一個(gè)巴掌的能量有多大？

人老顛東 2022-06-17 發(fā)布于安徽

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引言

在很多的影視作品中，都有扇耳光的劇情，例如電影《幸福 59 厘米之小馬》中就有羅永浩自扇耳光的經(jīng)典名場面（圖 1）。

在 2022 年的第 94 屆奧斯卡金像獎(jiǎng)?lì)C獎(jiǎng)典禮上也出現(xiàn)了扇耳光的一幕：因不滿頒獎(jiǎng)嘉賓調(diào)侃妻子的缺陷（脫發(fā)），好萊塢知名影星威爾·史密斯在大庭廣眾之下狠狠扇了頒獎(jiǎng)嘉賓克里斯·洛克一巴掌（圖 2）。

從史密斯扇洛克巴掌的視頻中不難看出，這一巴掌下手可不輕。一個(gè)響亮的巴掌可能蘊(yùn)含著巨大的能量。圖 3 顯示的是一名男子被抽了一巴掌的慢鏡頭^[1]，從中可以清楚地看到：面部皮膚、組織和骨骼在被抽打的瞬間發(fā)生了巨大的挫動(dòng)。

更有外國網(wǎng)友制作了一臺機(jī)械巴掌機(jī)，并用此機(jī)械裝置抽熟了一只雞和一塊牛排^[2]。

一個(gè)巴掌的能量到底有多大？本文將通過分析史密斯扇洛克巴掌的視頻，建立模型估計(jì)這一巴掌的能量，以及洛克的臉在此過程中受到的沖擊力大小。

實(shí)驗(yàn)

針對“一個(gè)巴掌的力量有多大？”這個(gè)問題，德國慕尼黑法醫(yī)學(xué)研究所的生物力學(xué)家進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究^[3]。實(shí)驗(yàn)通過高速相機(jī)和力學(xué)傳感器記錄下了 30 名受試者在輕拍和重（zhòng）拍過程中手掌的位置和沖孔墊的受力。圖 5 和 6 是其中一名典型受試者的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，典型的輕拍和重拍對沖孔墊的最大作用力可達(dá) 120 N 和 1500 N，接觸時(shí)間大約為 0.012 s 和 0.015 s。

圖 6: 輕拍和重拍的力－時(shí)間曲線

實(shí)驗(yàn)中另一名受試者“重拍”時(shí)給出了 4417 N 的最大作用力。根據(jù)力－時(shí)間曲線可以計(jì)算出手掌對沖孔墊的沖量和平均作用力：

I = \int_0^t F(\tau)\,\mathrmopkdopnojk\tau,\quad F = \frac{I}{t}

由此可計(jì)算出典型的輕拍和重拍對沖孔墊的沖量約為 10 N·s 和 1 N·s，平均作用力約為 860 N 和 80 N。以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果可用于之后的模型參數(shù)估計(jì)及模型結(jié)果評價(jià)，史密斯打洛克的這一巴掌顯然屬于“重拍”，并且比實(shí)驗(yàn)中的“重拍”似乎更重。

模型

本文將史密斯扇洛克的過程簡化為完全非彈性碰撞問題。這個(gè)問題涉及多個(gè)參數(shù)（圖 7）：手掌觸臉前后手掌的速度和，手臂的角速度和，以及手掌觸臉（有力作用）的時(shí)間長度為。接下來先估計(jì)這些參數(shù)的大小，然后在此基礎(chǔ)上建立模型求解該巴掌的力量和能量大小。

圖 7: 史密斯扇洛克過程示意圖

參數(shù)估計(jì)

史密斯揮動(dòng)手臂的過程可以簡化為勻速轉(zhuǎn)動(dòng)過程（實(shí)際上揮臂初期存在短暫的加速），手臂轉(zhuǎn)動(dòng)角速度可由轉(zhuǎn)過的角度除以轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間計(jì)算。根據(jù)對視頻（圖 2）的逐幀分析，我發(fā)現(xiàn)史密斯揮動(dòng)手臂的過程僅占 2-3 幀，視頻的幀率為 30 幀/秒，也就是說史密斯揮手過程的時(shí)間大約為 2.5 1/30 = 1/12 秒。

圖 8: 成年男性身高和臂長的關(guān)系^[4]

由于視頻的拍攝角度問題，手臂轉(zhuǎn)動(dòng)的角度并不能直接觀測到。為此，我模仿了圖 2 中的過程，我發(fā)現(xiàn)我手右臂大約需要旋轉(zhuǎn) 90 度。因此，手臂轉(zhuǎn)動(dòng)的平均角速度約為

