8. 數(shù)字 73

如果你是美劇《生活大爆炸》迷的話，就一定聽說過謝耳朵關(guān)于為什么 73 是完美數(shù)的演說，以下是原話：

“73 是最好的數(shù)字。為什么呢？73 是第 21 個質(zhì)數(shù)，它的對稱數(shù)字 37 恰是第 12 個質(zhì)數(shù)，而 12 的對稱 21 則是由 3×7 產(chǎn)生。

“73 的二進(jìn)制 1001001 也恰是個回文數(shù)，正過來倒過去都是 1001001?！?/p>

這句話取自第十季第四集的節(jié)目，巧合的是這是第 73 集中的臺詞。

7. 自然對數(shù)函數(shù)的底數(shù)e

自然對數(shù)函數(shù)的底數(shù) e，又稱歐拉數(shù)。這個以瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉命名的無理數(shù)與 π 同樣重要。有趣的是，歐拉常數(shù) e 已經(jīng)被精確到 31415926535897 位(2020年12月5日記錄)。

e 的誕生來自于下面 17 世紀(jì)雅各布·伯努利在研究復(fù)利時所發(fā)現(xiàn)的公式：

對于上面式子考慮的極限值 e 到底是多少呢？伯努利并未成功算出，而是由 50 年后被歐拉攻破。歐拉不僅算出了 e 的 18 位數(shù)，并且還借助連分式的形式證明了 e 是一個無理數(shù)。

e 的連分?jǐn)?shù)展開式如下所示，請觀察里面的規(guī)律：

注意到其中的模式了嗎：

很多增長過程的問題都可以用指數(shù)函數(shù) e^x 來模擬，并且這里還有個很重要的性質(zhì)——它與自身的導(dǎo)數(shù)恒等。

就這個性質(zhì)下面是一個相關(guān)的數(shù)學(xué)小幽默圖片：

6. 斐波納契數(shù)

提到歷史上比薩的列奧納多這位人物，或許很多人都不曉得，不過如要說起他的外號就是斐波那契，那多數(shù)人肯定聽說過。而排名第六位的斐波那契數(shù)也因這位數(shù)學(xué)家的外號而聞名世界。

1202 年，斐波那契在所著《計算之書》研究了兔子繁衍成長率的問題，他用簡單的加法技巧創(chuàng)造了世界上最有趣的數(shù)列之一。順便說下，他還將現(xiàn)代數(shù)的書寫方式和位值表示法通過著書引入歐洲，這絕對也是非常重要的貢獻(xiàn)了。

公平地講，現(xiàn)在有證據(jù)表明早在 6 世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家在斐波那契之前就知道這個數(shù)列，但我們?nèi)匀话凑罩髁髡f法討論，繼續(xù)稱之為斐波那契數(shù)列吧。

斐波那契數(shù)簡單地由滿足下面這個簡單的遞歸方程構(gòu)成，并生成下面這個趨于無窮大的數(shù)列：

這個數(shù)列最美的地方在于它與自然界存在著緊密的聯(lián)系。舉個例子，人們可以在向日葵花盤能看到它的身影，也可以在雛菊花瓣觀察到它的蹤跡，以及小蜜蜂的筑巢，等等等等……，它似乎大自然最深處的秘密里處處隱現(xiàn)。

如果來觀察數(shù)列中相鄰的 2 個數(shù)，當(dāng)趨近無窮時，它們的比值(x_n / x_(n-1))會越來越接近 1.61803398，也就是我們常說的黃金比例，我們會在后面再單獨(dú)討論這個美麗的數(shù)。

5. 數(shù)字 23

許多人都看過這樣的一部電影：金·凱瑞主演的《靈數(shù)23》。男主自從讀過一本帶有數(shù)字 23 的書，他似乎就被數(shù)字 23 纏上了。奇怪的是這個數(shù)字和他生活中很多事情似乎有神秘聯(lián)系，影片中這個數(shù)字這似乎是通靈的完美例子。

而在數(shù)學(xué)里，有個與一般直覺相抵的生日問題。它指的是只要有23人，這群人里有兩人同一天生日的機(jī)率就會大于50%。

如果有懷疑的話，不妨動手來一起算下。求出至少兩人生日相同，重點(diǎn)在于算出每個人生日都不同的概率。

其中 p'(n) 就表示 n 個人中，每個人的生日日期都不同的概率。

計算可得，當(dāng) n=23 發(fā)生的概率大約是 0.507。順便提一下，如果總共有 70 個人概率就會高達(dá) 99%。

4. Pi(π) 與 Tau(τ)

數(shù)學(xué)中最耀眼的明星陣營里必有圓周率的身影，人人都認(rèn)識這個數(shù)。它是圓的周長與直徑之比，如果畫一個直徑為 1 的圓，它的周長就等于 3.14159…。人們把這個無限不循環(huán)小數(shù)用字母 π 表示。

暫時不管這個中學(xué)時期的概念，先來看看下面這兩個有關(guān) π 的事實：

• 它的小數(shù)部分是無限不循環(huán)的。

• 我們都知道 π 的近似值是 22/7，但我們沒法給出一個分?jǐn)?shù)精準(zhǔn)的描述 π，因為它是一個無理數(shù)。

那么為什么還要提 τ 呢？τ 被稱為圓常數(shù)，其值為圓的周長與半徑之比。一些數(shù)學(xué)家支持用 τ 來代替 2π，也就圓的周長與半徑之比。因為很多問題中 2π 頻頻出現(xiàn)，這樣做能更便于計算和表達(dá)跟圓有關(guān)的問題。

