形如2^p－1的一類數(shù)，其中指數(shù)p是素數(shù)，常記為M_p 。如果梅森數(shù)是素數(shù)，就稱為梅森素數(shù)早在公元前300多年，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得就開創(chuàng)了研究2^p－1的先河。他在名著《幾何原本》第九章中論述完全數(shù)時指出：如果2^p－1是素數(shù)，則 2^p－1（2^p－1）是完全數(shù)。

前幾個較小的梅森數(shù)大都是素數(shù)，然而梅森數(shù)越大，梅森素數(shù)也就越難出現(xiàn)。

目前僅發(fā)現(xiàn)50個梅森素數(shù)，最大的是2^77232917－1（即2的77232917次方減1），有23249425位數(shù)。

素數(shù)是指在大于1的整數(shù)中只能被1和其自身整除的數(shù)。素數(shù)有無窮多個，但目前卻只發(fā)現(xiàn)有極少量的素數(shù)能表示成 2^p－1（p為素數(shù)）的形式，這就是梅森素數(shù)（如3、7、31、127等等）。它是以17世紀法國數(shù)學(xué)家馬林·梅森的名字命名。

1640年6月，費馬在給馬林·梅森（Marin Mersenne）的一封信中寫道：“在艱深的數(shù)論研究中，我發(fā)現(xiàn)了三個非常重要的性質(zhì)，我相信它們將成為今后解決素數(shù)問題的基礎(chǔ)。” 這封信討論了形如2^p－1的數(shù)。

馬林·梅森是當時歐洲科學(xué)界一位獨特的中心人物，他與包括費馬在內(nèi)的很多科學(xué)家經(jīng)常保持通信聯(lián)系，討論數(shù)學(xué)、物理等問題。17世紀時，學(xué)術(shù)刊物和科研機構(gòu)還沒有創(chuàng)立，交往廣泛、熱情誠摯的梅森就成了歐洲科學(xué)家之間聯(lián)系的橋梁，許多科學(xué)家都樂于將成果告訴他，然后再由他轉(zhuǎn)告給更多的人。梅森還是法蘭西學(xué)院的奠基人，為科學(xué)事業(yè)做了很多有益的工作，被選為 “100位在世界科學(xué)史上有重要地位的科學(xué)家” 之一

梅森素數(shù)是數(shù)論研究中的一項重要內(nèi)容，自古希臘時代起人們就開始了對梅森素數(shù)的探索。由于這種素數(shù)具有著獨特的性質(zhì)（比方說和完全數(shù)密切相關(guān)）和無窮的魅力，千百年來一直吸引著眾多數(shù)學(xué)家（包括歐幾里得、費馬、歐拉等）和無數(shù)的數(shù)學(xué)愛好者對它進行探究。

在現(xiàn)代，梅森素數(shù)在計算機科學(xué)、密碼學(xué)等領(lǐng)域有重要的應(yīng)用價值。它還是人類好奇心、求知欲和榮譽感的最好見證。

2300多年來，人類僅發(fā)現(xiàn)50個梅森素數(shù)，由于這種素數(shù)珍奇而迷人，因此被人們譽為 “數(shù)海明珠” 。自梅森提出其斷言后，人們發(fā)現(xiàn)的已知最大素數(shù)幾乎都是梅森素數(shù)，因此尋找新的梅森素數(shù)的歷程也就幾乎等同于尋找新的最大素數(shù)的歷程。

梅森素數(shù)的探尋難度極大，它不僅需要高深的理論和純熟的技巧，而且需要進行艱苦的計算。

至2018年4月，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)50個梅森素

它們的數(shù)值、位數(shù)、發(fā)現(xiàn)時間、發(fā)現(xiàn)者等列表如下：

M1～M12

M13～M34

M35～M50

2017年12月26日,美國數(shù)學(xué)家喬納森·佩斯發(fā)現(xiàn)了有史以來第50個，也是最大的一個梅森素數(shù)，位數(shù)超過2300萬位，這是一項重大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)

佩斯發(fā)現(xiàn)的這個素數(shù)可以表示成2^77232917-1。

日本的一家出版社想出一個絕妙的創(chuàng)意，為目前發(fā)現(xiàn)的最大素數(shù)出了一本書。這本書的名字就叫做《2017年最大的素數(shù)》，裝幀設(shè)計非常簡單，一共720頁全是數(shù)字，其實就是把佩斯發(fā)現(xiàn)的素數(shù)從頭到尾給印出來了。

這本奇特的書在發(fā)行兩周后迅速攀上日本亞馬遜數(shù)學(xué)類暢銷書第1位，4天時間就售出了1500本。日本虹色社的工作人員說，這本書的銷量遠超過他們的預(yù)期，以至于新書剛出版就要加印。

尋找梅森素數(shù)在當代已有了十分豐富的意義。尋找梅森素數(shù)是目前發(fā)現(xiàn)已知最大素數(shù)的最有效途徑。自歐拉證明M₃₁為當時最大的素數(shù)以來，在發(fā)現(xiàn)已知最大素數(shù)的世界性競賽中，梅森素數(shù)幾乎囊括了全部冠軍。

尋找梅森素數(shù)是測試計算機運算速度及其他功能的有力手段，如M_1257787就是1996年9月美國克雷公司在測試其最新超級計算機的運算速度時得到的。梅森素數(shù)在推動計算機功能改進方面發(fā)揮了獨特作用。發(fā)現(xiàn)梅森素數(shù)不僅需要高功能的計算機，還需要素數(shù)判別和數(shù)值計算的理論與方法以及高超巧妙的程序設(shè)計技術(shù)等等，因此它的研究推動了 “數(shù)學(xué)皇后” ——數(shù)論的發(fā)展，促進了計算數(shù)學(xué)和程序設(shè)計技術(shù)的發(fā)展。

尋找梅森素數(shù)最新的意義是：它促進了分布式計算技術(shù)的發(fā)展。從最新的16個梅森素數(shù)是在因特網(wǎng)項目中發(fā)現(xiàn)這一事實，可以想象到網(wǎng)絡(luò)的威力。分布式計算技術(shù)使得用大量個人計算機去做本來要用超級計算機才能完成的項目成為可能，這是一個前景非常廣闊的領(lǐng)域。它的探究還推動了快速傅立葉變換的應(yīng)用。

梅森素數(shù)在實用領(lǐng)域也有用武之地，現(xiàn)在人們已將大素數(shù)用于現(xiàn)代密碼設(shè)計領(lǐng)域。其原理是：將一個很大的數(shù)分解成若干素數(shù)的乘積非常困難，但將幾個素數(shù)相乘卻相對容易得多。在這種密碼設(shè)計中，需要使用較大的素數(shù)，素數(shù)越大，密碼被破譯的可能性就越小。

由于梅森素數(shù)的探究需要多種學(xué)科和技術(shù)的支持，也由于發(fā)現(xiàn)新的 “大素數(shù)” 所引起的國際影響，使得對于梅森素數(shù)的研究能力已在某種意義上標志著一個國家的科技水平，而不僅僅是代表數(shù)學(xué)的研究水平。英國頂尖科學(xué)家、牛津大學(xué)教授馬科斯·索托伊甚至認為它的研究進展不但是人類智力發(fā)展在數(shù)學(xué)上的一種標志，同時也是整個科學(xué)發(fā)展的里程碑之一。 

梅森素數(shù)這顆數(shù)學(xué)海洋中的璀璨明珠正以其獨特的魅力，吸引著更多的有志者去尋找和研究。