\omega_0 = \frac{\pi/2}{1/12} = 18.8\, \mathrm{rad/s}

手掌觸臉?biāo)俣瓤捎墒直劢撬俣瘸艘允直坶L度得到。威爾史密斯身高 183 cm^[5]，根據(jù)身高和臂長的關(guān)系（圖 8），估計(jì)其手臂長度約為 78 cm。因此，手掌觸臉?biāo)俣燃s為

v_0 = \ell\times \omega_0 = 0.78\times 18.8 = 14.7\, \mathrm{m/s}

通過視頻還可以估算出手掌與臉的接觸時(shí)間以及扇完臉后的速度。手掌與臉接觸的時(shí)間發(fā)生在一幀以內(nèi)，即接觸時(shí)間 < 1/30 秒。顯然，史密斯這一巴掌比實(shí)驗(yàn)中“重拍”情形還“重”，因此接觸時(shí)間應(yīng)該比實(shí)驗(yàn)中的 0.012 s 更短。假設(shè)手掌與臉接觸的時(shí)間為 = 0.01 s，這大約相當(dāng)于 1/3 幀的時(shí)間。假設(shè)完成扇臉后的瞬間，史密斯的手掌與洛克的頭具有相同的速度。臉被手掌擊中后的一幀中，頭大約偏移了 10 cm。也就是說，完成扇臉后瞬間手掌的剩余速度（= 頭偏移的速度）為

v_t = \frac{0.1}{1/30} = 3\, \mathrm{m/s}

完成扇臉后的瞬間手臂剩余的角速度為

\omega_t = \frac{v_t}{\ell} = \frac{3}{0.78} = 3.8\\, \mathrm{rad/s}

手掌平動(dòng)模型

不少已有模型^[6]將扇臉過程簡化為手掌與臉的完全非彈性碰撞問題（圖 9）。

圖 9: 手掌平動(dòng)模型

在這種模型中，手掌以一定的速度與臉發(fā)生碰撞，碰撞完成后手掌與頭具有相同的速度。根據(jù)動(dòng)量定理：手掌在這個(gè)過程中始末的動(dòng)量變化量等于臉對手掌的沖量，即 $F t = m v_t-m v_0$ 其中是臉對手掌的作用力， = 0.01 s 為作用時(shí)間， = 14.7 m/s 和 = 3 m/s 為作用前后手掌的速度，為手掌的質(zhì)量。成年男性的手掌質(zhì)量約占體重的 0.65%[7]，威爾史密斯目前的體重約為 82 kg，因此史密斯一只手的質(zhì)量約為 = 82 0.65% = 0.533 kg，和一只豬蹄差不多重。將這些參數(shù)代入上式可得臉對手掌的作用力大小為 $F = \frac{0.533\times(14.7-3)}{0.01} = 623.6\,\mathrm{N}$ 根據(jù)牛頓第三定律，手掌對臉的作用力大小等于臉對手掌的作用力。因此，史密斯扇洛克時(shí)，洛克的臉受到的平均作用力大小約為 624 N。這個(gè)力相當(dāng)于我 60 kg 的前女友體重。打臉前后，巴掌損失的動(dòng)能大小為 $E = \frac{1}{2} m v_0^2 - \frac{1}{2} m v_t^2 = 55.2\,\mathrm{J}$ 也就是說，史密斯這一巴掌釋放的能量約為 55 J。這個(gè)能量有多大呢？大約可以供智能手機(jī)待機(jī) 9 分鐘（假設(shè)待機(jī)功率為 0.1 w）。但需要注意的是，55 J 的能量中只有一部分轉(zhuǎn)化為了洛克臉和史密斯手掌的熱能，另一部分則轉(zhuǎn)化為了洛克頭的動(dòng)能。

模型的結(jié)果合理嗎？模型計(jì)算出洛克的臉受到的平均作用力大小只有約 624 N，而史密斯打洛克的這一巴掌明顯比實(shí)驗(yàn)中的“重拍”更重。因此，上述模型給出的結(jié)果應(yīng)該比實(shí)際值小。此外，還可以通過估算洛克頭部的等效質(zhì)量來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇浴Ｂ蹇说念^在手掌的作用下，速度由 0 變?yōu)?nbsp;，根據(jù)動(dòng)量定理：頭在這個(gè)過程中始末的動(dòng)量變化量等于手對臉的沖量，即 $M = \frac{Ft}{v_t} = \frac{623.6\times 0.01}{3} = 2.1\,\mathrm{kg}$ 顯然，上式給出的 2.1 kg 明顯小于成年人頭部的質(zhì)量。成年人頭部的質(zhì)量一般占體重的 8.3%^[7] 左右。對于體重 76 kg 的洛克，其頭部質(zhì)量應(yīng)為 6.3 kg 左右。因此，上式也表明模型并不合理。

