gè)值得幾何學(xué)家興奮的時(shí)代。

結(jié)語(yǔ)

莊子：“天地與我并生，萬(wàn)物與我為一。”

龐加萊（1854-1912）：“創(chuàng)思雖是漫漫長(zhǎng)夜中的靈光一閃，但，這便是一切。”

時(shí) 空 統(tǒng) 一 頌

時(shí)乎時(shí)乎 逝何如此 物乎物乎 繁何如斯

弱水三千 豈非同源 時(shí)空一體 心物互存

時(shí)兮時(shí)兮 時(shí)不再歟 天兮天兮 天何多容

亙古恒遷 黑洞冥冥 時(shí)空一體 其無(wú)盡耶

大哉大哉 宇宙之謎 美哉美哉 真理之源

時(shí)空量化 智者無(wú)何 管測(cè)大塊 學(xué)也洋洋