最近有位同學看了一部電影——《決勝21點》，對里面的“三門問題”十分感興趣，于是來和Lulu老師探討。實不相瞞，當年我在UCL上的第一節(jié)Applied Math的課時，我的教授也在課上問了我們這個問題，記憶猶新！

那今天

我們就一起來一探究竟吧

先說說這部電影，它講述的是16歲的數(shù)學天才少年Ben，靠智商席卷了拉斯維加斯賭城，成為億萬富翁的故事。在這個故事的最開始，他在課堂上被提問了兩個問題，一個是我們FP1中學過的Numerical solution of equation——Newton-Raphson Process（大家康一康電影中的板書是不是很熟悉?。?/span>

另一個就是我們今天的主角——“三門問題”。

這個游戲原型來自于美國的一個電視抽獎節(jié)目，Let’s make a deal。該節(jié)目主持人叫蒙提霍爾，所以我們也把“三門問題”叫做Monty Hall problem。

··· 話不多說，我們開始吧！···

現(xiàn)在有三扇門，只有一扇門打開是汽車，

其余兩扇門里面都是山羊。

在你不清楚每扇門后面是什么的情況下，

你會在三扇門中隨機挑選一扇。

當然，你希望能夠get汽車～

為了讓游戲更有趣，在你選擇了一扇門之后，

清楚門后面是什么獎品的主持人，

會打開另一扇不是你選擇的，并且后面是山羊的門。

··· 什么意思呢？···

如果你挑了一扇有山羊的門B，

那主持人就會打開另一扇有山羊的門C。

如果你挑了一扇有汽車的門A，

主持人會打開另外兩扇有山羊的門BC中的任意一扇。

··· 重點來了 ···

此時，主持人會問你一個問題：

你是否要改變你的選擇，去選擇另一扇沒有打開的門？

好了，以上就是游戲規(guī)則。

如果是你，你會堅持原來的選擇，還是臨時倒戈呢？

教授在電影里也向Ben提出了尖銳的疑問：

我們來康康男主帥氣十足的回答：

讓我們用一個Tree diagram來理一理：

首先，我們第一次選擇的時候，
無論是選ABC，每個都有1/3的概率。

第二條分支，需要我們好好理解一下。

1. 你選到了A門（車）

主持人會打開BC（羊）兩個中的某一扇門

此時，你換門，則沒車，即中獎概率0%

不換門，就有車，即中獎概率100%

2. 你選到了B門（羊）

主持人會打開C（羊）

你換門，你一定會換成A（車），即中獎概率100%

不換門，即中獎概率0%

3. 你選到了C門（羊）

主持人會打開B（羊）

與上面選了B門同理，你換門，

你一定會換成A（車），即中獎概率100%

不換門，即中獎概率0%

當我們把概率都理清楚了以后

我們就可以利用S1中學過的知識

來算一下到底要不要換門了

不換門的獲獎率 

=（1/3 x 100%）+（1/3 x 0%）+（1/3 x 0%）=1/3

換門的獲獎率 

=（1/3 x 0%）+（1/3 x 100%）+（1/3 x 100%）=2/3

經(jīng)過這一頓操作

我們發(fā)現(xiàn)如果臨時倒戈選擇換門

中獎的概率大大提高

竟然是不換門的兩倍之多！

是不是和你最一開始猜測的答案有所不同呢？

等等，你說有沒有更簡單的方法？

男主Ben又是如何一下子算出答案的？

如果我們用另一個角度去看這個“三門問題”

我們可以這樣想

在你最初選擇門的時候，中獎概率是1/3，

那么也可以說，

車在另外兩扇不是你選擇的門的概率為2/3

（兩扇門平攤這個概率）

這時，主持人幫你打開了一扇有羊的門，

即幫你排除了一個錯誤選項，

這個2/3的中獎概率忽然就塌縮到了剩下的一扇門里

（一扇門獨享這個概率）

所以，如果此時我們更換選擇，

中獎概率就提高到2/3，而不是原來的1/3了。

除了下次遇到這類問題，

能夠云淡風輕地和男主一樣說出正確答案之外，

在我們的生活中也是有點用處的。

比如，公司里面現(xiàn)有三種新品需要開發(fā)，

并且這三種里只有一種產(chǎn)品能夠殺出重圍，獲得成功。

你作為產(chǎn)品經(jīng)理完全無法抉擇哪個項目更好，

于是你隨機選擇了其中一種。

還沒等咱們上手呢，

你可憐的對家公司剛好研發(fā)了另一個產(chǎn)品，

而且市場并不買賬，一敗涂地。

這個時候，你應該怎么做？

立刻放下手中你選擇的產(chǎn)品，換另一個開發(fā)！！

為什么？

因為“三門問題”啊～

文章作者：@ Lulu Wang