手臂轉(zhuǎn)動(dòng)模型

上述模型之所以低估了這一巴掌的力量和能量，原因可能是其忽略了手臂與手的連接。手臂在此過程中轉(zhuǎn)動(dòng)速度發(fā)生了變化，也損失了能量。為簡化問題，將扇臉簡化為桿（手臂）繞固定端（肩關(guān)節(jié)）旋轉(zhuǎn)時(shí)，桿的另一端（手）與臉發(fā)生碰撞的過程。碰撞后桿的非固定端（手）與頭具有相同的速度（圖 10）。

圖 10: 手臂轉(zhuǎn)動(dòng)模型

根據(jù)動(dòng)量矩定理：手臂在這個(gè)過程中始末的動(dòng)量矩變化量等于臉對手臂的沖量矩，有 $F\ell t = J\omega_t - J\omega_0$ 其中是臉對手的作用力（= 手對臉的作用力）, 為手臂的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。如果將手臂看成質(zhì)量為、密度為、長度為、截面積為的均質(zhì)桿，則其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 = = 。因此有 $F = \frac{J(\omega_t - \omega_0)}{\ell t} = \frac{\rho S \ell^2 (\omega_t-\omega_0)}{3 t}$ 上式表明，一個(gè)巴掌的力量與手臂長度平方、截面積（粗度）呈正比。換句話說，越長越粗的手臂，越容易扇出更大力的巴掌。

正常男性的手臂重量約占其體重的 5.7%^[7]。威爾史密斯目前的體重約為 82 kg，因此這條手臂的質(zhì)量約為 = 82 5.7% = 4.7 kg。將手臂簡化為長度為 0.78 m，質(zhì)量為 4.7 kg 的均質(zhì)桿，則手臂以肩關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 = = 0.953 kg·m。將手臂的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、與臉作用前后的角速度 = 18.8 rad/s 和 = 3.8 rad/s，以及與臉作用的時(shí)間長度 = 0.01 s 代入上式可得臉對手掌的作用力大小為 $F = 0.953 \times \frac{18.8-3.8}{0.78\times 0.01} = 1833\,\mathrm{N}$ 根據(jù)牛頓第三定律，手掌對臉的作用力大小等于臉對手掌的作用力。因此，史密斯扇洛克時(shí)，洛克的臉受到的平均作用力大小約為 1833 N。這個(gè)力相當(dāng)于 180 kg 英國大力士的體重。模型的計(jì)算結(jié)果是否合理呢？相關(guān)實(shí)驗(yàn)表明，一巴掌的最大作用力可超過 4000 N^[8]，因此模型計(jì)算出的結(jié)果并不夸張。1833 N 的力并不小，看來是有備而來！打臉前后，手臂損失的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能大小為 $\begin{aligned} E &= \frac{1}{2} J\omega_0^2 - \frac{1}{2}J\omega_t^2 = \frac{1}{6} \rho S \ell^3 (\omega_0^2-\omega_t^2)\ &= \frac{1}{2}\times 0.953\times (18.8^2-3.8^2) = 161.5\,\mathrm{J} \end{aligned}$ 上式表明，一個(gè)巴掌的能量與手臂長度立方、截面積（粗度）呈正比。換句話說，越長越粗的手臂，越容易扇出更大能量的巴掌。

