這是一道非常經(jīng)典的幾何題，有代數(shù)和幾何兩種精彩解法。題目請(qǐng)看下圖：

求陰影面積

有大小兩個(gè)正方形，小正方形的邊長(zhǎng)是4，求陰影面積。題目構(gòu)思巧妙，沒(méi)有冗余條件，只有一個(gè)數(shù)據(jù)。下圖是庫(kù)庫(kù)數(shù)學(xué)提供的代數(shù)解法。

代數(shù)解法

這個(gè)代數(shù)解法很漂亮，但是有的同學(xué)看懂了，有的同學(xué)則是一臉茫然。上面的解答圖暗藏蝴蝶模型，把它畫(huà)出來(lái)，可以幫助大家理解代數(shù)解法的道理。

請(qǐng)看下圖：

蝴蝶模型

在梯形ABCD中，AB=AD=b=大正方形的邊長(zhǎng)，CD=a=4=小正方形的邊長(zhǎng)。梯形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)E。設(shè)DE=x，則AE=B－x。

兩條對(duì)角線把梯形分為四個(gè)三角形，按順時(shí)針?lè)较?，依次把三角形面積標(biāo)記為S?至S?請(qǐng)看下圖的解析

解析

上圖解釋了代數(shù)解法的第一步是怎么來(lái)的，第二步大家看懂了嗎？

比例的基本性質(zhì)

大家都知道比例式的內(nèi)項(xiàng)乘積等于外項(xiàng)乘積，把第一步的比例式交叉相乘，再整理就得到了第二步。

即：ab－ax=bx

ab=ax+bx

ab=(a+b)x

把上式的兩邊都乘以a+b的倒數(shù)，x的系數(shù)就變成了1，就得到了第二步。

第三步也很好理解，把a(bǔ)－x看作分?jǐn)?shù)的減法就行了。a的分母是1，把第二步帶入x，x就是個(gè)分?jǐn)?shù)。然后分母通分，分子做減法，就得到第三步的結(jié)果。

最終結(jié)論就是用眾所周知的三角形面積公式得出的，答案是8。

庫(kù)庫(kù)數(shù)學(xué)解完題后說(shuō)：如圖，隨手解完一道題后，好奇有沒(méi)有純幾何的挪移之法？

評(píng)論區(qū)回復(fù)：@tangmingbing: 你這個(gè)做復(fù)雜了，先把右邊的三角形右下頂點(diǎn)平移到右上，然后增加右邊的對(duì)角線(45 度)，和左邊45度平行，所以右上頂點(diǎn)可以平移到右邊正方形的左下點(diǎn)。這樣就是左邊正方形的一半。

優(yōu)雅的幾何解法請(qǐng)看下圖：

解法1

如圖添加輔助線后，構(gòu)造出了蝴蝶模型。

第一步：因?yàn)棣HE和ΔBHF同底等高，所以面積相等。

下圖的三個(gè)三角形面積相等，為什么呢？關(guān)鍵在于圖中的兩條直線是平行線。它們的底邊都是CE，第三個(gè)頂點(diǎn)只要在平行線上，無(wú)論如何平移，因?yàn)楦卟蛔?，得到的三角形面積都是相等的。

同底等高三角形面積相等

解法2

作大正方形的對(duì)角線是添加輔助線的重要技巧之一。這條對(duì)角線的特殊性在于它是平行線，和圖上已有的小正方形的對(duì)角線平行。大家是否還記得三角形內(nèi)角和等于180°的證明？過(guò)三角形頂點(diǎn)作一條平行于底邊的平行線是畫(huà)龍點(diǎn)睛之筆。

再順便說(shuō)一句，只要三角形的頂點(diǎn)位于兩條平行線上，得到的所有三角形無(wú)論形狀如何，都是等高三角形。

第二步，論證ΔBCD和ΔBCF面積相等。有的同學(xué)沒(méi)有看懂這一步，需要解釋一下。

這兩個(gè)三角形底邊相等，都是BC，頂點(diǎn)在平行線DF上平移，所以是等高三角形。既同底又等高，當(dāng)然面積相等，不相等才怪呢。

制造平行線是第二步成立的關(guān)鍵，下一步就簡(jiǎn)單了。

第三步簡(jiǎn)單地用三角形面積公式就得到了答案。

我們驚奇的發(fā)現(xiàn)，大正方形的邊長(zhǎng)影響圖形的形狀，不影響陰影面積。所以，不需要知道這個(gè)數(shù)據(jù)。

原作者回復(fù)：@善科題庫(kù): 老同學(xué)也嫌棄我的代數(shù)解法干巴巴、喪失了幾何之美感；我的陳詞如圖

庫(kù)庫(kù)數(shù)學(xué)的感言

看到上圖，想到了著名數(shù)學(xué)家吳文俊。借助“吳法”，幾何定理的證明現(xiàn)在可以依靠計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)機(jī)械化和自動(dòng)化了。

總結(jié)：這個(gè)題目雖然只是小學(xué)四年級(jí)的課外題，但是出題水平極高，解法漂亮，頗具幾何美感，值得品味。

知識(shí)點(diǎn)鏈接：

蝴蝶模型是小學(xué)數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，又稱為梯形蝴蝶定理，是指在梯形中連接兩條對(duì)角線 后形成四個(gè)三角形。如圖：

小學(xué)奧數(shù)的蝴蝶模型

同學(xué)們心中是否有疑問(wèn)，蝴蝶模型在梯形中成立，能否推廣到一般化的凸四邊形？

請(qǐng)看下圖：

任意四邊形的蝴蝶模型

在任意四邊形中，連接兩條對(duì)角線，得到四個(gè)三角形，對(duì)頂?shù)膬蓚€(gè)三角形面積乘積等于另外兩個(gè)對(duì)頂三角形面積乘積。

數(shù)學(xué)，以及數(shù)理化等自然科學(xué)，都是講理的學(xué)科。我們來(lái)講道理。

其實(shí)道理很簡(jiǎn)單，就一條：等高三角形面積之比等于對(duì)應(yīng)的底邊之比。

把不同的面積之比轉(zhuǎn)化為相同的線段比，自然就得到兩個(gè)相等的面積之比。依據(jù)比例式內(nèi)項(xiàng)乘積等于外項(xiàng)乘積，就得到了結(jié)論。

既然說(shuō)了蝴蝶模型，那是否要討論蝴蝶定理？

不，本文不打算講蝴蝶定理。以后考慮為大家搬運(yùn)兩篇文章，作者都是數(shù)學(xué)科普作家張景中院士。一篇闡述蝴蝶定理，另外一篇是蝴蝶定理的新故事。

這計(jì)劃中的兩篇文章出自名家之手，內(nèi)容自然非常精彩，敬請(qǐng)期待。

科學(xué)尚未普及，媒體還需努力。感謝閱讀，再見(jiàn)。