3. 歐拉恒等式

這就是為什么我在標(biāo)題中用了'美'這個詞。難以想象，數(shù)學(xué)中一些最美麗的概念，竟然有這么簡潔的形式。先來回顧一下之前提到的的概念：

• 自然對數(shù)函數(shù)的底數(shù) e。

• 虛數(shù)單位 i。

• 圓周率 π

上面這三個數(shù)就可以組合成下面這個方程，并得出 -1 這個簡單結(jié)果。

怎么從這三個數(shù)學(xué)常數(shù)得到 -1 的呢？正如前面介紹那樣是 i 擁有了把 2 變成 -1 的力量。歐拉恒等式是歐拉公式的一種特殊形式，后者如下所示：

把歐拉公式繪制到復(fù)平面上（以實數(shù)軸和虛數(shù)軸建立坐標(biāo)系），就會得到一個單位圓。

如果令 x = π, 我們就會得到如下方程：

了解到 cos π = -1 以及 sin π = 0, 右邊就會出現(xiàn) -1：

還可以通過等價變換來讓方程變得更漂亮一點(diǎn)：

這樣就更加深刻，包含了數(shù)學(xué)中 5 個最重要的數(shù)學(xué)常數(shù)：0、1、e、π 和 i。并且包含了三種最基本的算術(shù)運(yùn)算：加法、乘法和冪運(yùn)算。絕對令人驚訝的是，這些看似無關(guān)的數(shù)都被這個簡潔的公式聯(lián)系起來。

2. 數(shù) 6174

6174 是卡布列克常數(shù)(以印度數(shù)學(xué)家D. R. Kaprekar命名)，又稱黑洞數(shù)。這個數(shù)有很有趣的特點(diǎn)，一個四位數(shù)如果按下面的方式反復(fù)計算，就會得到很神奇的結(jié)果。

• 取任意一個至少有 2 位數(shù)不同的四位數(shù)。

• 分別把這個四位數(shù)按升序和降序的方式重新排列，會得到兩個新的兩位數(shù)。

• 現(xiàn)在用這兩個數(shù)中大數(shù)減小數(shù)。

• 如果不等 6174，重復(fù)第二步。

如果循環(huán)的次數(shù)足夠多，最終會得到 6174。為什么無論選什么數(shù)字，都會得到 6174，這就是神奇之處了?？梢粤硗庠倏磶讉€示例，先用 2714 做個實驗算下看看吧：

• 7421 -1247 = 6174

換個數(shù)字，再拿 3678 試一試：

• 8763 -3678 = 5085;

• 8550 -0558 = 7992;

• 9972 -2799 = 7173;

• 7731 -1377 = 6354;

• 6543 -3456 = 3087;

• 8730 -0378 = 8352;

• 8532 -2358 = 6174

這些數(shù)就像被吸入到黑洞里某個固定點(diǎn)中，故像 6174 這樣的數(shù)也被稱為黑洞數(shù)。而其他位數(shù)的數(shù)字也有類似的情況，比如 9 位數(shù)中有 2 個黑洞數(shù)： 554999445 和 864197532，感興趣的朋友可以算下。

6174 還屬于哈沙德數(shù)(Harshad number)，也被稱為尼云數(shù)，是指能夠被其各個數(shù)位上的數(shù)字之和整除的自然數(shù)：例如 6174/(6+1+7+4)=6174/18=343。這就又為該數(shù)添了一筆神秘色彩。

1. 黃金比例

之前提及過這個黃金比例，但這可能是世界上最為重要的比例，以下是它的一些有趣的特性：

• 1.618… 與 0.618… 互為倒數(shù)，也就是 1.618… 的倒數(shù)是 0.618…，0.618… 的倒數(shù)是 1.618…，人們稱兩者為黃金比例共軛。可以有這個式子表示出來：1/?≈1+?

• 它在自然界中廣泛存在（就像前面提到的那樣）。有些樹的生長就是很好的例子，樹干先是自由向上生長，長著長著它就擁有了一個分叉，于是產(chǎn)生了 2 個新的起點(diǎn)，其中一個起點(diǎn)會長出 2 個是新的分叉起點(diǎn)，而另一個則不會。這個模式這個規(guī)律就好像是斐波那契數(shù)列一樣。

• 黃金比例廣泛存在于幾何學(xué)中，許多建筑和藝術(shù)品中都含有黃金比例。希臘的巴特農(nóng)神廟就是典型的例子。

• 五角星內(nèi)部也暗含著黃金比例。

上面就是所介紹數(shù)學(xué)上 12 個有趣之?dāng)?shù)，希望通過本文這一簡短的探索之旅，能讓對面的你能像數(shù)學(xué)家一樣欣賞數(shù)學(xué)之美，或能從一個新的視角來觀察周圍的環(huán)境并找到隱藏的美麗。

創(chuàng)組團(tuán)隊 | 編譯：小白 校對:小白，公理