讓我們今天接著聊黎曼ζ函數(shù)：

這張圖只顯示了正半平面的函數(shù)（s>1）

解析延拓后復(fù)平面上負(fù)半平面的黎曼函數(shù)是什么呢？（s<0）：

你說道，我的老天爺，這也太可怕了，太復(fù)雜了！

于是，我先給大家看看黎曼ζ函數(shù)(s>1)的圖像，它實(shí)際上涵蓋了復(fù)平面正半軸（s>1）的部分，函數(shù)線上的點(diǎn)代表了復(fù)數(shù)坐標(biāo)（x，yi），這張圖出自up主：3bluebrown：

其實(shí)那個(gè)非常復(fù)雜的解析式只是看上去復(fù)雜而已，只要明白了各部分的意義，就能明白它的意義。

首先，我們看左邊：

我們再看右邊：

我們上次已經(jīng)講了s>1范圍內(nèi)的函數(shù)表達(dá)式，相信大家還記著它，這里只是換了個(gè)定義域，s用s'=1-s（s<0）代替了s(s>1) ：

s的意義還是我們上次說的，它代表復(fù)平面：

x，y可以隨便取各種數(shù)

至于2π和sin沒什么好說的，它們是普通的復(fù)函數(shù)，大家把它們類比為實(shí)平面（x，y）上的y=f（x）去理解就可以了，只不過是復(fù)平面s（x，yi）上的函數(shù)y=f（s）。比如這個(gè)人人皆知的迭代分形就是復(fù)函數(shù)f（s）=s2+C的圖：

復(fù)變函數(shù)：曼德博羅集

那這個(gè)東西什么意思呢？

Γ是希臘字符，中文名叫伽馬，也就是大寫的γ，它的表達(dá)式是：

伽馬函數(shù)有什么神奇的性質(zhì)呢？如果看過我之前的文章，大家應(yīng)該還記得階乘怎么算：

階乘

而

也就是說階乘可以形成伽馬函數(shù)形式的無窮積分，文中ε的意思是趨于0的一個(gè)無窮小量，它可以取到任意小，永遠(yuǎn)達(dá)不到0但是無限逼近0。至于這些積分怎么算的，這里就不展示了。我們用軟件就可以算出結(jié)果。

我們把它廣義化：從自然數(shù)n推廣到實(shí)數(shù)軸x，從實(shí)數(shù)x推廣到復(fù)數(shù)s=x+yi，于是有：

這些推廣看似是理所應(yīng)當(dāng)?shù)倪^程，實(shí)際上是多年來數(shù)學(xué)家的心血之作

數(shù)學(xué)中重要的是自然現(xiàn)象本身，繁瑣的計(jì)算過程只能是研究這種現(xiàn)象的手段，我們要透過現(xiàn)象看本質(zhì)。

這樣，我們就知道了：

于是，你再回過頭來看這個(gè)非常重要的黎曼負(fù)半平面解析式

它長什么樣子呢？它實(shí)際上涵蓋了整個(gè)復(fù)平面負(fù)半軸，函數(shù)線上的點(diǎn)代表了復(fù)數(shù)坐標(biāo)（x，yi），這張圖出自up主：3bluebrown。

它可以展開成：

如何才能得到這個(gè)復(fù)平面下才能成立的重要等式呢（不要覺得這個(gè)結(jié)果奇怪，它在物理學(xué)中有廣泛的應(yīng)用）：

只需要把s=-1帶進(jìn)上面的公式就可以了：

我們知道：

所以：

現(xiàn)在，我們已經(jīng)講完了s>1,和s<0區(qū)域內(nèi)的黎曼函數(shù)了，然而最為神秘的s∈（0，1）內(nèi)的函數(shù)還沒有登場。

s∈（0，1）隱藏著科學(xué)界為之困擾的未解之謎