上式計(jì)算出的這個(gè)能量有多大呢？一公斤 TNT 炸藥的能量約為 4180 kJ，所以這個(gè)巴掌的 TNT 當(dāng)量約為 0.04 g。根據(jù)動(dòng)量定理，還可以估算出洛克頭部的等效質(zhì)量 $M = \frac{Ft}{v_t} = \frac{1833\times 0.01}{3} = 6.1\,\mathrm{kg}$ 這個(gè)等效質(zhì)量比手掌平動(dòng)模型算出的合理多了，這也表明手臂轉(zhuǎn)動(dòng)模型更為合理。被扇巴掌后，洛克頭部增加的動(dòng)能為 $E_\text{head} = \frac{1}{2}M v_t^2 = \frac{1}{2}\times 6.1\times 3^2 = 27.5\,\mathrm{J}$ 根據(jù)能量守恒，這一巴掌的能量中轉(zhuǎn)化為手和臉的熱量為 $Q = 161.5 - 27.5 = 134\,\mathrm{J}$ 假設(shè)轉(zhuǎn)化為手的熱量和轉(zhuǎn)化為臉的熱量各占一半。實(shí)際上對洛克臉組織造成傷害的能量最終轉(zhuǎn)化為了這部分熱量。如果假設(shè)洛克的半邊臉上的肉質(zhì)量為 = 0.5 kg，還可以算出這部分熱量可使洛克受擊打的半邊臉升溫 $\Delta T = \frac{Q/2}{C\cdot m_\text{face}} = \frac{67}{2720\times 0.5} = 0.05\,\mathrm{^\circ C}$ 其中 = 2720 J/kg·C 為肉的比熱（參考的雞肉^[9]）。由此可見，扇耳光導(dǎo)致的臉部溫度增加幾乎可以忽略不計(jì)。因此，被扇后面部皮膚出現(xiàn)的灼熱感大多是疼的。為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，我特地找來了對我恨之入骨的 11 位前女友，在每人給我左臉一巴掌后（我沒有閃，且相鄰兩巴掌的時(shí)間間隔低于 1 秒），迅速測量我的左臉溫度。測量結(jié)果顯示左臉溫度與右臉幾乎沒有任何差異（由于場面過于血腥，實(shí)驗(yàn)照片不便展示，感興趣的讀者可自行約前女友們開展實(shí)驗(yàn)）。

結(jié)論

一個(gè)巴掌的能量有多大？針對這個(gè)問題，本文根據(jù) 2022 年奧斯卡頒獎(jiǎng)典禮上威爾·史密斯扇克里斯·洛克一巴掌的視頻，建立手掌平動(dòng)模型和手臂轉(zhuǎn)動(dòng)模型分別計(jì)算了這一巴掌的能量和力量。手掌平動(dòng)模型將打臉過程簡化為手掌與臉的完全非彈性碰撞問題。結(jié)果顯示：史密斯這一巴掌的力量約為 600 N，釋放的能量約為 55 J。通過與已有實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對比，本文發(fā)現(xiàn)平動(dòng)模型因忽略了手臂與手的連接，給出的結(jié)果明顯偏小。考慮到在此過程中手臂的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度發(fā)生了變化（損失了能量），本文又建立了手臂轉(zhuǎn)動(dòng)模型。模型結(jié)果表明史密斯這一巴掌的力量超過了 1800 N，釋放的能量超過 160 J。與已有實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對比表明手臂轉(zhuǎn)動(dòng)模型的結(jié)果是非常合理的。

此外，本文的模型還表明：想要增加一個(gè)巴掌的力量和能量，可以通過增長、增粗手臂，提高擊打速度來實(shí)現(xiàn)。因此，找一個(gè)身材嬌小瘦弱的女朋友是多么的重要！

參考資料

[1]

fatEguyfilms. Super slow-motion slap in the face, 2012: https://www./watch?v=7AXB8nGq5jc

[2]

Louis Weisz. I cooked a chicken by slapping it, 2021: https://www./watch?v=LHFhnnTWMgI

[3]

Jiri Adamec, Jutta Sch?pfer, Peter Hofer, Stefan Pittner, Matthias Graw, and Fabio Monticelli. Die ohrfeige. teil 1–allgemeines und biomechanik. Rechtsmedizin, 30(1):1–7, 2020: https://link./article/10.1007/s00194-019-00362-3

[4]

16HGulick. Correlation between height and average arm length, 2015: https://chart-studio./~16HGulick/11.embed

[5]

Becca Bleznak. Will smith net worth 2022: Age, height, weight, wife, kids, bio-wik, 2022: https://www./will-smith-net-worth-2020-2021

[6]

Matrix Star. The oscar winner hits people on the spot! how powerful is this slap? 2022: https:///en/668969.html

[7]

Robert Allison. Weight of human body parts as percentages of total body weight, 2012: https:///SAS/democd79/body_part_weights.htm

[8]

J Adamec, J Sch?pfer, P Hofer, S Pittner, M Graw, and Fabio Monticelli. The slap in the face. part 1-general aspects and biomechanics. Rechtsmedizin, 30(1):1–7, 2020.

[9]

Engineering ToolBox. Food and foodstuff - specific heat, 2003: https://www./specific-heat-capacity-food-d_295.html

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來源：數(shù)學(xué)模型

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